Introdução a Vetores e Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas – UFPEL 
Centro de Desenvolvimento Tecnológico – CDTec 
Curso de Engenharia de Petróleo 
Curso de Engenharia Geológica 
Vetores e Álgebra Linear (1410003) 
 
 
INTRODUÇÃO 
Vetores: Segmentos orientados que tem 
módulo, direção e sentido. 
Exemplo: No paralelogramo os segmentos 
AB e CD determinam o mesmo vetor. 
 
V
ET
O
R
ES
 
2 
INTRODUÇÃO 
Quando escrevemos 𝑣 = 𝐴𝐵 , estamos 
afirmando que: 
1. o vetor é determinado pelo segmento 
orientado AB; 
2. Origem A e extremidade B. 
 
V
ET
O
R
ES
 
3 
INTRODUÇÃO 
OBSERVAÇÃO: 
Qualquer segmento de mesmo 
comprimento, mesma direção e mesmo 
sentido de AB representa o mesmo valor do 
vetor 𝑣. 
 
V
ET
O
R
ES
 
4 
INTRODUÇÃO 
 Cada ponto no espaço pode ser considerado 
como origem de um seguimento orientado 
que é representante do vetor 𝑣. 
 O módulo, a direção e o sentido de um vetor 
𝑣 é igual ao módulo, a direção e o sentido de 
qualquer um dos seus representantes. 
V
ET
O
R
ES
 
5 
MÓDULO DE UM VETOR 
Indica – se o módulo: 𝒗 = 𝒗 
V
ET
O
R
ES
 
6 
VETOR NULO 
Qualquer ponto no espaço é 
representante do vetor zero (ou vetor nulo). 
Indica – se: 𝒗 = 𝟎 
 VETOR UNITÁRIO 
Um vetor é unitário se 𝒗 = 𝟏. 
VETOR OPOSTO 
A cada vetor não – nulo corresponde um 
vetor oposto −𝑣 que tem mesmo módulo, 
mesma direção, porém sentido contrário de 
𝑣. 
V
ET
O
R
ES
 
7 
VETORES COLINEARES 
Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são colineares se 
tiverem a mesma direção. 
V
ET
O
R
ES
 
8 
VETORES COPLANARES 
Se os vetores 𝑢, 𝑣 𝑒 𝑤 possuem 
representantes AB, CD e EF pertencentes ao 
mesmo plano 𝜋, diz – se que são coplanares. 
V
ET
O
R
ES
 
9 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES 
Sejam os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 representados 
pelos seguimentos orientados AB e BC, 
respectivamente. 
 
 
Os pontos A e C determinam o vetor 
soma 𝐴𝐶 = 𝑢 + 𝑣. 
 
V
ET
O
R
ES
 
10 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (PROPRIEDADES) 
I. Associativa: 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 ; 
II. Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢; 
III. Existe só um vetor nulo, tal que, para 
todo vetor 𝑣, se tem: 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣; 
IV. Qualquer que seja o vetor 𝑣, existe um só 
vetor −𝑣, tal que: 𝑣 + −𝑣 = −𝑣 + 𝑣 =
0. 
 
V
ET
O
R
ES
 
11 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (OBSERVAÇÕES) 
I. A diferença de dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 
quaisquer é o vetor 𝑢 + (−𝑣). 
Exemplo: 
Sejam os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 representados 
pelos seguimentos orientados AB e AC, 
respectivamente. 
 
V
ET
O
R
ES
 
12 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (OBSERVAÇÕES) 
Construído um paralelogramo ABCD, 
verifica – se que a soma 𝑢 + 𝑣 é 
representada pelo seguimento AD. 
V
ET
O
R
ES
 
13 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (OBSERVAÇÕES) 
A diferença 𝑢 − 𝑣 é representada pelo 
seguimento orientado CB. 
V
ET
O
R
ES
 
14 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (OBSERVAÇÕES) 
II. Quando os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 estão aplicados 
no mesmo ponto, verifica – se que: 
A. A soma 𝑢 + 𝑣 (ou 𝑣 + 𝑢) tem origem no 
referido ponto. 
 
