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Apostila de MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL e-mail: Elenilton@superig.com.br Prof. Dsc. Elenilton Teodoro Domingues 2012 Aracaju, Fevereiro i SUMÁRIO 1. APRESENTAÇÃO 1 1.1. INTRODUÇÃO 1 1.2. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 1 1.3. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS: OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS 1 1.4. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA REAL AO MODELO FÍSICO 2 1.5. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA REAL AO MODELO FÍSICO 2 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3 2.1. INTRODUÇÃO 3 2.2. OBJETIVO 4 2.3. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? 4 2.4. REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS 5 2.5. TRANSFORMADA DE LAPACE 5 2.6. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES 6 2.6.1. FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 2.6.2. FUNÇÃO DEGRAU 8 2.6.3. FUNÇÃO RAMPA 10 2.6.4. FUNÇÃO SENO 12 2.6.5. FUNÇÃO COSENO 14 2.6.6. TEOREMA DA TRANSLACÃO 16 2.6.7. FUNÇÃO PULSO OU GATE 19 2.6.8. FUNÇÃO IMPULSO 20 2.7. ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 22 2.7.1. LINEARIDADE 22 2.7.2. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR 23 2.7.3. MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn 24 2.7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS 25 2.7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS 26 2.8. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 27 2.9. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 27 2.10. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 27 2.10.1. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS 30 2.10.2. F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS 33 2.10.3. F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS 38 2.11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO 42 2.12. TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) 45 2.13. TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) 45 3. MODELAGEM MATEMÁTICA 47 3.1. CONSIDERAÇOES GERAIS 47 3.2. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS 47 3.3. MODELAGEM MATEMÁTICA 50 3.4. CONTROLE CLÁSSICO 50 3.4.1. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 50 3.4.2. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 51 3.4.3. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 52 3.4.4. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA 52 3.5. SISTEMAS ELÉTRICOS 53 3.5.1. COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS 53 3.5.2. EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS 54 3.5.3. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS 58 3.5.4. CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DOS NÓS 61 3.6. SISTEMAS MECÂNICOS 63 3.6.1. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 63 3.6.2. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS 63 3.6.2.1. MASSA 63 3.6.2.2. MOLA 64 3.6.2.3. AMORTECEDOR 64 3.6.3. 2 LEI DE NEWTON 65 3.6.4. SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL 70 3.7. SISTEMAS HIDRÁULICOS 72 3.8. CONTROLE MODERNO 76 3.9. MODELAGEM POR VARIÁVEIS DE ESTADO 76 3.10. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO DE ESTADOS QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO NÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS 76 3.11. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS 78 3.12. ALGUMAS DEFINIÇÕES 81 3.13. CORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ESTADOS 81 i CAPÍTULO 1 APRESENTAÇÃO INTRODUÇÃO O objetivo da modelagem é determinar uma representação matematicamente tratável para um sistema físico. A essa representação damos o nome de modelo. Portanto, um modelo é uma idealização da realidade que retém suas principais característica e que é matematicamente tratável. A modelagem é uma etapa importante no projeto de sistemas de controle, posto que o êxito dessa tarefa dependerá do modelo criado para o sistema em questão. A modelagem matemática de um sistema dinâmico é constituída por um conjunto de equações diferenciais que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de uma forma aceitável. MÉTODOS PARA DETERMINAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS Existem dois métodos básicos de modelagem: 1) Modelagem Teórica (ou Analítica) Utiliza os princípios da física e da química para obter as equações diferenciais que regem o processo a ser modelado. 2) Modelagem Experimental (ou Empírica) Usa a observação direta dos dados operacionais do processo para obter as equações diferenciais que o descrevem. Geralmente, aplica-se uma sinal de entrada conhecido e mede-se a saída correspondente. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS: OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS Um modelo matemático analítico de um sistema dinâmico é gerado em duas etapas: 1. Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real. Neste estágio, as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída escolhidas. 2. Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico, isto é, escrever as equações dinâmicas do modelo físico. Para tanto, as leis físicas e/ou químicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e de saída. Com o modelo matemático obtido analiticamente, pode-se estudar o comportamento dinâmico do sistema, através da solução das equações diferenciais que o descrevem e projetar estratégias de controle para obter-se o comportamento desejado. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA REAL AO MODELO FÍSICO Um modelo físico representa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema físico real em suas características mais importantes, mas que é mais simples (uma idealização) e, portanto, mais propício ao estudo. A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração. Os seguintes tipos de aproximação são possíveis: – Desprezar pequenos efeitos; – Assumir que o ambiente em torno do sistema não seja afetado por ele; – Substituir características distribuídas por concentradas; – Assumir relações lineares de causa-e-efeito entre as variáveis físicas; – Assumir que os parâmetros físicos não variem com o tempo; – Desprezar incertezas e ruídos. MODELAGEM ANALÍTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS MODELO FÍSICO: DO SISTEMA REAL AO MODELO FÍSICO Para obter as equações dinâmicas de um processo, os seguintes passos devem ser seguidos: 1. Definição das variáveis de entrada e de saída; 2. Escrever as relações sistêmica (relações de equilíbrio ou de compatibilidade inter-elementos); 3. Escrever as relações constitutivas para cada elemento (são puramente empíricas); e 4. Combinar as relações obtidas, obtendo as equações dinâmicas. CAPÍTULO 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE INTRODUÇÃO A Transformada de Laplace é um método para resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada à Engenharia. Essa transformação reduz o problema de resolver a equação diferencial a um problema puramente algébrica. Outra vantagem consiste no fato de que o método leva em conta as condições iniciais sem a necessidade de determinar em primeiro lugar a solução geral para dela então obter a solução particular. Particularmente, em Engenharia Elétrica esse método é aplicado em: Circuitos Elétricos; Conversão de Energia; Sistemas de Controle e Servomecanismos. Algumas vantagens da aplicação da Transformada de Lapace em controle são: a) Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho do sistema de controle sem a necessidade de resolver as equações diferenciais que o descrevem. b) Resolvendo a equação diferencial, obtém-se tanto a resposta transitória como a de regime permanente. A Transformada de Laplace transforma uma função da variável tempo, digamos f(t), numa outra função F(s) onde s=+j é uma variável