Notas_de_aula_comprimento_arco

Prévia do material em texto

1 Comprimento de Curvas Planas
1.1 O Cálculo de Comprimento de Curvas Planas
Consideremos a função y = f(x), dada pelo gráfico abaixo, contínua em [a, b] e com derivada
contínua em (a, b).
Para calcular o comprimento de seu gráfico, entre os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), vamos considerar
uma partição P do intervalo [a, b]:
P = {x0, x1, ..., xn}, onde a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Considerando a poligonal formada pelos pontos Pi = (xi, f(xi)).
O comprimento da poligonal é dado por
L =
n∑
i
d(Pi−1, Pi) =
n∑
i
√
(∆xi)2 + (∆yi)2.
Observemos que
d(Pi−1, Pi) =
√
(∆xi)2 + (∆yi)2 =
√
(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 =
√
(xi − xi−1)2 (1 + (f(xi)− f(xi−1))
2
(xi − xi−1)2 ) =
√
1 + (
f(xi)− f(xi−1)
∆xi
)2 ∆xi.
Como f é contínua, com derivada contínua, usando o Teorema do Valor Médio, podemos escrever:
f ′(xi) =
f(xi)− f(xi−1)
(xi − xi−1) . para xi ∈ (xi−1, xi).
Portanto,
d(Pi−1, Pi) =
√
1 + (f ′(xi))2 ∆xi, 1 ≤ i ≤ n, e lim
n→∞
n∑
i
|Pi−1Pi| = lim
n→∞
n∑
i
√
1 + (f ′(xi))2 ∆xi
.
Logo, usando a definição da integral definida, temos
L = lim
n→∞
n∑
i
√
1 + (f ′(xi))2 ∆xi =
∫ b
a
√
1 + (f ′(x))2 dx =
∫ b
a
√
1 + (
dy
dx
)2 dx.
Se a curva é a representação geométrica do gráfico de uma funão de y ( x = g(y), c ≤ y ≤ d),
então
L =
∫ d
c
√
1 + (g′(y))2 dy =
∫ d
c
√
1 + (
dx
dy
)2 dy.
Exemplos:
1. Calcular o comprimento comprimento da curva dadas abaixo, no intervalo dado:
1. O gráfico da função x = y
3
6
+ 1
2y
para 2 ≤ y ≤ 3. Sugestão: 1 + (dx
dy
)2 é um quadrado perfeito.
2. O gráfico da função y =
√
x para 0 ≤ x ≤ 4. Sugestão: Calcule o comprimento da curva
x = y2, 0 ≤ y ≤ 2.
3. A curva x
2
3 + y
2
3 = 1 (astroide). Sugestão: Calcular dy
dx
usando derivação implícita.
4. O gráfico da função y = ex para 0 ≤ x ≤ 3. Sugestão: Para calcular a integral faça ex = tg(θ).
1.2 Equações paramétricas de curvas planas
Se x e y são dados por x = f(t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β, então o conjunto de pontos
(x, y) = (f(t), g(t)), α ≤ t ≤ β,
definido por essas equações, é uma curva parametrizada. As equações são as equações paramé-
tricas da curva.
Exemplos.
Sejam x = f(t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β, f ′ e g′ continuas e não simultaneamente nulas em [α, β].
dx
dt
= f ′(t) e
dy
dt
= g′(t) Como
dy
dx
=
dy
dt
dx
dt
, temos,√
1 + (
dy
dx
)2 dx =
√
(
dx
dt
)2 + (
dy
dt
)2 dt =
√
(f ′(t))2 + (g′(t))2 dt.
Definição: Sejam x = f(t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β, f ′ e g′ continuas e não simultaneamente nulas
em [α, β]. Se a curva for percorrida apenas uma vez, para α ≤ t ≤ β, então o comprimento da curva
é dado por
L =
∫ β
α
√
(
dx
dt
)2 + (
dy
dt
)2 dt.
Exemplos:
1. Calcular o comprimento do astroide, onde x = cos3θ, y = sen3θ, 0 ≤ θ ≤ 2pi.
L = 4L1, onde L1 =
∫ pi/2
0
√
9 cos2θ sen2θdθ =
∫ pi/2
0
(3 cos θ sen θ)dθ = 3/2u.m.
2. Calcular o comprimento da curva de equações paramétricas x = et − t e y = 4e 12 , 0 ≤ t ≤ 3.
L =
∫ 3
0
√
(et − 1)2 + (2e t2 )2 dt =
∫ 3
0
√
(et + 1)2 dt.
Exercícios. Calcular o comprimento das curvas a seguir:
1. y2 + 2y = x+ 1 de (−1,−1) a (7, 3).
2. x =
∫ y
0
√
sec2(t)− 1 dt, −pi
3
≤ y ≤ pi
4
.
3. x = t
2
, y = (2t+1)
3
2
3
, 0 ≤ t ≤ 4.
4. x = cos(t), y = t+ sen(t), 0 ≤ t ≤ pi.
5. Livro Texto
Exercícios 6.3 - 1 até 26 - 12a Edição (página 374)
(ou Exercícios 6.3 - 11a Edição (página 455)).