V
ET
O
R
ES
 
15 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
ADIÇÃO DE VETORES (OBSERVAÇÕES) 
B. A diferença 𝑢 − 𝑣 tem origem na 
extremidade de 𝑣 (e, por conseguinte, a 
diferença de 𝑣 − 𝑢 tem origem na 
extremidade de 𝑢). 
 
V
ET
O
R
ES
 
16 
Dado um vetor 𝑣 ≠ 0 e um número real 
𝑘 ≠ 0, chama – se de produto de número real 𝑘 
pelo vetor 𝑣 o vetor: 
𝑝 = 𝑘𝑣 
A. MÓDULO: 𝑝 = 𝑘𝑣 = 𝑘 𝑣 ; 
B. DIREÇÃO: A mesma de 𝑣; 
C. Sentido O mesmo de 𝑣 → 𝑘 > 0 
 Contrário de 𝑣 → 𝑘 < 0 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
17 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
EXEMPLO: 
A figura abaixo mostra o vetor 𝑣 e os seus 
correspondentes 2𝑣 𝑒 − 3𝑣. 
V
ET
O
R
ES
 
18 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
(OBSERVAÇÕES) 
 
I. Se 𝑘 = 0 ou 𝑣 = 0, o vetor 𝑝 = 𝑘𝑣 é o 
vetor nulo 0. 
II. Se 𝑘 = −1, o vetor (−1)𝑣 é o oposto de 
𝑣, isto é, −1 𝑣 = −𝑣. 
 
V
ET
O
R
ES
 
19 
OPERAÇÕES COM VETORES – 
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
(PROPRIEDADES) 
Se 𝑢 𝑒 𝑣 são vetores quaisquer e 𝑎 𝑒 𝑏 
números reais: 
I. 𝑎 𝑏𝑢 = 𝑎𝑏 𝑢 
II. 𝑎 + 𝑏 𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 
III. 𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣 
IV. 1𝑢 = 𝑢 
V
ET
O
R
ES
 
20 
VETORES NO R² 
 
O conjunto 𝑅² = 𝑅 × 𝑅 = { 𝑥, 𝑦 /𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅} 
é interpretado geometricamente como sendo 
o plano cartesiano 𝑥𝑜𝑦. 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
21 
VETORES NO R² 
Qualquer vetor 𝐴𝐵 considerado nesse plano 
tem sempre um representante (segmento 
orientado OP) cuja origem é a origem do 
sistema. 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
22 
VETORES NO R² 
I. Vetores com seguimentos orientados com origem 
na origem do sistema. 
II. Cada vetor do plano é determinado pelo ponto 
extremo do seguimento. 
III. O ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) individualiza o vetor 𝑂𝑃 e 
escreve – se : 𝒗 = (𝒙, 𝒚). 
IV. As coordenadas de 𝑃 com as correspondentes de 
𝑣. 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
23 
VETORES NO R² 
 
V
ET
O
R
ES
 
24 
(𝑥, 𝑦) 
V. A origem do sistema (0,0) representa o 
vetor nulo. 
VI. O vetor oposto de 𝑣 = (𝑥, 𝑦) é o vetor 
− 𝑣 = (−𝑥,−𝑦). 
VETORES NO R² - IGUALDADE 
Dois vetores 𝑢 = 𝑥1, 𝑦1 e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) são 
iguais se, e somente se, 𝑥1 = 𝑥2 e 𝑦1 = 𝑦2, e 
escreve – se 𝑢 = 𝑣. 
EXEMPLOS: 
1. Os vetores 𝑢 = (3,5) e 𝑣 = 3,5 são iguais; 
2. Se os vetores 𝑢 = (𝑥 + 1,4) e 𝑣 = (5, 2𝑦 − 6) 
são iguais: 
𝑥 =?
𝑦 =?
 