complexa. Em de terminadas condições, as funções f(t) e sua transformada F(s) estão relacionadas de forma biunívoca. Transformada Inversa Transformada Direta F(S) F(t) Figura 2.1 - Relação das Transformadas diretas e inversas O uso de Transformadas de Laplace nos permitirá agora aprofundar a análise das propriedades dos sistemas de controle. Encare a abordagem deste Capítulo como uma nova perspectiva, e não perca de vistaum aspecto fundamental: muda a abordagem, mas o objeto de estudo se mantém! OBJETIVO Este não é um curso de Cálculo. Este Capítulo não tem a intenção de ensinar Transformadas de Laplace. Nos limitaremos a reunir aqui algumas definições e propriedades já conhecidas (e esquecidas?) necessárias ao curso de controle. O QUE É UMA TRANSFORMADA ? Exemplo: A multiplicação de dois números romanos, VI XIV, com a resposta em número romano. Procedimento: Transformar estes números romanos em números arábicos: VI 6; XIV 14; Problema transformado: multiplicar 6 por 14 = 84; Converter a solução do problema transformado para a solução do problema original: 84 LXXXIV : Transformação Inversa. Procedimento adotado: Resolução Transformada Inversa Transformada Aplicação da PROBLEMA ORIGINAL VI x XIV PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14 SOLUÇÃO DO PROBLEMA ORIGINAL LXXXIV SOLUÇÃO DO PROBLEMA TRANSFORMADO 6 x 14 Figura 2.2 – Procedimento adotado para se realizar uma transformada REVISÃO DAS VARIAVEIS COMPLEXAS E DAS FUNÇOES COMPLEXAS Variáveis complexas: Um número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária, sendo ambas constantes. Se a parte real e/ou a parte imaginária forem variáveis, teremos então o que se denomina variável complexa. Na Transformada de Laplace, utiliza-se anotação “s”como variável complexa. Ou seja: Onde é a parte real e é a parte imaginária. Funções complexas: uma função complexa G(s) é uma função de “s”que se tem uma parte real e uma parte imaginária ou Onde Gx e Gy são quantidades reais. O módulo de G(s) é , e o argumento angular de G(s) é . O ângulo é medido no sentido anti-horário a partir do sentido positivo do eixo real. O complexo conjugado de G(s) é . TRANSFORMADA DE LAPACE Inicialmente, apresentaremos a definição de Transformada de Laplace e em seguida, daremos alguns exemplos para ilustrar a dedução da Transformada de Laplace de várias funções comumente utilizadas. Vamos definir: f(t) uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0; S uma variável complexa; L um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é para ser transformada pela integral de Laplace F(s) Transformada de Laplace de f(t) Então a Transformada de Laplace é de f(t) é definida por: Anotações TRANSFORMADA DE LAPLACE DE ALGUMAS FUNÇÕES FUNÇÃO EXPONENCIAL A função exponencial é uma das funções mais importante porque as exponenciais aparecem sempre na solução das equações diferenciais. A função exponencial é definida como: Onde A e α são constantes. Por definição: onde: Temos: Artifício: Então: Mas: Logo: Portanto: Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) b) c) d) e) f) 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções: a) f(t) = b) f(t) = c) f(t) = d) f(t) = e) f(t) = f) f(t) = Anotações FUNÇÃO DEGRAU A função degrau corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma determinada condição, ou variável, de um sistema, como a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num capacitor, ou a vazão em uma tubulação, a ativação elétrica de um circuito, ou ainda o início da ação de uma força por exemplo. A função degrau é definida como: Onde A é constante. Por definição: onde: Temos: Artifício: Então: mas: Logo: Portanto: Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) b) c) d) e) f) 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções a) f(t) = b) f(t) = c) f(t) = d) f(t) = e) f(t) = f) f(t) = Anotações FUNÇÃO RAMPA A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. Quando o tempo tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. Na prática isto não ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. A função rampa é definida por: Onde A é constante. Por definição: onde: Temos: Artifício: Então: Portanto: Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) b) b) d) e) f) 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções a) f(t) = b) f(t) = c) f(t) = d) f(t) = e) f(t) = f) f(t) = Anotações FUNÇÃO SENO Também muito importante, essa função de teste pode simular um sinal de natureza harmônica. Um exemplo bastante familiar é a tensão elétrica que existe em nossa residência. Ela é definida como: Onde: A e ω são constantes. A Amplitude da forma da onda. ω Freqüência da forma da onda. Por definição: onde: Temos: Fórmula Euler: Então: Portanto: Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) b) b) d) e) f) 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções a) f(t) = b) f(t) = c) f(t) = d) f(t) = e) f(t) = f) f(t) = Anotações FUNÇÃO COSENO Essa função de teste também pode simular um sinal de natureza harmônica. Ela é definida como: Onde: A e ω são constantes. A Amplitude da forma da onda. ω Freqüência da forma da onda. Por definição: onde: Temos: Fórmula Euler: Então: Portanto: Exercícios 01) Obter a transformada de Laplace das seguintes funções: a) b) b) d) e) f) 02) Obter a transformada de Inversa de Laplace das seguintes funções a) f(t) = b) f(t) = c) f(t) = c) f(t) = d) f(t) = e) f(t) = Anotações TEOREMA DA TRANSLACÃO Vamos obter a Transformada de Laplace da função transladada , onde . Essa função é zero para . As funções e são mostradas a seguir: Por definição, a Transformada de Laplace de é dada por: Substituindo a variável independente por (letra grega Tal), em que , obtemos: Como estamos considerando para , para para . Como conseqüência, podemos mudar o limite inferior da integração de para 0. Assim: Onde: Então: para Esta ultima equação estabelece que a translação de uma função no tempo de (onde ) corresponde à multiplicação da transformada por . Portanto: Exemplo 01: Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo: a) Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por: Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: b) Deste modo, a funçao dente de serra pode ser expressa por: Para utilizar diretamente a propriedade do deslocamentono tempo é necessário escrever a função no tempo, na forma: , logo: Utilizando as T.L. e considerando a propriedade de deslocamento no tempo, tem-se: Exercícios: 01) Obter a Transformada de Laplace das funções f(t) mostradas abaixo: Deste modo, a funçao pode ser expressa por: Aplicando a Transformada de Laplace inversa temos: b) FUNÇÃO PULSO OU GATE Onde: A é uma constante. Do teorema da translação temos: (função pulso no domínio do tempo) Aplicando a Transformada de Laplace temos: Portanto: Anotações FUNÇÃO IMPULSO Considerando a seguinte função pulso com a área do pulso igual a 1: Logo a função é dada por: Se a largura do pulso for diminuída e a altura for aumentada, mantendo sempre unitária a área sobre o pulso, no limite, A0 resulta num pulso de largura zero, amplitude infinita e área unitária. Neste limite, o pulso é chamado de Impulso Unitário. Veja afigura a seguir: A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um intervalo infinitesimal de tempo, ou seja, ela atua por um pequeno intervalo de tempo e depois cessa a atuação. Esta função é também conhecida como função “delta de Dirac”. Na função impulso unitário a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. Um bom exemplo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes mecânicas. A função impulso unitário é definida como: Portanto: A entrada impulsiva fornece energia ao sistema em um tempo infinitesimal. Anotações ALGUMAS PROPIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE A Transformada de Laplace (T.L.) possui várias propriedades gerais. Estas