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Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Aula 5 Fonte: Cristiano Quevedo Andrea UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, 03/012. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Função de Transferência É uma função que relaciona algebricamente a saída de um dado sistema à sua entrada. Considere a equação diferencial de ordem n abaixo: an ∂nc(t) ∂tn + an−1 ∂n−1c(t) ∂tn−1 + · · ·+ a0c(t) = bm ∂mr(t) ∂tm + bm−1 ∂m−1r(t) ∂tm + · · ·+ b0r(t) sendo c(t) a saída e r(t) a entrada. Os coef cientes ai e bi formam a equação diferencial. Aplicando-se a transformada de Laplace em ambos os lados da equação anterior, temos: ans nC(s) + an−1sn−1C(s) + · · ·+ a0C(s) + C. I. = bmsmR(s) + bm−1sm−1R(s) + · · ·+ b0R(s) + C. I. (1) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Reorganizando a expressão (1), obtém-se: (ans n + an−1s n−1 + · · ·+ a0)C(s) = (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0)R(s) Assim, podemos obter a função de transferência manipulando-se a equação anterior: C(s) R(s) = (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0) (ansn + an−1sn−1 + · · ·+ a0) (2) sendo n ≥ m. Neste caso, foram considerado as condições iniciais nulas para simplif cação da expressão. Podemos ainda chamar C(s)/R(s) = G(s), então, C(s) = R(s)G(s) R(s) (bmsm + bm−1sm−1 + · · ·+ b0) (ansn + an−1s n−1 + · · ·+ a0) C(s) G(s) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Exemplo Obter a função de transferência da equação diferencial representada por: c˙(t) + 2c(t) = r(t). (3) Aplicando-se a transformada de Laplace em (3), temos: sC(s) + 2C(s) = R(s), G(s) = C(s)R(s) = 1 s + 2 , neste caso foi suposto condições iniciais nulas. Para obter a resposta degrau da função de transferência G(s), fazemos, C(s) = 1 s 1 s + 2 , sendo R(s) = 1/s. (4) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Expandindo em frações parciais a equação (4), obtém-se: C(s) = 1/2 s − 1/2 s + 2 . (5) Aplicando a transformada de Laplace inversa em (5), c(t) = 1 2 − 1 2 e−2t . 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Step Response Time (sec) A m pl itu de Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3 componentes: resistor, capacitor e indutor. Componente Tensão Corrente Tensão Carga Z (s) = V (s)/R(s) v(t) = ∫ τ 0 i(τ)∂τ i(t) = C∂v(t) ∂t v(t) = 1C q(t) 1 Cs v(t) = Ri(t) i(t) = 1R v(t) v(t) = R ∂q(t) ∂t R v(t) = L ∂i(t) ∂t i(t) = 1 L ∫ t 0 v(τ)∂τ v(t) = L ∂ 2q(t) ∂t2 Ls Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Exemplo 1: Considere o circuito elétrico simples ilustrado a seguir: + - + - v(t) L R vC(t) i(t) C Aplicando-se a lei de somatório de tensão de malha do circuito ilustrado acima, temos: v(t) = L∂i(t) ∂t + Ri(t) + vC(t). (6) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Aplicando-se a transformada de Laplace em (6), considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se: V (s) = LsI(s) + RI(s) + VC(s), (7) mas I(s) = VC(s)/ 1Cs , assim temos, V (s) = LsVC(s)1 Cs + R VC(s)1 Cs + VC(s). (8) Portanto, de (8), a função de transferência entre a entrada e saída do circuito elétrico abordado é: VC(s) V (s) = 1 LCs2 + RCs + 1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de TransferênciaCircuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Agora, considere um circuito elétrico mais complexo, + - + - v(t) R1 R2 vC(t)CLi1(t) i2(t) sendo i1(t) e i2(t) correntes de malha. As equações diferenciais do somatório de tensão de malha do circuito elétrico ilustrado anteriormente são: Ri i1(t) + L ∂(i1(t)− i2(t)) ∂t = v(t), (9) L∂i2(t) ∂t + R2i2(t) + 1 C ∫ t 0 i2(τ)∂τ − L ∂i1(t) ∂t = 0. (10) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Aplicando-se a transformada de Laplace em (9) e (10), considerando-se as condições iniciais nulas, obtém-se: R1I1(s) + LsI1(s)− LsI2(s) = V (s), (11) LsI2(s) + R2I2(s) + 1 Cs I2(s)− LsI1(s) = 0. (12) Organizando (11) e (12) na forma matricial,[ R1 + Ls −Ls −Ls Ls + R2 + 1Cs ] [ I1(s) I2(s) ] = [ V (s) 0 ] . Neste exemplo podemos encontrar várias funções de transferência, tais como: VC(s)/I2(s), VC(s)/I1(s) e VC(s)/V (s). Neste caso abordaremos a função de transferência entre a entrada de tensão e a tensão no capacitor. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Inicialmente obteremos I2(s). I2(s) = det [ R1 + Ls V (s) −Ls 0 ] det [ R1 + Ls −Ls −Ls Ls + R2 + 1Cs ] , I2(s) = LCs2 (R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1 V (s), (13) mas I2(s) = VC(s)1 Cs , então, I2(s) = CsVc(s). (14) Portanto, substituindo-se (14) em (13), obtém-se: VC(s) V (s) = Ls (R1 + R2)LCs2 + (R1R2C + L)s + R1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere o seguinte circuito eletrônico, Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico O Circuito anterior também pode ser representado por: A função de transferência da tensão de entrada Vi(s) para a tensão de saída Vo(s) é dada por: Vo(s) Vi(s) = −Z2Z1 . (15) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Então, considere outro circuito eletrônico, conforme ilustrado a seguir, Inicialmente, calcula-se a impedância Z1(s), Z1(s) = R1 R1C1s + 1 = 360× 103 2,016s + 1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico O próximo passo é determinar o valor de Z2(s), Z2(s) = R2 + 1 C2s = 220 × 103 + 107 s . Portanto, temos que: Vo(s) Vi(s) = − Z2(s) Z1(s) = −1,232 s2 + 45,95s + 22,55 s . (16) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resposta Vo(s) Vi(s) = C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R2 + C1R1)s + 1 C2C1R2R1s2 + (C2R2 + C1R1)s + 1 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de SistemaEletromecânico Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere o circuito ilustrado abaixo: Neste caso objetiva-se determinar a função de transferência X (s)/F (s), assim tem-se,∑ FM = 0. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico A f gura seguinte ilustra a ação das forças no objeto de massa M, tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência, Então, podemos escrever, Ms2X (s) + fv sX (s) + KX (s) = F (s), X (s)(Ms2 + fv s + K ) = F (s), logo, X (s) F (s) = 1 Ms2 + fv s + K . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere agora outro sistema mecânico, conforme ilustrado abaixo: Atuação das forças em M1: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Atuação das forças em M2 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Da análise das forças em M1 e M2 temos: [M1s2 + (fv1 + fv3)s + (K1 + K 2)]X1(s)− (fv3s + K2)X2(s) = F (s), −(fv3s + K2)X1(s) + [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)]X2(s) = 0. Organizando matricialmente as expressões acima, [ [M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2) −(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)] ] [ X1(s) X2(s) ] = [ F (s) 0 ] . (17) De (17) podemos, por exemplo, encontrar a função de transferência X2(s)/F (s) da seguinte maneira: X2(s) = det [ [M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] F (s) −(fv3s + K2) 0 ] det [ [M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2) −(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)] ] . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Portanto, X2(s) F (s) = (fv3s + K2) Φ , (18) sendo Φ = det [ [M1s2 + (fv1 + fv2)s + (K1 + K 2)] −(fv3s + K2) −(fv3s + K2) [M2s2 + (fv2 + fv3)s + (K2 + K3)] ] . Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamente os blocos. Por exemplo, considere M2 parado e movimente M1 para direita, e depois realize a análise inversa. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere o seguinte exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T (s), para o sistema de rotação ilustrado abaixo: Observando-se a f gura acima, nota-se que o eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o deslocamento angular é medido à direita. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Outro modo de verif car a operação dos sistemas rotativos é ilustrado a seguir: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Então, se submetemos um objeto na forma cilíndrica a um torque, o mesmo tende a ter deslocamento angular. Adicionalmente se existir uma força de resistência ao movimento angular causado pela aplicação do torque, consideramos que o objeto é submetido a torção (movimentos angulares em um corpo cilíndrico com sentidos opostos nas extremidades). Para obter a função detransferência desejada, primeiramente devemos obter um diagrama esquemático do sistema físico ilustrado anteriormente. Embora a torção ocorra ao longo do eixo, consideramos que ela ocorre como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo. A mola que representa a torção no corpo cilíndrico apresenta uma inércia J1 a esquerda e uma inércia J2 a direita. Admite-se que o amortecimento no interior do eixo elástico é insignif cante. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Diagrama esquemático do sistema girante analisado, Análise em J1 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Análise em J2 O somatório de torques em J1 e J2 pode ser descrito como, (J1s2 + D1s + K )θ1(s)− Kθ2(s) = T (s), (19) −Kθ1(s) + (J2s2 + D2s + K )θ2(s) = 0. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Reorganizando (19) na forma matricial, obtém-se:[ (J1s2 + D1s + K ) −K −K (J2s2 + D2s + K ) ] [ θ1(s) θ2(s) ] = [ T (s) 0 ] . (20) Logo, θ2(s) = det [ (J1s2 + D1s + K ) T (s) −K 0 ] det [ (J1s2 + D1s + K ) −K −K (J2s2 + D2s + K ) ] . (21) Então, θ2(s) T (s) = K Ψ , sendo, Ψ = det [ (J1s2 + D1s + K ) −K −K (J2s2 + D2s + K ) ] . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Determinem G(s) = θ2(s)/T (s) para o seguinte sistema ilustrado a seguir: Resposta: G(s) = 1 2s2 + s + 1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle User Typewritten Text Ө1 User Typewritten Text User Typewritten Text User Typewritten Text Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Determinem G(s) = θ2(s)/T (s) para o seguinte sistema ilustrado a seguir: Resposta: G(s) = 1 2s2 + s + 1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle User Typewritten Text Ө1 User Typewritten Text User Image User Typewritten Text User Typewritten Text G(s) = User Typewritten Text User Typewritten Text ( User Typewritten Text User Typewritten Text User Typewritten Text User Typewritten Text User Typewritten Text Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Considere o sistema com engrenagens ilustrado a seguir: Para o sistema ilustrado acima temos: r1θ1 = r2θ2, ou θ2 θ1 = r1 r2 = N1 N2 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Observações Sistemas acionados por motores raramente são vistos sem trens de engrenagens acionando a carga. As engrenagens proporcionam vantagens mecânicas ao sistema de rotação. Ex: A bicicleta de macha, ladeira a cima, por meio de uma troca de macha, fornece mais torque e menos velocidade. Em linha reta pode-se obter menos torque e mais velocidade. Em muitas aplicações, as engrenagens apresentam folgas (backlash), que ocorrem devido a um ajustamento inadequado entre os dentes da engrenagem. Se admitirmos que as engrenagens não absorvam nem armazenam energia, podemos escrever, T1θ1 = T2θ2, ou, T2 T1 = θ1 θ2 = N2 N1 . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Exemplo: Considere o sistema girante baseado em engrenagens ilustrado a seguir: Será possível ref etir as impedâncias da entrada do eixo na saída? Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Em sistemas girantes baseados em engrenagens temos as situações ilustradas abaixo: Assim, considerando-se o caso (b) da f gura anterior, podemos ref etir T1nasaída multiplicando-se por N2/N1. O resultado é ilustrado a seguir: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico O sistema anterior é conhecido (já discutido anteriormente) e as equações de movimento são, (Js2 + Ds + K )θ2(s) = T1(s) N2 N1 . (22) Mas podemos descrever θ2(s) = N1N2θ1(s), deste modo (22) torna-se, (Js2 + Ds + K )N1N2 θ1(s) = T1(s) N2 N1 . (23) Simplif cando-se (23), obtém-se;[ J ( N1 N2 )2 s2 + D ( N1 N2 )2 s + K ( N1 N2 )2] θ1(s) = T1(s). (24) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico A equação de movimento mostrada em (24) pode ser representada pela seguinte f gura. Observação As impedâncias mecânicas em rotação podem