 
V
ET
O
R
ES
 
25 
VETORES NO R² - OPERAÇÕES 
Sejam os vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 =
(𝑥2, 𝑦2) e 𝑎 ∈ 𝑅. Define – se : 
a) 𝑢 + 𝑣 = 𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2 ; 
b) 𝑎𝑢 = (𝑎𝑥1, 𝑎𝑦1). 
EXEMPLOS: 
1. Se 𝑢 = (4,1) e 𝑣 = 2,6 , 𝑢 + 𝑣 =? 
2. Se 𝑢 = (4,1), 2𝑢 =? 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
26 
VETORES NO R² - OPERAÇÕES 
GRAFICAMENTE: 
1. Se 𝑢 = (4,1) e 𝑣 = 2,6 , 𝑢 + 𝑣 = 6,7 . 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
27 
VETORES NO R² - OPERAÇÕES 
GRAFICAMENTE: 
2. Se 𝑢 = (4,1), 2𝑢 = (8,2). 
 
V
ET
O
R
ES
 
28 
Um vetor representado por um seguimento 
orientado que não parte pela origem do 
sistema. 
Será considerado o vetor 𝐴𝐵 de origem no 
ponto 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) e extremidade 𝐵 =
(𝑥2, 𝑦2). 
 
V
ET
O
R
ES
 
29 
VETORES NO R² - VETOR DEFINIDO 
POR DOIS PONTOS 
VETORES NO R² - VETOR DEFINIDO 
POR DOIS PONTOS 
V
ET
O
R
ES
 
30 
De acordo com a OBSERVAÇÃO 
B do item ADIÇÃO DE VETORES: A 
diferença 𝑢 − 𝑣 tem origem na 
extremidade de 𝑣 (e, por 
conseguinte, a diferença de 𝑣 − 𝑢 
tem origem na extremidade de 𝑢). 
VETORES NO R² - VETOR DEFINIDO 
POR DOIS PONTOS 
O vetor 𝐴𝐵 é a diferença entre os vetores 
𝑂𝐵 𝑒 𝑂𝐴. 
 
𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 
𝐴𝐵 = (𝑥2, 𝑦2) − (𝑥1, 𝑦1) 
𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) 
 
V
ET
O
R
ES
 
31 
VETORES NO R² - PRODUTO 
ESCALAR 
Produto escalar de dois vetores de 
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) é representado por 
𝑢 ∙ 𝑣, ao número real.𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 
Pode ser indicado por < 𝑢, 𝑣 > e se lê: 
"𝒖 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒓 𝒗" 
 
V
ET
O
R
ES
 
32 
VETORES NO R² - PRODUTO 
ESCALAR 
EXEMPLO: Se 𝑢 = (2,3) e 𝑣 = (4,−1) , 
determinar 𝑢 ∙ 𝑣. 
𝑢 ∙ 𝑣 = 2 × 4 + 3 × −1 
𝑢 ∙ 𝑣 = 8 − 3 
𝑢 ∙ 𝑣 = 5 
V
ET
O
R
ES
 
33 
VETORES NO R² - PRODUTO 
ESCALAR (PROPRIEDADES) 
I. 𝑢 ∙ 𝑢 ≥ 0 𝑒 𝑢 ∙ 𝑢 = 0 se, e somente se, 
𝑢 = 0 = 0,0 ; 
II. Comutativa: 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑣 ∙ 𝑢; 
III. Distributiva em relação à adição de 
vetores: 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑤; 
IV. 𝑘𝑢 ∙ 𝑣 = k 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ∙ 𝑘𝑣 ; 
V. 𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 2 
 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
34 
VETORES NO R² - PRODUTO 
ESCALAR (PROPRIEDADES - OBSERVAÇÕES) 
Como consequência das propriedades do 
produto escalar, tem – se que: 
1. 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 2𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 
2. 𝑢 − 𝑣 2 = 𝑢 2 − 2𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 
 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
35 
VETORES NO R² - MÓDULO DE UM 
VETOR 
Módulo de um vetor 𝑣 = 𝑥, 𝑦 , 
representado por 𝑣 , é um número real não - 
negativo. 
𝒗 = 𝒗 ∙ 𝒗 
Em coordenadas: 
𝑣 = (𝑥, 𝑦) ∙ (𝑥, 𝑦) 
𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
V
ET
O
R
ES
 