propriedades facilitam a obtenção da Transformada de muitas funções. LINEARIDADE A Transformada de Laplace (T.L.) é uma operação linear, isto é, para quaisquer funções f(t) e g(t) cujas T.L existam e quaisquer constantes C1 e C2 temos: Exemplo 01: a) Exercícios 01) Obter a T.L. das seguintes funções aplicando a propriedade de linearidade: a) b) MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como: Isto é, a substituição de “s” por “(s-)” na Transformada correspondente a multiplicação da função original por . Exemplo 01: a) b) Exercícios 01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) b) MULTIPLICAÇÃO DE UMA F(T) POR tn Se f(t) é transformável por Laplace, sendo F(s) sua Transformada de Laplace, então a T.L. de f(t) será obtida como: Dica: Se , então: Onde : (n=1,2,3,......) Exemplo 01: = Logo: n=2 e , então: Exercícios 01) Obter a T. L. das seguintes funções: a) b) TRANSFORMADA DE LAPLACE DE DERIVADAS Se existe a Transformada de f(t) e de f’(t), então a T.L. de f’(t) será obtida como: Artifício: Então: Similarmente para a derivada n-ésima de f(t): Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos: Anotações TRANSFORMADA DE LAPLACE DE INTEGRAIS Se existe a Transformada de f(t), então a T.L. da integral de f(t) será obtida como: Artifício: Então: Fazendo: Teremos: Se as condições iniciais forem iguais a zero teremos: Anotações TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE O processo inverso de determinação da função de tempo f(t) a partir da Transformada de Laplace F(s) é chamado de Transformada Inversa de Laplace e a notação utilizada para designá-la é . A Transformada Inversa de Laplace pode ser obtida a partir de F(s), com o auxilio da seguinte integral de inversão: , para t > 0 onde “c”, abscissa de convergência, é uma constante real e é escolhida com valor superior à parte real de todos os pontos singulares de F(s). Assim o caminho de integração é paralelo ao eixo j e é deslocado do eixo de um valor de c. Esse caminho de integração fica à direita de todos os pontos singulares. O cálculo da integral de inversão é, aparentemente, complicado. Na prática, raramente utilizaremos essa integral para a obtenção de f(t). Existem métodos mais simples para encontrar f(t). Esses métodos são apresentados a seguir. MÉTODO PARA OBTER A TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Conhecendo-se a Transformada de Laplace de uma função, pode-se obter a função no tempo que a originou aplicando-se as técnicas de transformação inversa. Em muitos casos, pode-se usar diretamente as tabelas de Transformadas de Laplace. Quando não possível, deve-se aplicar as técnicas de decomposição, como: Integral de convolação; Expansão em Frações Parciais. No curso de Teoria de Controle, vamos utilizar o Método de Expansão em Frações Parciais que será apresentado a seguir. MÉTODO DE EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Em problemas de analise de sistemas de controle, F(s), a Transformada de Laplace de f(t), apresenta-se freqüentemente do seguinte modo: onde A(s) e B(s) são polinômios em “s”. Na expansão de F(s)= B(s)/A(s) em frações parciais, é importante que a maior potência de “s” em A(s) seja maior do que a maior potência de “s” em B(s). Se não for esse o caso, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para resultar um polinômio em “s” mais um resto (uma relação de polinômio em “s” cujo numerador é de menor grau que o denominador). Ou seja: Podemos escrever da seguinte forma: Dividindo a expressão anterior por A(s), temos: Logo: Exemplo 01: Obter a Transformada Inversa de Laplace de: a) Logo: Aplicando a T.I.L. temos: Exercícios 01) Obter a Transformada Inversa de Laplace de: a) Se a potência de “s” em A(s) é maior do que a maior potência de “s” em B(s) então, F(s), Transformada de Laplace de f(t), pode ser separada em componentes: e se as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s) são conhecidas de imediato, então: Logo: onde f1(t), f2(t),....., fn(t) são as Transformadas Inversas de F1(s), F2(s),....., Fn(s), respectivamente. Ao aplicar a técnica de expansão em frações parciais para achar a Transformada Inversa de Laplace de F(s)= B(s)/A(s), devem-se conhecer de antemão as raízes do polinômio do denominador A(s). [Em outras palavras, este método não é aplicável enquanto o polinômio do denominador não for fatorado.] A vantagem do método da expansão em frações parciais é que termos individuais de F(s), resultando da expansão na forma de frações parciais, são funções muito simples de “s”; portanto não necessitamos consultar uma tabela de Transformadas de Laplace se memorizarmos vários pares de Transformadas de Lapalce simples. F(S) ENVOLVE SOMENTE PÓLOS REAIS E DISTINTOS Consideremos a F(s) escrito na forma: , para m < n Onde , , ..., e , , ..., são quantidades reais. Se F(s) possuir somente pólos (raízes) distintos, ela então poderá ser expandida em uma soma de frações parciais simples, como está indicado a seguir: (2.1) Onde (k= 1, 2, ..., n) são constantes. O coeficiente é chamado de resíduo do pólo em . O valor de pode ser encontrado ao multiplicar ambosos lados da eq.(2.1) pelo coeficiente genérico “” e ao fazer , que resulta em: Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de . Assim o resíduo é determinado por: Note que, como f(t) é uma função real de tempo. Como: A função f(t) é obtido como: , para t 0. Anotações RESUMO: Onde: são reais Determinação do coeficiente bk qualquer: Multiplica-se todos os numeradores pelo denominador ao coeficiente genérico “(s+pk)” e faz –se s=-pk, obtendo-se: Exemplo: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) A expansão em frações parciais de F(s) é Onde b1 e b2 são determinados por meio de: Assim: para t 0 Exercícios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: a) b) F(S) ENVOLVE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS A metodologia, neste caso, é semelhante à situação com raízes reais e distintas. Se p1 e p2 são pólos complexos conjugados, então a seguinte expressão pode ser usada: (2.2) Os valores de β1 e β2 determinados multiplicando-se ambos os lados da eq.(2.2) por e fazendo s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: Vemos que todos os termos expandidos são eliminados, com exceção de do termo . Portanto: (2.3) Como é uma grandeza complexa, ambos os lados da eq.(2.3) são grandezas complexas. Igualando as partes reais de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma equação. Da mesma forma, igualando as partes imaginarias de ambos os lados da eq.(2.3), obtemos uma outra equação. Dessas duas equações é possível determinar β1 e β2. Os outros coeficientes b3,....,bk,....,bn serão obtidos como no primeiro caso. RESUMO: Onde: e são pólos conjugados complexos Determinação dos coeficientes “β1” e “β2”: Multiplica-se todos os numeradores por “(s+p1) (s+p2)” e faz s=-p1 ou s=-p2, obtendo-se: Iguala-se as partes reais e imaginarias de ambos lados da equação. Resolvendo-as obtém os coeficientes “β1” e “β2”. Os outros coeficientes “b3”, “bk” e “bn” são obtidos como no primeiro caso. Exemplo 01: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) A F(s) pode ser expandida da seguinte forma: (2.4) Para obter β 1 e β 2 : Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por e impõe obtendo: (multiplica-se pelo conjugado) Logo: Igualando as partes reais e imaginarias de ambos os lados desta equação, respectivamente obtemos: Resolvendo o sistema de equações, resulta: Para obter b 3 : Multiplica-se ambos os lados da eq.(2.4) por e faz , obtêm: Portanto: A equação: pode ser reescrita da seguinte forma: (s+R)2+I2, onde R é a parte real e I é a parte imaginaria das raízes complexas. Ou seja: Logo: A Transformada Inversa de Laplace F(s) é então dada por: para DICA: A ocorrência de raízes complexas gera a presença de termos oscilatórios na resposta dinâmica e a possibilidade de uma formatação genérica para a solução final, usando funções trigonométricas. Portanto, o modo mais usual é fazer a expansão na soma de uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida. Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) A função F(s) pode ser expandida em uma função senoidal amortecida e uma função cossenoidal amortecida: para Exercícios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: a) b) F(S) ENVOLVE PÓLOS MÚLTIPLOS Considere a F(s) =B(s)/A(s), onde A(s) =0 tem raízes P1 de multiplicidade “r”. [As outras raízes são supostas distintas]. A(s) pode ser escrita como: A expansão em frações parciais de F(s) é: (2.5) Onde br, br-1,...., b1 são dados por: Estas relações para os valores de “b” podem ser obtidas: Multiplicando ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e fazer s tender a –p1, temos: Se multiplicarmos ambos os lados da eq.(2.5) por (s+p1)r e então derivarmos com relação a “s”, O primeiro termo do lado direito desta ultima equação é igual a zero. O segundo termo é igual a br-1. Cada um dos outros termos contém alguma potência de (s+p1) como fator, resultando que quando “s” tende ao valor –p1, estes termos se anulam. Portanto, Da mesma forma, fazendosucessivas diferenciações com relação a “s” e fazendo “s”tender a –p1, obtemos equações para os br-j. Note que a Transformada Inversa de Laplace de 1/(s+p1)n é dada por: As constantes ar+1, ar+2, ...., na, na eq. (2.5) são determinadas a partir de: A Transformada Inverda de Laplace de F(s) é então obtida como visto a seguir: (t ≥ 0) RESUMO: Onde: são os pólos múltiplos Determinação do coeficiente br ,.., br-1 ,.., br-j ,.., b1: Dica: Exemplo 02: Determine a Transformada Inversa de Laplace de: a) A expansão em frações parciais dessa F(s) envolve três termos: Onde b3, b2 e b1 são determinados como vistos a seguir: Portanto obtemos: para Exercícios 01) Obter a transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: a) b) EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES E INVARTIANTES NO TEMPO Nesta seção vamos abordar o uso do método da Transformada de Laplace na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. O método da transformada de Laplace conduz à solução completa (solução complementar e solução específica) de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo. Os métodos clássicos para a determinação da solução completa de equações diferenciais requerem o cálculo de constantes de integração a partir das condições iniciais. No caso do método da Transformada de Laplace, entretanto, esse requisito não é necessário porque as condições iniciais estão incluídas automaticamente na transformada de Laplace da equação diferencial. Se todas as condições iniciais forem nulas, então a transformada de Laplace da equação diferencial será obtida simplesmente substituindo d/dt por s, d2/dt2 por s2 e assim por diante. Na solução de equações diferenciais lineares e invariantes no tempo pelo método da Transformada Laplace, estão envolvidas duas etapas. 1. Aplicar a transformada de Laplace a cada termo de uma dada equação diferencial, converter a equação diferencial em uma equação algébrica em “s” e obter a expressão da Transformada de Laplace da variável dependente, reorganizando a equação algébrica assim obtida. 2. A solução da equação diferencial em função do tempo é obtida pela Transformada Inversa de Laplace da variável dependente. Na discussão a seguir, utilizaremos dois exemplos para ilustrar a solução de equações diferenciais lineares invariantes no tempo, por meio do método da Transformada de Laplace. Exemplo 01: Encontre a solução x(t) da equação diferencial: , , Onde a e b são constantes. Escrevendo a Transformada de Laplace de x(t) como X(s) ou Obtemos: E, assim, a equação diferencial dada torna-se: Substituindo as condições iniciais dadas nessa última equação, obtemos: Ou Resolvendo em relação a X(s), temos: A TransformadaInversa de Laplace de X(s) resulta em: , para t ≥ 0 Que é a solução da equação diferencial dada. Note que as condições iniciais a e b aparecem na solução. Assim, x(t) não tem constantes indeterminadas. Exemplo 02: Encontre a solução da equação diferencial: , , Observando-se que , , , a transformada de Laplace da equação diferencial torna-se: Resolvendo para X(s), encontramos: Conseqüentemente, a Transformada Inversa de Laplace torna-se: , para t ≥ 0 Que é a solução da equação diferencial. Exercícios 01) Qual é a solução das seguintes equações diferenciais ? a) , , b) , , TEOREMA DO VALOR INICIAL (TVI) O teorema do valor inicial (TVI) permite que se descubra o valor inicial do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor inicial estabelece que: TEOREMA DO VALOR FINAL (TVF) O teorema do valor final (TVF) permite que se descubra o valor final do sinal f(t) cuja Transformada de Laplace F(s) seja conhecida. O teorema do valor final estabelece que: Restrições de aplicação : Os pólos de , após cancelamento dos termos comuns, têm que estar no semi-plano esquerdo (SPE); Só é permitido um único pólo em s=0 (é de esperar = cte como na função degrau); O valor de é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo , pois a f(t) conterá funções de tempo oscilante. O valor de é indefinido se existirem pares de pólos conjugados no eixo no semi-plano esquerdo (SPD), pois a f(t) conterá funções de tempo crescentes exponencialmente. Este teorema não se aplica quando f(t) for uma função senoidal sen(t), pois s F(s) tem pólos em s= j e o não existe. Exemplos: Encontre valor inicial o valor final dos sinais abaixo: a) Valor inicial: Valor final: Indefinido, pois F(s) tem pólos conjugados s = ±j2 no eixo j b) Valor inicial: Como a ordem dos dois polinômios numerador e denominador são iguais efetua-se a divisão polinomial: e aplica-se o teorema do valor inicial a Y(s): Valor final: Podemos aplicar o teorema do valor final diretamente a F(s): 64 CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA CONSIDERAÇOES GERAIS Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos. Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora representativos das características mais importantes. Os modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças). Pode-se prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou matemático. Por exemplo, seja o sistema dinâmico mostrado na Figura 3.1, composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A equação matemática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na figura. Figura 3.1 - Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a suspensão de um veículo. TIPOS DE SISTEMAS E OS MODELOS MATEMATICOS O diagrama mostrado Figura 3.2 ilustra os diferentes tipos de sistemas e os modelos matemáticos utilizados na sua representação. Sistemas dinâmicos estocásticos possuem um comportamento imprevisível, e portanto não podem ser modelados. Um ruído é um exemplo de uma dinâmica estocástica. Sistemas determinísticos, ao contrário, possuem uma dinâmica previsível que pode ser modelada matematicamente. Se o sistema for determinístico, ele pode ser modelado por parâmetros concentrados ou distribuídos. Sistema a parâmetros concentrados significa que, dado as condições do sistema num instante, é possível prever a sua condição em qualquer instante. Já com parâmetros distribuídos, o estado é uma função de outros parâmetros. Um exemplo de um sistema com parâmetros concentrados é o sistema massa-mola-amortecedor mostrado na Figura 3.1. Este tipo de sistema é descrito por uma equação diferencial no tempo (df/dt). A distribuição de temperatura numa placa aquecida, por sua vez, é um sistema com parâmetros distribuídos, uma vez que a temperatura em cada ponto depende da posição do ponto e do tempo. Sistemas a parâmetros distribuídos são governados por equações diferenciais parciais (∂f/∂x). Quando o sistema