ser ref etidas por meio de trens de engrenagens multiplicando-se a impedância mecânica pela relação,( Número de dentes da engrenagem do eixo de destino )2Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Exemplo: Obter a função de transferência, θ2(s)/T1(s), para o sistema ilustrado abaixo: Ref itamos primeiramente as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de entrada para a saída conforme mostrado a seguir: Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Portanto, para este exemplo, a equação de torques pode ser descrita como, (Jes2 + D2s + Ke)θ2(s) = T1(s) N2 N1 . (25) sendo, Je = J1 ( N2 N1 )2 + J2; De = D1 ( N2 N1 )2 + D2; K = Ke. De (25), obtemos a função de transferência θ2(s)T1(s) , G(s) = θ2(s)T1(s) = N2/N1 Jes2 + Des + Ke . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Resumo 1 Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico 2 Circuitos Elétricos Análogos 2 Não-Linearidade e Linearidade Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Estes sistemas podem ser utilizado para controle de posição de uma antena em azimute, por exemplo. Outras aplicações: controle de robôs, rastreadores de sol e rastreadores estelares, etc. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Motor Eletromecânico Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento de saída para uma tensão de entrada, isto é, uma saída mecânica gerada por uma entrada elétrica. No curso iremos abordar um particular sistema eletromecânico, o servomotor de corrente contínua controlada pela armadura. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico O campo magnético é produzido por ímãs permanentes estacionários ou por meio de um eletroímã estacionário chamado de campo fixo. um circuito rotativo denominado armadura, através do qual circula a corrente ia(t), corta o campo magnético segundo um ângulo reto e experimenta uma força, F = Blia(t), sendo B a intensidade do campo magnético e l o comprimento do condutor. O torque resultante aciona o rotor, o qual é o elemento girante do motor Para o motor CC temos, vb(t) = Kb ∂θm(t) ∂t , (26) sendo vb(t) a força contra-eletromotriz (fcem), Kb a constante de fcem e ∂θm(t)/∂t = ωm(t) é a velocidade angular. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Aplicando-se a transformada de Laplace em (26), considerando-se as condições iniciais nulas, tem-se Vb(s) = Kbsθm(s). (27) A descrição da transformada de Laplace, considerando-se as condições iniciais nulas, da equação de malha do circuito de armadura é: RaIa(s) + LasIa(s) + Vb(s) = Ea(s). (28) Neste contexto, o torque produzido pelo motor é proporcional à corrente de armadura, assim, Tm(s) = Kt Ia(s). (29) sendo Kt uma constante de torque do motor. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Funçãode Transferência de Sistema Eletromecânico Assim, podemos escrever a corrente de armadura como, Ia(s) = Tm(s) Kt . (30) Substituindo-se (27) e (30) em (28), obtemos, (Ra + Las)Tm(s) Kt + Kbsθm(s) = Ea(s). (31) A f gura a seguir mostra um carregamento típico de um motor sendo Jm é o momento de inércia equivalente na armadura e Dm o amortecimento viscoso equivalente na armadura. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Como já discutidos anteriormente, a equação de movimento do sistema típico de um motor ilustrado anteriormente é, Tm(s) = (Jms2 + Dms)θm(s). (32) Substituindo-se (32) em (31), (Ra + Las)(Jms2 + Dms) Kt θm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (33) considerando-se Ra >> La[ Ra Kt (Jms + Dm) + Kb ] sθm(s) = Ea(s). (34) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Depois das simplif cações, determina-se a função de transferência desejada, θm(s)/Ea(s), θm(s) Ea(s) = Kt/(RaJm) s [ s + 1Jm ( Dm + Kt KbRa )] . (35) A equação (35) pode ser simplif cada por: θm(s) Ea(s) = K s(s + α) . Considere o caso, Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Na f gura anterior é ilustrado um motor de inércia Ja e de amortecimento Da na armadura acionando uma carga de inércia JL e amortecimento DL. Ref etindo-se as impedâncias da carga para a entrada temos, Jm = Ja + JL ( N1 N2 )2 ;Dm = Da + DL ( N1 N2 )2 . (36) Considere novamente a expressão (31), com Ra >> La: Ra Kt Tm(s) + Kbsθm(s) = Ea(s). (37) Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (37) obtemos, Ra Kt Tm(t) + Kbωm(t) = ea(t). (38) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Isolando-se Tm(t) em (38), Tm(t) = − KbKt Ra ωm + Kt Ra ea(t). (39) De (39) podemos ter, Tbloq = Kt Ra ea(t)⇒ torque de partida ou torque de rotor bloqueado ωvazio = ea(t) Kb ⇒ velocidade sem carga ou velocidade a vazio Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico As constantes elétricas da função de transferência do motor podem ser determinadas a partir de, Kt Ra = Tbloq ea(t) . e Kb = ea(t) ωvazio . As constantes elétricas, Kt/Ra e Kb, podem ser determinadas como um teste dinamométrico do motor CC, o qual forneceria Tbloq e ωvazio para um dado valor de ea(t). Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Exemplo: Considere o sistema abaixo, Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Para o sistema ilustrado anteriormente, obter a função de transferência θL(s)/Ea(s). Inicialmente iremos referir as impedâncias da carga a armadura do motor, assim, Jm = Ja + JL ( N1 N2 )2 = 5 + 700 ( 1 700 )2 = 12. Dm = Da + DL ( N1 N2 )2 = 2 + 800 ( 1 10 )2 = 10. Do gráf co de torque versus velocidade, Tbloq = 500, ωvazio = 50, ea(t) = 100. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Portanto, as constantes elétricas são: Kt Ra = Tbloq ea(t) = 500 100 = 5. e Kb = ea(t) ωvazio = 100 50 = 2. Assim, a função de transferência θm(s)/Ea(s) resulta, θm(s) Ea(s) = 5/12 s [ s + 112 (10 + (5)(2)) ] . (40) Objetivando-se determinar θL(s)Ea(s) , usamos a relação N1 N2 = 1/10, e encontramos, θL(s) Ea(s) = 0,0417 s(s + 1,667) . Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Análogo Série Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Análogo Paralelo Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Para um sistema linear temos as seguintes propriedades, Aditividade: f (a + b) = f (a) + f (b) Homogeneidade: f (α1a + α2b) = α1f (a) + α2f (b) Abaixo apresentamos exemplos: (a) linear, (b) não-linear Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Exemplos de Sistemas Não-lineares Pergunta: Este sistema é linear? 0 2 4 6 8 10 −4 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Linearização x0 é um ponto de equilíbrio.Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Procedimento de linearização No processo de linearização supõe que o sistemapróximo a um ponto de um ponto de operação, também denominado de ponto de equilíbrio (P.I.). (y˙(x) = 0). A idéia é expandir y = f (x) em uma série de Taylor deste ponto, assim teremos: y = f (x) = f (x) |P.I. + ∂f (x) ∂x |P.I. (x − xi) + ∂ 2f (x) ∂x22! |P.I. (x − xi)2 + · · · (41) sendo P.I. = (xi , yi) Como x f cará próximo a xi , então (x − xi) será pequeno, e quando elevado a 2, 3, 4, . . ., será menor ainda. Logo a equação (41) torna-se, y = f (x) = f (x) |P.I. + ∂f (x) ∂x |P.I. (x − xi) (42) Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Procedimento de linearização Podemos escrever a expressão (42) da seguinte maneira, y = f (x) = f (x)︸︷︷︸ yi |P.I. + ∂f (x) ∂x |P.I.︸ ︷︷ ︸ m (x − xi)︸ ︷︷ ︸ ∆x (43) logo temos, y = yi + m∆x y − yi = m∆x ∆y = m ∆x (44) sendo ∆y = y − yi Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Análise Gráf ca do Procedimento de Linearização Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade Exercícios Linearize as seguintes funções abaixo em torno do ponto de operação xi = 1 y(x) = 5x + 2 y(x) = 3 √ x + 1 y(x) = 2x3 Cristiano, Curitiba Sistema de Controle Função de Transferência Função de Transferência para Circuitos Elétricos Função de Transferência em Circuitos com Amp. Operacionais Função de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação Função de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Função de Transferência de Sistemas com Engrenagens Função de Transferência de Sistema Eletromecânico Circuitos Elétricos Análogos Não-Linearidade e Linearidade
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