36 
VETORES NO R² - MÓDULO DE UM 
VETOR 
EXEMPLO: 
Determinar o módulo do vetor 𝑣 = (3,−4). 
𝑣 = 32 + (−4)2 
𝑣 = 9 + 16 
𝑣 = 25 
𝑣 = 5 
 
 
 
 
V
ET
O
R
ES
 
37 
VETORES NO R² - MÓDULO DE UM 
VETOR (OBSERVAÇÃO) 
Dado o vetor 𝐴𝐵 com extremidades nos 
pontos 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝐵 = (𝑥2, 𝑦2), o módulo 
do vetor será: 
𝑨𝑩 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 
V
ET
O
R
ES
 
38 
VETORES NO R² - VETOR UNITÁRIO 
Para um vetor 𝑣 ≠ 0 é possível obter um 
vetor unitário 𝑢 fazendo: 
𝒖 =
𝒗
𝒗
 
EXEMPLO: Determinar o vetor unitário do 
vetor 𝑣 = (3,−4). 
𝑢 =
(3,−4)
32 + (−4)2
=
(3,−4)
5
=
3
5
,−
4
5
 
V
ET
O
R
ES
 
39 
O ângulo dos dois vetores 𝑢 = 𝑂𝐴 e 
𝑣 = 𝑂𝐵, não nulos, é o ângulo 𝜃 formado 
pelas semi – retas OA e OB e tal que: 
 
0 < 𝜃 <
𝜋
2
 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
40 
VETORES NO R² - ÂNGULO DE DOIS 
VETORES 
VETORES NO R² - ÂNGULO DE DOIS 
VETORES 
Um triângulo formado pelos vetores 𝑢 ≠ 0 e 
𝑣 ≠ 0. 
 
 
 
 
Segundo a lei dos cossenos: 
𝒖 − 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 + 𝒗 𝟐 − 𝟐 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
41 
VETORES NO R² - ÂNGULO DE DOIS 
VETORES 
De acordo com as propriedades do produto escalar: 
𝒖 − 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 − 𝟐𝒖 ∙ 𝒗 + 𝒗 𝟐 
 
Igualando as expressões: 
𝑢 2 + 𝑣 2 − 2 𝑢 𝑣 cos 𝜃 = 𝑢 2 − 2𝑢 ∙ 𝑣 + 𝑣 2 
 𝑢 2 − 𝑢 2 + 𝑣 2 − 𝑣 2 − 2 𝑢 𝑣 cos 𝜃 = −2𝑢 ∙ 𝑣 
−2 𝑢 𝑣 cos 𝜃 = −2𝑢 ∙ 𝑣 
𝑢 𝑣 cos 𝜃 = 𝑢 ∙ 𝑣 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒖 ∙ 𝒗 
𝒖 𝒗
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
42 
VETORES NO R² - ÂNGULO DE DOIS 
VETORES 
EXEMPLO 
O ângulo 𝜃 entre 
os vetores 
𝑢 = (−2,−2) e 
𝑣 = 0,−2 . 
cos 𝜃 =
(−2,−2) ∙ (0, −2)
(−2)2+(−2)2× 02 + (−2)2
 
𝜃 = 45° 
 
 V
ET
O
R
ES
 
43 
VETORES NO R² - PARALELISMO DE 
DOIS VETORES 
Se dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
são paralelos (ou colineares), existe um 
número 𝑘 tal que: 𝑢 = 𝑘𝑣 
Se 𝑢 = 𝑘𝑣, logo: 𝑥1, 𝑦1 = 𝑘(𝑥2, 𝑦2) 
Logo: 
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝒚𝟏
𝒚𝟐
= 𝒌 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
44 
VETORES NO R² - PARALELISMO DE 
DOIS VETORES 
 
1. Dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são paralelos quando 
suas componentes são proporcionais. 
2. Representação do paralelismo de dois 
vetores 𝑢 𝑒 𝑣: 𝒖 // 𝒗 
 V
ET
O
R
ES
 
45 
VETORES NO R² - PARALELISMO DE 
DOIS VETORES 
 
EXEMPLO: 
Determinar se os vetores 𝑢 = (−2,3) e 
𝑣 = −4,6 são paralelos: 
𝑘 =
𝑥1
𝑥2
=
−2
−4
=
1
2
 
𝑘 =
𝑦1
𝑦2
=
3
6
=
1
2
 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
46 
𝒖 =
𝟏
𝟐
𝒗 
VETORES NO R² - 
ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
Se dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) 
são ortogonais, o ângulo 𝜃 formado por eles é 
90°, logo: 𝐜𝐨𝐬𝜽 = 𝐜𝐨𝐬𝟗𝟎° = 𝟎. 
A expressão que define o ângulo entre dois 
vetores é: 𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒖∙𝒗 
𝒖 𝒗
. 
 
 V
ET
O
R
ES
 
47 
VETORES NO R² - 
ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
Substituindo cos 𝜃 = cos 90° : 
 
𝑐𝑜𝑠 90° =
𝑢 ∙ 𝑣 
𝑢 𝑣
 
 
0 =
𝑢 ∙ 𝑣 
𝑢 𝑣
 
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝟎 ∴ 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 = 𝟎 
 
 V
ET
O
R
ES
 
48 
VETORES NO R² - 
ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
1. Dois vetores 𝑢 𝑒 𝑣 são ortogonais quando o 
produto escalar entre eles é nulo. 
2. Representação da ortogonalidade de dois 
vetores 𝑢 𝑒 𝑣: 
𝒖 𝒗 
 V
ET
O
R
ES
 
49 
VETORES NO R² - 
ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
 
EXEMPLO: Determinar se os vetores 
𝑢 = (2,3) e 𝑣 = −3,2 são ortogonais: 
RESPOSTA: 
𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 0 
2 × −3 + 2 × 3 = −6 + 6 = 0 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
50 
VETORES NO R³ 
O conjunto: 
 𝑅3 = 𝑅 × 𝑅 × 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅} 
É interpretado geometricamente como 
sendo o espaço cartesiano tridimensional 
𝑂𝑥𝑦𝑧. 
 V
ET
O
R
ES
 
51 
VETORES NO R³ - OBSERVAÇÃO 
Da mesma forma que é feito para o plano, serão 
considerados vetores representados por seguimentos 
orientados com a origem na origem do sistema. 
O ponto 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
individualiza o vetor 𝑂𝑃. 
𝒗 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) 
 
 V
ET
O
R
ES
 
52 
VETORES NO R³ 
1. A origem do sistema 𝑂 = 0,0,0 
representa o vetor nulo. 
2. O vetor oposto de 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) é o vetor 
− 𝑣 = (−𝑥,−𝑦,−𝑧). 
 
 V
ET
O
R
ES
 
53 
VETORES NO R³ 
De forma análoga à que tivemos no plano, 
teremos no espaço: 
1. Dois vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 =
𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são iguais se, e somente se: 
𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 
𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 
𝒛𝟏 = 𝒛𝟐 
 V
ET
O
R
ES
 