possuir parâmetros concentrados, ele poderá ser modelado por funções contínuas ou discretas no tempo. Sistemas discretos são aqueles que assumem valores apenas em determinados instantes de tempo. Eles podem, eventualmente, ser modelados por funções contínuas. A propriedade discreta pode tanto estar no próprio sistema quanto na forma de se medir o sistema. Se a medição for discreta, a intervalos regulares no tempo, este sistema é considerado discreto. Exemplos de sistema discretos são: o número de habitantes contaminados a cada ano pelo vírus da gripe, a temperatura máxima do dia observada durante um ano num dado local, etc. Se um sistema dinâmico contínuo for simulado num computador, ele passa a ser discreto, uma vez que é impossível obter o valor do estado a cada instante de tempo, mas somente nos pontos calculados pelo computador. Na prática, porém, considera-se que o cálculo efetuado pelo computador é preciso o suficiente para que o sistema possa ser admitido como contínuo. Figura 3.2 - Sistemas dinâmicos e sua representação por modelos matemáticos Dentro de sistemas contínuos, o comportamento dinâmico pode ser linear ou não linear. Sistemas lineares são descritos por equações lineares (definidas logo a seguir) que se assemelham à equação de uma reta, ao passo que sistemas não lineares possuem termos com o quadrado, ou o cubo, ou o seno ou ainda a função exponencial das variáveis de estado. Se o sistema for linear, os coeficientes da equação linear podem ser constantes ou então variar lentamente no tempo. Se os coeficientes variam rapidamente no tempo, é muito provável que este sistema não seja linear. Exemplos de sistemas com parâmetros variantes no tempo são aeronaves e foguetes. Neles, a massa do veículo varia conforme o combustível é consumido, e as características dinâmicas sofrem influência desta variação. Finalmente, os sistemas podem ainda depender de apenas uma ou de mais de uma variável de estado. No primeiro caso tem-se os sistemas monovariáveis e no segundo tem-se sistemas multivariáveis. A Figura 3.1 mostra um exemplo de sistema monovariável. Porém, o conjunto completo de suspensão de um veículo seria um sistema multivariável, já que dependeria do número de rodas presentes no veículo. Para cada roda, acrescenta-se uma equação a mais no modelo matemático e, portanto, mais uma variável de estado. Serão utilizados aqui apenas modelos matemáticos, uma vez que eles permitem efetuar a análise do comportamento dinâmico dos sistemas, bem como sua controlabilidade, isto é, a verificação se estes sistemas podem ou não ser controlados e como deve ser este controle. Além disso, serão abordados sistemas lineares na quase totalidade do curso, principalmente em virtude de que a teoria de controle moderna deriva exclusivamente de sistemas lineares. Um sistema y = H(x) é linear se obedece à relação: Seja, por exemplo, a equação diferencial ordinária de 2a ordem y. Esta equação é linear, pois se x = x1 + x2, então: De onde se conclui que: y = y1 + y2 Nem todos os sistemas físicos reais são lineares. Na verdade, a grande maioria deles é não linear até um certo grau. Isto não significa que ateoria de controle de sistemas lineares não possa ser aplicada a sistemas não lineares, mas sim que se deve proceder a uma linearização (quando possível) do sistema a fim de tornar o controle menos suscetível às não linearidades. Infelizmente nem sempre esta prática resulta num sistema controlável. MODELAGEM MATEMÁTICA A maioria dos sistemas dinâmicos, independente de serem biológicos, elétricos, hidráulicos, etc, podem ser caracterizados por equações diferenciais utilizando as leis físicas. Modelos matemáticos é a descrição matemática das características dinâmicas de um sistema. Na obtenção de um modelo, devemos estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e precisão dos resultados da analise. Por exemplo: O exemplo acima mostra um motor de indução com seu respectivo modelo matemático. CONTROLE CLÁSSICO FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Em teoria de controle, funções chamadas Funções de Transferência são comumente usadas para caracterizar as relações de entrada-saída de componentes ou sistemas que podem ser descritos por equações diferencias lineares invariantes no tempo. A Função de Transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariantes no tempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta) para a Transformada de Laplace da entrada (função de excitação) sob a hipótese de que todas as condições iniciais são nulas. Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial: (nm) (3.1) Onde y é chamada de variável de saída e u é a variável de entrada. A Função de Transferência deste sistema é obtida tomando-se as Transformadas de Laplace de ambos os membros da eq.(3.1) e sob hipótese de que todas as condições iniciais são nulas, ou: (3.2) (3.3) Usando o conceito de Função de Transferência, é possível representar a dinâmica do sistema pelas equações algébricas em s. PROPRIEDADES DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA A Função de Transferência de um sistema tem várias propriedades úteis: 1) A Função de Transferência de um sistema é a Transformada de Laplace da sua resposta ao impulso. Isto é, se a entrada para um sistema com Função de Transferência F(s) é o impulso em todos os valores iniciais zero, a transformada da saída é F(s). 2) A Função de Transferência de um sistema pode ser determinada a partir da equação diferencial do sistema tomando-se a Transformada de Laplace e ignorando todos os termos que resultam dos valores iniciais. A Função de Transferência F(s) é então dada pela eq.(3.3). 3) A equação diferencial do sistema pode ser obtida da Função de Transferência substituindo-se a variável s pelo operador diferencial . 4) A estabilidade de um sistema linear, invariante com o tempo, pode ser determinada a partir da equação característica. O denominador da Função de Transferência de um sistema igualado a zero é a equação característica. Conseqüentemente, se todas as raízes do denominador tiverem partes reais negativas, o sistema é estável. 5) As raízes do denominador são os pólos do sistema e as raízes do numerador são os zeros do sistema. A Função de Transferência do sistema pode então ser especificada, a menos de uma constante, especificando-se os pólos e zeros do sistema. Esta constante, geralmente representada por K, é o fator-ganho do sistema. Os pólos e zeros do sistema podem ser representados esquematicamente por um mapa pólo-zero no plano-s. REPRESENTAÇÃO DA FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA Considerando novamente a Função de Transferência dada pela equação a seguir: (3.4) Fatorando o polinômio do numerador e do denominador esta mesma Função de Transferência pode ser expressa em termos do produto dos fatores como: (3.5) Quando , s é referido para ser um zero da função transferência e quando , s é referido para ser um pólo da Função de Transferência. Assumindo agora que os pólos são reais ou complexos mas distintos, podemos escrever a eq.