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Estruturas de Concreto I Profa. Jamires Praciano jamirescordeiro@gmail.com Simbologia NBR 6118 c = concreto/compressão; t = tração; S = solicitações s = aço (steel) f = resistência k = característica d = de projeto ou de cálculo y = escoamento do aço F = ações e = deformação específica gf = coeficientes de ponderação das ações ou solicitações ou resistência do material g = permanente q = variável 2 Determinar o valor do momento de cálculo a ser considerado no dimensionamento de uma viga de concreto armado, dados: Mg1 = 12 kNm (peso próprio) Mg2 = 3 kNm (revestimento) Mq = 6 kNm (carga acidental de uso) Mv = 3 kNm (vento) Mt = 2 kNm (temperatura) Me = 1,5 kNm (recalque de apoio) 07/03/2018 3 Exemplo 01 Determinar o valor do momento de cálculo a ser considerado no dimensionamento de uma viga de concreto armado, dados: Mg1 = 12 kNm (peso próprio) – Carga permanente direta Mg2 = 3 kNm (revestimento) – Carga permanente direta Mq = 6 kNm (carga acidental de uso) – Carga variável direta Mv = 3 kNm (vento) – Carga variável direta Mt = 2 kNm (temperatura) – Carga variável indireta Me = 1,5 kNm (recalque de apoio) – Carga permanente indireta 07/03/2018 4 Exemplo 01 𝐹𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ 𝐹𝑔𝑘 + 𝛾e𝑔 ∙ 𝐹e𝑔𝑘 + 𝛾𝑞 ∙ 𝐹𝑞1𝑘 + 0𝑗 ∙ 𝐹𝑞𝑗𝑘 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 ∙ 𝐹e𝑞𝑘 M𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ (12 + 3) + 𝛾e𝑔 ∙ (1,5) + 𝛾𝑞 ∙ 6 + 0𝑗 ∙ 3 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 ∙ 2 07/03/2018 5 Exemplo 01 M𝑑 = 𝛾𝑔 ∙ (12 + 3) + 𝛾e𝑔 ∙ (1,5) + 𝛾𝑞 ∙ 6 + 0𝑗 ∙ 3 + 𝛾e𝑞 ∙ 0𝜀 𝑀𝑑 = 1,4 ∙ (12 + 3) + 1,2 ∙ (1,5) + 1,4 ∙ 6 + 0,63 + 1,2 ∙ 0,6 ∙ 2 Md = 35,16 kNm 07/03/2018 6 Exemplo 01 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal Equacionamento para concretos até C50 com seções retangulares O problema é o seguinte: Conhecidos fck, bw, d, fyd e eyd e o momento de cálculo Md (Md = 1,4 M), determinar a área da armadura longitudinal necessária As para que um elemento de concreto armado de seção transversal retangular resista a esse momento. 07/03/2018 7 1) Equilíbrio das forças atuantes normais à seção transversal 𝐹 = 0 → 𝐹𝑠 − 𝐹𝑐 = 0 → 𝐹𝑠 = 𝐹𝑐 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 07/03/2018 8 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 2) Equilíbrio dos momentos: O momento das forças internas em relação a qualquer ponto (aqui adotado o C.G. da armadura) deve ser igual ao momento externo de cálculo: 𝑀 = 𝑀𝑑 → 𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 07/03/2018 9 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal Fc = Fs Md = Fc z Logo: Md = Fs z 07/03/2018 10 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 3) Posição da Linha Neutra (x): Conhecendo a LN é possível saber o domínio em que a peça está trabalhando e calcular a resultante das tensões de compressão no concreto (Fc) e o braço de alavanca (z). 𝐹𝑐 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥 𝑧 = 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 Substituindo na equação do momento Md, temos: 𝑀𝑑 = 𝐹𝑐 ∙ 𝑧 = 0,85 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 0,8 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,4 ∙ 𝑥 Simplificando: 𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 A linha neutra (x) é dada por 𝑥 = 0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙ 𝑀𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 0,544 07/03/2018 11 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 4) Cálculo da área necessária de armadura: Encontrado o valor de x e sabendo que a força na armadura Fs vem do produto da área de aço As pela tensão atuante no aço fs, logo temos: 𝑀𝑑 𝑧 = 𝐹𝑠 = 𝑓𝑠 ∙ 𝐴𝑠 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑧 ∙ 𝑓𝑠 Para a peça trabalhando nos domínios 2 e 3, para um melhor aproveitamento da armadura, tem-se es ≥ eyd, assim temos que a tensão no aço é a de escoamento (fs = fyd). Caso contrário, consultar o valor no diagrama de tensão x deformação e calcular fs, porém a peça estaria no domínio, o que não é permitido por norma. Assim: 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑 07/03/2018 12 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal 5) Verificação do domínio em que a peça atingirá o ELU Relação entre deformações: como as seções permanecem