54 
VETORES NO R³ 
2. Dados o vetores e o número escalar: 
𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1); 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 ; 𝑎 ∈ 𝑅 
A. 𝒖 + 𝒗 = (𝒙𝟏 + 𝒙𝟐, 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐, 𝒛𝟏 + 𝒛𝟐) 
B. 𝒂𝒖 = (𝒂𝒙𝟏, 𝒂𝒚𝟏, 𝒂𝒛𝟏) 
3. Se 𝐴 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝐵 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são 
dois pontos quaisquer no espaço, então: 
𝑨𝑩 = (𝒙𝟐 − 𝒙𝟏, 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏, 𝒛𝟐 − 𝒛𝟏) 
 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
55 
VETORES NO R³ 
4. O produto escalar dos vetores 𝑢 =
(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 é o número 
real: 
𝒖 ∙ 𝒗 = 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 
5. O módulo do vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧): 
𝒗 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
56 
VETORES NO R³ 
6. Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 ) e 𝑣 = 𝑥2, 𝑦2, 𝑧2 são 
vetores não nulos e 𝜃 o ângulo formado por 
eles: cos𝜽 =
𝒖∙𝒗
𝒖 𝒗
 
7. 𝑢 // 𝑣: 
𝒙𝟏
𝒙𝟐
=
𝒚𝟏
𝒚𝟐
=
𝒛𝟏
𝒛𝟐
 
8. 𝑢 𝑣: 𝒙𝟏𝒙𝟐 + 𝒚𝟏𝒚𝟐 + 𝒛𝟏𝒛𝟐 = 𝟎 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
57 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL 
Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são 
vetores no espaço tridimensional, então o 
produto vetorial 𝑢 × 𝑣 é o vetor definido por: 
𝑢 × 𝑣 = (𝑦1𝑧2 − 𝑧1𝑦2, 𝑧1𝑥2 − 𝑥1𝑧2, 𝑥1𝑦2 − 𝑦1𝑥2) 
 
 
 V
ET
O
R
ES
 
58 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL (CARACTERÍSTICAS) 
1. Direção: o vetor 𝑢 × 𝑣 perpendicular aos vetores 𝑢 e 
𝑣; 
2. Sentido: os vetores 𝑢, 𝑣 e 𝑢 × 𝑣, nesta ordem, forma 
um triedro positivo*. 
3. Módulo: 𝑢 × 𝑣 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃 
 V
ET
O
R
ES
 
59 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL 
 
 
* Triedro Positivo: 
Regra da mão direita: método utilizado para 
convencionaro triedro positivo: 
Dispõe – se o dedo médio na direção e sentido de 𝑢, o 
indicador de 𝑣 e o polegar indicará a direção e o sentido 
de 𝑢 × 𝑣. 
 
 V
ET
O
R
ES
 
60 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL (OBSERVAÇÃO) 
Enquanto o produto escalar de dois vetores 
pode ser realizado em espaços bi e tridimensional, 
a multiplicação vetorial só é aplicável em espaço 
tridimensional. 
 
 V
ET
O
R
ES
 
61 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL (RELAÇÕES ENTRE OS 
PRODUTOS ESCALAR E VETORIAL) 
a) 𝑢 ∙ (𝑢 × 𝑣) = 0 ∴ 𝑢 × 𝑣 𝑢 
b) 𝑣 ∙ (𝑢 × 𝑣) = 0 ∴ 𝑢 × 𝑣 𝑣 
c) 𝑢 × 𝑣 × 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣 𝑤 
d) (𝑢 × 𝑣) × 𝑤 = 𝑢 ∙ 𝑤 𝑣 − 𝑣 ∙ 𝑤 𝑢 
 V
ET
O
R
ES
 
62 
VETORES NO R³ - PRODUTO 
VETORIAL (PROPRIEDADES) 
a) 𝑢 × 𝑣 = −(𝑣 × 𝑢) 
b) 𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + (𝑢 × 𝑤) 
c) 𝑢 + 𝑣 × 𝑤 = 𝑢 × 𝑤 + (𝑣 × 𝑤) 
d) 𝛼 𝑢 × 𝑣 = 𝛼𝑢 × 𝑣 = 𝑢 × (𝛼𝑣) 
e) 𝑢 × 0 = 0 × 𝑢 = 0 
f) 𝑢 × 𝑢 = 0 
 
 V
ET
O
R
ES
 
63