(3.4) como uma fração parcial: (3.6) Onde são chamados de resíduos e podem ser calculado pelo método frações parciais visto no capitulo 2. FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA RACIONAL PRÓPRIA, TOTALMENTE PRÓPRIA, BIPRÓPRIA E IMPRÓPRIA Dada uma Função de Transferência F(s), diz-se que é uma Função de Transferência racional porque ambos (numerador e denominador) são polinômios. As raízes do numerador são chamadas de zeros da Função de Transferência. As raízes do denominador são conhecidas como os pólos da Função de Transferência. Se m > n, F(s) é chamada uma Função de Transferência imprópria. Se m n, F(s) é chamada uma Função de Transferência própria. Se m < n, F(s) é chamada uma Função de Transferência estritamente própria. Se m = n, F(s) é chamada uma Função de Transferência biprópria, porque sua inversa é também própria. SISTEMAS ELÉTRICOS COMPONETES DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS Os componentes dos circuitos elétricos são: o capacitor, o indutor e a resistência. Estes componentes, bem como a relação de tensão e corrente entre eles são descritos no anexo 1. RESUMO: Quando uma corrente elétrica flui através de cada um dos três componentes básicas de um sistema elétrico, nominalmente resistência, indutor e capacitor, ela flui de forma proporcional à diferença de potencial no caso da resistência, como uma integral no tempo para o indutor e como uma derivada no tempo para o capacitor. Porém, a função de transferência a ser considerada em cada um destes casos, depende de qual é a fonte considerada, isto é, a diferença de potencial ou a corrente elétrica. Ou seja, qual das duas é suposta a variável de entrada e qual delas será a variável de saída. saída. Assim, EXEMPLOS: SISTEMAS ELÉTRICOS Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura Abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação vE(t) e a saída é a carga vS(t) nos terminais do capacitor. Solução: Como todos os elementos estão em série, a corrente i(t) que passa pelo circuito é única. A tensão ve(t) é então dividida entre os diversos elementos, ou seja, a soma das tensões nos terminais dos 3 elementos é igual à tensão de alimentação. Aplicando a segunda lei de Kirchhoff (Lei da tensão na malha) temos: Malha 01 (I) Malha 02 (II) Aplicando Laplace na eqs.(I e II) temos: (III) (IV) Função de Transferência é a relação da transformada de Laplace da saída pela entrada quando as condições iniciais são nula, logo dividindo a eq.(IV) pela eq.(III) temos: (Função de Transferência) Exemplo 02: Obter a Função de Transferência do sistema elétrico mostrado na Figura abaixo, considerando que a entrada é a tensão de alimentação VE(t) e a saída é a carga VS(t) nos terminais do capacitor C2. Solução: Malha 01 (I) Malha 02 (II) Malha 03 (III) Aplicando Laplace na eqs.(I e II e III) temos: (IV) (V)(VI) Da equação (V), obtemos I1(s): Substituindo I1(s) na equação (IV) (VII) Dividindo a equação (VI) pela (VII) temos: (Função de Transferência) Exercícios 01) Obter a Função de Transferência VS(s)/VE(s) CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DAS MALHAS Para resolver circuitos elétricos complexos (os de múltiplas malhas e nós) usando o método das malhas, podemos executar os seguintes passos: Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias. Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas Transformadas de Laplace. Arbitrar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha. Resolver a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha. Resolver o sistema de equações em termos da saída. Elaborar a função de Transferência. Exemplo 01: Dado o circuito abaixo, obter a Função de Transferência I2(s)/V(s) O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em Transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito, supondo condições iniciais nulas. O resultado está mostrado abaixo. O circuito com qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a Função de Transferência. Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha através da quais se supõe que circulem as correntes I1(s) e I2(s). Ao longo da Malha 1, onde circula I1(s), ou Ao longo da Malha 2, onde circula I2(s), ou Combinando os termos, as equações anteriores se tornam equações simultâneas em I1(s) e I2(s): Podemos usar a regra de Cramer (ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações) para resolver a equação anterior em termos de I2(s). Assim: Elaborando a Função de Transferência, Resulta A seguir é mostrada uma forma geral para escrever rapidamente as equações das malhas do circuito elétrico. Exercícios 01) Obter a Função de Transferência I3(s)/V(s) Resp: CIRCUITOS COMPLEXOS VIA MÉTODO DOS NÓS Frequentemente, o meio mais fácil de obter a Função de Transferência é utilizar o método dos nós em vez do método das malhas. O número de equações diferenciais simultâneas que devem ser escritas é igual ao número de nós cujas tensões são desconhecidas. No exemplo anterior, escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff das tensões. Para nós múltiplos, usamos a lei de Kirchhoff das correntes e somamos as correntes que deixam cada um dos nós. Novamente, por convenção, as correntes que saem do nó são consideradas positivas e as correntes que chegam ao nó são consideradas negativas. Antes de prosseguir com um exemplo, definamos primeiro admitância, Y(s), como o inverso da impedância, ou seja, Ao escrever as equações dos nós, poderá ser mais conveniente representar os elementos de circuitos por suas admitâncias. Exemplo Problema obter a Função de Transferência, Vc(s)/V(s), para a circuito na Figura abaixo. Usar o método dos nós. Solução: Neste problema, somamos correntes nos nós em vez de somar tensões ao longo das malhas. Com base na Figura acima as somas das correntes que saem dos nós designados por VL(s) e Vc (s) são, respectivamente, Rearrumando e expressando as resistências como condutâncias, e , obtemos: Resolvendo em termos da Função de Transferência, Vc(s)/V(s), resulta SISTEMAS MECÂNICOS SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL Sistemas mecânicos translacionais são aqueles nos quais os deslocamentos seguem linhas retas. COMPONETES DOS SISTEMAS MECÂNICOS Existem 3 componentes lineares nos sistemas mecânicos translacionais: a massa, a mola e o amortecedor. Cada um deles possui uma equação que define seu comportamento dinâmico e serão vistos a seguir. MASSA Massa corresponde à idéia intuitiva de "quantidade de matéria existente em um corpo". Aplicando-se a lei de Newton numa massa m, por exemplo, tem-se que ’ Que pode ser interpretada na forma: a força aplicada à massa é igual ao produto da massa pela aceleração. Nota-se que a aceleração pode ser expressa por meio da derivada temporal da velocidade v ou então pela segunda derivada do deslocamento y. A massa pode estar submetida a mais de uma força, e neste caso a equação pode ser generalizada na forma: Aplicando-se a Transformada de Laplace nesta relação, tem-se o resultado: Onde A(s), V(s) e Y(s) representam a Transformada de Laplace da aceleração, velocidade e deslocamento, respectivamente. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma massa sujeito à ação de forças. Figura 3.3 - Representação de uma massa m submetida a ação de forças MOLA Uma mola é um objeto elástico flexível usado para armazenar a energia mecânica . As molas são feitas geralmente de aço endurecido. A equação da mola é dada pela lei de Hook: Onde k é a constante da mola. Nota-se que a força gerada pela mola é sempre contrária ao deslocamento, isto é, se o deslocamento for positivo a força é negativa e vice-versa. As extremidades da mola podem estar submetidas a deslocamentos distintos, como mostra a representação da mola na Figura 3.5, e portanto a equação fica: Nota-se que a mola é admitida como ideal, o que significa que sua massa é nula e que a força nas suas extremidades são iguais e contrárias. A força na mola pode ser posta também em função da velocidade das suas extremidades: Aplicando agora a transformada de Laplace a esta equação, tem-se A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma mola de coeficiente K sujeita à ação de forças. Figura 3.4 - Representação de uma mola de coeficiente k submetida a ação de forças AMORTECEDOR Um amortecedor é um componente capaz de resistir ao movimento de seus terminais. Um amortecedor automotivo é um bom exemplo deste componente, e sua função é dissipar a energia de oscilação do veículo causada pela mola. A força no amortecedor é proporcional à velocidade com que as sua extremidades se aproximam ou se afastam, como mostra o esquema da Figura 3.6, ou