planas após a deformação, por semelhança de triângulos ABC e ADE do diagrama de deformações, é possível obter a relação entre a posição da linha neutra (x) e a altura útil (d): 07/03/2018 13 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal Posição da LN: No limite do domínio 2 com 3, a deformação específica do concreto é ec = 3,5‰ (0,0035), aplicando na equação anterior, temos: 𝑥 𝑑 = 0,0035 0,0035 + 𝜀𝑠 07/03/2018 14 Linha Neutra no Limite do Domínio 2 e 3 07/03/2018 15 0 𝑥 𝑑 = 0,0035 0,0035 + 𝜀𝑠 es = 10‰ = 0,0010 Logo: 𝑥 𝑑 = 0,0035 0,0035+0,010 0 𝑥 𝑑 0,259 Domínio 2 Linha Neutra no Limite do Domínio 3 e 4 07/03/2018 16 0 Aqui, o limite vai depender do tipo de aço e seu patamar de escoamento eyd: Aço CA25: 𝑥 𝑑 = 0,0035 0,0035+ 0,00104 𝑥 𝑑 = 0,7709 Assim: 0,259 𝑥 𝑑 0,7709 Domínio 3 𝑥 𝑑 0,259 Domínio 2 Linha Neutra no Limite do Domínio 3 e 4 07/03/2018 17 0 Aqui, o limite vai depender do tipo de aço e seu patamar de escoamento eyd: Aço CA50: 𝑥 𝑑 = 0,0035 0,0035+ 0,00207 𝑥 𝑑 = 0,6283 Assim: 0,259 𝑥 𝑑 0,6283 Domínio 3 0 < 𝑥 𝑑 0,259 Domínio 2 CUIDADO!!! Embora o limite dos domínios 3 e 4 vá até x/d = 0,7709 no CA25 e x/d = 0,6283 no CA50 domínio 3, a recomendação da Norma 6118:2014 é que se use a relação x/d = 0,45, no máximo, por causa da ductilidade da peça. 07/03/2018 18 Exemplo 01 Para uma seção retangular de concreto armado com bw = 0,12m e d = 0,29m sob a ação de um momento fletor M = 12,2 kNm, determinar a quantidade de armadura longitudinal As necessária. Dados: fck = 20 MPa; Aço CA50. 07/03/2018 19 Exemplo 01 07/03/2018 20 Determinar o momento de cálculo: Md = 1,4M = 1,4 12,2 = 17,08 kNm Resistência do concreto: fck = 20 MPa ou 20.000 kN/cm² fcd = fck/1,4 = 20/1,4 = 14,29 MPa ou 14.290 kN/cm 2 Resistência do aço: Aço CA50: fyd = fyk/1,15 = 500/1,15 = 434,78 MPa ou 43,478 kN/cm 2 Exercício 01 𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑥 ∙ 𝑑 − 0,272 ∙ 𝑥² ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 17,08 = (0,68 x 0,29 -0,272 x²) 0,12 20.000 1,4 Isolando x, temos: 𝑥 = 0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙ 𝑀𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 0,544 𝑥 = 0,68 ∙ 0,29 ± 0,68 ∙ 0,29 2− 4 ∙ 0,272 ∙ 17,08 0,12 ∙ 20.000/1,4 0,544 x1 = 0,6705m e x2 = 0,0545m 07/03/2018 21 kN/cm² Exercício 01 Qual solução adotar??? x1 = 0,6705m está com a LN passando fora da seção transversal, não atendendo ao caso de flexão simples, assim, o valor correto é x2 = 0,0545m. Em qual domínio está minha peça? x/d = ? x/d = 0,0545/0,29 x/d = 0,188 Para o Aço CA50: 0 𝑥 𝑑 0,259 Domínio 2 0,259 𝑥 𝑑 0,6283 Domínio 3 A peça está no domínio 2! 07/03/2018 22 Exercício 01 07/03/2018 23 O ELU é caracterizado pela deformação es = 10‰; A reta de deformação gira em torno do ponto A (es = 10‰); O concreto não alcança a ruptura (ec 3,5 ‰); A LN corta a seção transversal; A seção resistente é compostapor aço tracionado e concreto comprimido. Exercício 01 Cálculo do braço de alavanca z: z = d – 0,4x z = 0,29 – 0,4 0,0545 z = 0,27m 07/03/2018 24 Exercício 01 Cálculo da armadura As: 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑧 ∙ 𝑓𝑦𝑑 𝐴𝑠 = 17,08 0,27 ∙ 43,478 𝐴𝑠 = 17,08 11,74 𝐴𝑠 = 1,47 𝑐𝑚 2 07/03/2018 25 kN/cm² Exercício 01 07/03/2018 26 h cnom cnom Qual aço escolher e como posicionar dentro da viga? Exercício 01 07/03/2018 27 1 barra 6.3 0,312 cm² x barras 1,46 cm² x = 4,67 barras ADOTAR: 5 barras 1 barra 8.0 0,503 cm² y barras 1,46 cm² y = 2,90 barras ADOTAR: 3 barras 1 barra 10.0 0,785 cm² y barras 1,46 cm² y = 1,86 barras ADOTAR: 2 barras Exercício 01 07/03/2018 28 h cnom cnom d bw Exercício 03 Aumentar o momento para M = 30 kNm (Carga Permanente Direta) fck = 20 MPa bw = 0,12m d = 0,29m Aço CA50 07/03/2018 29 Passo a passo 1) Determinar o momento de cálculo: Md 2) Resistência do concreto: fcd 3) Resistência do aço: fyd 4) Cálculo da posição da LN: 𝑥 = 0,68 ∙ 𝑑 ± 0,68 ∙ 𝑑 2 − 4 ∙ 0,272 ∙ 𝑀𝑑 𝑏𝑤 ∙ 𝑓𝑐𝑑 0,544 5) Domínio x/d 0 𝑥 𝑑 0,259 Domínio 2 ou 0,259 𝑥 𝑑 0,6283 Domínio 3 6) Cálculo do braço de alavanca z (z = d – 0,4x) e da área de Aço 𝐴𝑠 = 𝑀𝑑 𝑧∙𝑓𝑦𝑑 07/03/2018 30 Exercício 03 Norma NBR 6118:2014 limita o x/d no Domínio 3: x/d = 0,45 para concretos até C50 x/d = 0,35 para concretos de C50 a C90 E agora???? Aumentar a altura útil d Aumentar bw Aumentar o fck 07/03/2018 31
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