seja: A transformada de Laplace da equação acima resulta em: É claro que amortecedores mecânicos são também idealizados, isto é, admite-se que possuem massa nula. A figura a seguir mostra a representação esquemática de uma amortecedor sujeito à ação de forças. Figura 3.5 - Representação de um amortecedor b submetido a ação de forças 2 LEI DE NEWTON A Lei fundamental que governa os sistemas mecânicos é a 2 Lei de Newton. Para sistemas de translação a lei estabelece que: Onde: m = massa, kg; a = aceleração m2/s; F = força, N. Um quilograma é uma unidade de massa. Quando é acionado por uma força de 1N, a massa de 1 kg acerela com 1 m/s2. “Na 2ª lei de Newton, a massa é igual à razão entre a força aplicada num corpo e a respectiva aceleração”. Exemplo 01: Obter a Função de Transferência do sistema mecânico mostrado na Figura abaixo, considerando que o termo forçante f(t) é a entrada e a posição da massa, x(t) é a saída. Solução: As forças que atuam na massa m são o termo forçante f(t), a força da mola e a força do amortecedor. Aplicando a lei de Newton nesta massa tem-se: Nota-se que, para deslocamentos positivos, isto é, deslocamentos da massa no sentido positivo de x, as forças tanto da mola quanto do amortecedor são negativas (direção contrária à de x). Em virtude disso, deve-se acrescentar o sinal negativo nestas forças quando se calcula a resultante. Aplicando a transformada de Laplace na equação acima tem-se A Função de Transferência é então dada por: Dividindo a equação anterior por m, temos: Exemplo02: Sismógrafo. A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sismógrafo. Um sismógrafo indica o deslocamento de sua carcaça em relação espaço inercial. É utilizada para medir deslocamentos de terra durante terremoto (abalos sísmicos). Vamos definir: xi = deslocamento da carcaça relativo ao espaço inercial xo = deslocamento da massa m relativa ao espaço inercial y = xo - xi = deslocamento da massa m relativamente a carcaça (Note que, desde que há a produção e uma deflexão estacionária na mola devido á gravidade, medimos, o deslocamento Xo da massa m em relação à posição de equilíbrio estático.) A equação para este sistema e dada por: Substituindo nesta última equação, obtemos; uma equação diferencial em y. (note que y é um sinal que podemos realmente medir.) Tomando a Transformada de Laplace da equação anterior, supondo condições iniciais nulas, obtemos: Considerando xi como entrada e y como saída, a Função de Transferência: Exemplo 03: A Figura a seguir mostra um diagrama esquemático de um sistema de suspensão do automóvel. Quando o carro se move ao longo da estrada, os deslocamentos verticais em pneus a agir como o movimento de excitação do automóvel sistema de suspensão. A resolução deste sistema consiste em um movimento de translação da centro de massa e de um movimento rotacional sobre o centro de massa. Modelagem matemática do completar o sistema é bastante complicada. Pela 2 lei de Newton temos: Aplicando a Transformada de Laplace temos: Exemplo 03: O sistema de suspensão de uma das rodas de uma camionete clássica está ilustrado na Figura abaixo. A massa do veículo é m1, e a massa da roda, m2. A mola da suspensão possui uma constante de mola k1, e o pneu, uma constante de mola k2. A constante de amortecimento do amortecedor é b. Obter a função de transferência Y1(s)/X(s), a qual representa a resposta do veículo aos solavancos devidos a irregularidades da estrada. Suspensão de uma camionete Pela 2 lei de Newton temos: Aplicando a Transformada de Laplace temos: Simplificando as equações temos: Após resolver Y1(s)/X(s), temos: SISTEMAS MECÂNICOS TRANSLACIONAL Sistemas mecânicos rotacionais são bastante semelhantes a sistemas translacionais. A lei de Newton pode ser aplicada também a elementos que giram, como rotores, freios e molas torcionais. O equivalente da massa translacional em sistemas mecânicos rotacionais é a inércia ou momento de inércia. É igual ao produto da massa pelo quadrado do raio de giro. Portanto, o momento de inércia depende da massa do corpo e também da direção do eixo de rotação. Um cilindro, por exemplo, possui diferentes momentos de inércia para eixos paralelos ou perpendiculares ao seu eixo de simetria. O momento de inércia de um corpo qualquer é definido como: Onde r é o raio de giro do elemento de volume dV e ρ é a densidade do material na posição r. A integral deve ser efetuada em todo o volume V da massa. O raio de giro r é a distância do elemento de volume dV ao eixo de rotação. O momento de inércia de um cilindro de raio r e massa m com relação ao seu eixo de simetria vale: Uma esfera de raio r e massa m possui momento de inércia com relação a um eixo que passa pelo seu centro igual a: A lei de Newton aplicada a uma inércia rotacional é: i Onde i é um dos torques aplicados na inércia I, e causa a aceleração angular . ω e θ representam, respectivamente, a velocidade angular e o ângulo de rotação da inércia. A representação esquemática da inércia é mostrada na Figura a seguir: Figura 3.6 – Representação do momento de inércia I, da mola torcional e do amortecedor rotacional. A transformada de Laplace do torque aplicado à inércia I gera: Sendo que Τ(s), Α(s), (s) e Θ(s) são as transformadas do torque , da aceleração angular , da velocidade angular ω e do deslocamento angular θ, respectivamente. A mola torcional (semelhante à mola de um relógio) e o amortecedor rotacional (dois discos face a face em fricção, como a embreagem de um veículo), mostrados também na Figura 3.5, seguem expressões análogas aos equivalentes translacionais: Aplicando a transformada de Laplace nestas expressões, tem-se: e SISTEMAS HIDRÁULICOS Exemplo 02: Desenvolver o modelo matemático de um Tanque de Liquido. O modelo matemático irá calcular o nível h, em qualquer instante de tempo. A entrada poderá ser modificada através do ajuste do sinal de controle da bomba, u. Assumimos o seguinte (os parâmetros utilizados nas expressões abaixo estão definidos na figura acima): A densidade do líquido é a mesma na entrada, na saída, e no reservatório. O reservatório tem paredes retas e verticais. A massa do líquido e o nível são relacionados por: Onde: é a densidade do líquido (assumida constante) densidade da água = 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 A é a área do fundo do tanque em m2; m(t) é a massa do liquido em Kg; h(t) é o nível do liquido em m. A entrada de fluxo volumétrico através da bomba é proporcional ao sinal de controle da bomba: O saída de fluxo volumétrico através da válvula é proporcional à raiz quadrada da queda de pressão sobre a válvula. Esta queda de pressão é assumida para ser igual à pressão hidrostática no fundo do tanque: Balanço de massas (isto é, a variação da taxa de massa é igual ao fluxo entrada menos o fluxo de saída) produz a seguinte equação diferencial: Usando as relações acima, temos: Vamos agora traçar um diagrama de bloco do modelo matemático. Um bom ponto de partida para começar a traçar o diagrama de blocos, é escrever a equação diferencial como um modelo de espaço estado, isto é, como uma equação diferencial com a derivada de primeira ordem sozinha no lado esquerdo. Isto pode ser feito trazendo ρ e A fora da diferenciação e, em seguida, dividindo ambos os lados por ρA. O resultado da equação diferencial torna-se: Esta é uma equação diferencial para h(t). Ela diz como a derivada dh(t)/dt pode ser calculada. h(t) é calculado, integrando dh(t)/dt em relação ao tempo, de um tempo 0 a um tempo t, com um valor inicial de h(0), na qual vamos denotar por hinit.. Para desenhar o diagrama de blocos do modelo, podemos começar por adicionar um integrador ao diagrama de blocos. A entrada para este integrador é dh/dt, e a saída é h(t). Em seguida, adicionamos os blocos da função matemática para construir a expressão dh/dt, na qual esta do lado direito da equação diferencial. O digrama de blocos resultante para o modelo é mostrado na figura abaixo. Exemplo 03: O nível de água, h(t), é controlado por um sistema a malha aberta, como está mostrado na Figura abaixo. Um motor CC controlado pela corrente de armadura ia gira um eixo, que abre uma válvula. A indutância do motor CC é desprezível, isto é, La = 0. Igualmente, o atrito de rotação do eixo do motor e da válvula é desprezível, isto é, b =0. A altura da água no reservatório é é A constante do motor é Km = 10 e a inércia da árvore do motor e da válvula é J = 6 X 10-3 kg-m2. Determinar (a) a equação diferencial para h(t) e v(t) e (b) a função de transferência H(s)/V(s). CONTROLE MODERNO O objetivo do modelo de variáveis de estado, ou modelo de espaço de estados, é desenvolver uma representação que preserve a relação entrada-saída (a mesma da Função de Transferência), mas que é expressa em n equações de primeira ordem para um sistema de ordem n. A vantagem de n equações de primeira ordem é que, além das características entrada-saída, as características internas do sistema são representadas. Outras razões para o desenvolvimento dos modelos de estado são as seguintes: a) Analise e projeto dos modelos de estado auxiliados por computador são executados mais facilmente para os sistemas de ordem elevada, enquanto abordagem pelaFunção de Transferência tende a falhar para estes sistemas. b) Nos procedimentos de projeto por variáveis de estado, é realimentado um maior número de informações (variáveis internas) sobre o processo, assim podemos implementar um controle mais completo para o sistema que o elaborado a partir do método da Função de Transferência. c) Os procedimentos de projeto que resultam no melhor sistema de controle são quase todos baseados nos modelos de varáveis de estado. Por melhor sistema devemos entender que ele foi projetado de forma a minimizar (ou maximizar) a função matemática que expressa o critério de projeto. d) Mesmo se não implementarmos o projeto por variáveis de estado, podemos produzir a melhor resposta do sistema. Então procuramos nos aproximar desta melhor resposta usando o método clássico de procedimento de projeto. e) Os modelos de varáveis de estado geralmente são necessários para as simulações (soluções de equações diferenciais pelo computador). MODELAGEM POR VARIÁVEIS DE ESTADO Assim como dito anteriormente, um sistema dinâmico pode ser escrito por equações diferenciais em que o tempo é a variável independente. Usando-se notação matricial-vetorial, uma equação diferencial de ordem n pode ser representando por uma equação matricial-vetorial de primeira ordem. Se n elementos do vetor são um conjunto de variáveis de estado, então a equação matricial-vetorial diferencial é chamada equação de estado. REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO DE ESTADOS QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO NÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela equação diferencial dada por: (3.7) Definindo: A eq.(3.7) pode ser reescrita como: (3.8) Ou: (3.9) (3.10) A saída pode ser dada por: (3.11) (3.12) A equação diferencial de primeira ordem, Eq.(3.9) é a equação de estado e a equação algébrica, Eq.(3.11), é a equação de saída. Uma realização destas equações, através de diagramas de blocos, é mostrada através da figura abaixo. Figura 3.7 - Diagrama de blocos das equações de estado e de saída Uma representação simplificada por diagrama de blocos das eqs.(3.10 e 3.12) pode ser visto através da Fig.(3.2). Figura 3.8 - Diagrama de blocos simplificado das equações de estado e de saída REPRESENTAÇÃO POR ESPAÇO QUANDO A FUNÇÃO EXCITAÇÃO ENVOLVE TERMOS EM DERIVADAS Considerando o sistema linear invariante no tempo definido pela equação diferencial dada pela equação abaixo envolvendo termos de derivadas na função excitação: (3.13) Definindo: (3.14) A eq.(3.13) pode ser reescrita como: (3.15) O problema principal em se definir as variáveis de estado para este caso está na existência de termos com derivadas no segundo membro da última equação do sistema de n equações acima. As variáveis de estado devem ser tais que se eliminem as derivadas de u na equação de estado. Um modo de se obter uma equação de estado e uma equação de saída é definindo as seguintes variáveis como um conjunto de variáveis de estado. (3.16) Onde são determinados a partir de: (3.17) Com esta escolha de variáveis de estado, a existência e a unicidade da solução da equação de estado estão garantidas. Com a presente escolha de variaríeis de estado, obtém-se: (3.18) Em termos de equações matriciais vetoriais a Eq.(3.19) pode ser escrita como: (3.19) Ou: (3.20) E, a saída pode ser dada por: (3.21) Ou: (3.22) A equação diferencial de primeira ordem, Eq.(3.19) é a equação de estado e a equação algébrica, Eq.(3.21), é a equação de saída. Uma realização destas equações, através de diagramas de blocos, é mostrada através da figura abaixo. Figura 3.9 - Diagrama de blocos das equações de estado e de saída Uma representação simplificada por diagrama de blocos das eqs.(3.19 e 3.21) pode ser visto através da Figura a seguir. Figura 3.10 - Diagrama de blocos simplificado das equações de estado e de saída ALGUMAS DEFINIÇÕES Dada a equação de estado e a equação de saída na sua forma padrão, temos: (3.23) (3.24) Onde o vetor, é a derivada no tempo do vetor . Nestas equações condições: A, B, C, D = Matrizes de parâmetros; A = matriz (nxn), chamada matriz do sistema; B = matriz (nxr), chamada matriz de entrada; C = matriz (pxn), chamada matriz de saída; D = matriz (pxr) que representa o acoplamento direto entre entrada e saída; x(t) = vetor dos estados = vetor (nx1) dos estados de um sistema de ordem n; y(t) = vetor de saída = vetor (px1) composto pelas saídas definidas; u(t) = vetor de entrada = vetor (rx1) composto pelas funções de entrada do sistema. A equação de estado é uma matriz de equações diferenciais de primeira ordem, e o vetor de estado, x(t), é sua solução. Tendo conhecimento de x(t) e do vetor de entrada u(t), a equação de saída produz a saída y(t). CORRELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA E EQUAÇÕES DE ESPAÇO DE ESTADOS Considerando o sistema cuja Função de Transferência e dada por: (3.25) Este sistema pode ser representado em espaço de estados pelas seguintes equações: (3.26) (3.27) Onde x é o vetor de estado, u é a entrada e y é a saída. As Transformadas de Laplace das equações anteriores são dadas por: (3.28) (3.29) Já que a Função de Transferência foi previamente definida como a razão da Transformada de Laplace da saída para a Transformada de Laplace da entrada quando as condições iniciais fossem zero, admitimos que x(0) na eq.(3.29) é zero. Então temos: Pré multiplicando em ambos os membros desta última equação, obtemos: (3.30) Substituindo a eq.(3.30) na eq.(3.29), obtemos: Pela comparação da equação anterior com a eq.(3.25), vemos que: Esta é a expressão da Função de Transferência em termos de A, B, C e D. Notar que o segundo membro da equação anterior envolve . Daí F(s) pode ser escrita assim: Onde Q(s) é o polinômio característico em s. Portanto é igual ao polinômio característico de F(s). Em outras palavras os autovalores de A são idênticos aos pólos de F(s). Exercícios resolvidos: 01) Considere o sistema mecânico mostrado abaixo: Assumindo que o sistema é linear.A força externa u(t) é a entrada do sistema e o deslocamento da massa y(t) é a saída. O deslocamento y(t) é medido na posição de equilíbrio na ausência da força externa. Este sistema é um sistema de uma única entrada e uma única saída. Do diagrama a equação do sistema é: Este é um sistema de segunda ordem. Isto significa que o sistema envolve dois integradores. Define as variáveis de estado x1 e x2 como: Então obtemos: A saída pode ser dada por: 02) Considere o sistema mecânico mostrado abaixo.