lista3 - Sara Pinter

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Professora: Sara Regina da Rosa Pinter
A´lgebra linear
Lista 3
1. Mostre se e´ ou na˜o transformac¸a˜o linear cada uma das func¸o˜es a seguir.
(a) T : R2 → R2, dada por T (x, y) = (y, x)
(b) T : R2 → R2, dada por T (x, y) = (x + 2, y + 2)
(c) T : R3 → R2, dada por T (x, y, z) = (1 + x, y)
(d) T : R3 → R2, dada por T (x, y, z) = (0, 0)
(e) T : R2 → R3, dada por T (x, y) = (x, y, x + y)
(f) T : P2 → P3, dada por T (p(x)) = xp(x)
2. Sejam T : V → W e L : W → U transformac¸o˜es lineares. Mostre que a com-
posic¸a˜o de func¸o˜es L ◦ T : V → U , dada por (L ◦ T )(v) = L(T (v)), e´ tambe´m uma
transformac¸a˜o linear.
3. Determine o nu´cleo e a imagem da cada uma das transformac¸o˜es lineares do exerc´ıcio
nu´mero 1.
4. Quais transformac¸o˜es lineares do exerc´ıcio nu´mero 1 sa˜o injetoras? E quais sa˜o
sobrejetoras?
5. Sejam V e W dois espac¸os vetoriais reais de dimensa˜o n. Sejam {v1, v2, ..., vn}
uma base de V e {w1, w2, ..., wn} uma base de W . Assim, para cada v ∈ V existem
a1, a2, ..., an ∈ R tais que v = a1v1+a2v2+...+anvn. Mostre que a func¸a˜o F : V → W
dada por F (v) = a1w1 + ... + anwn e´ um isomorfismo. Isso nos diz que quaisquer
dois espac¸os vetoriais de mesma dimensa˜o n sa˜o isomorfos.
6. Para cada transformac¸a˜o linear do exerc´ıcio 1 encontre a matriz de T com relac¸a˜o
a`s bases canoˆnicas.
7. Seja L : R3 → R3 a transformac¸a˜o linear definida por L(x, y, z) = (2x− y − z, 2y −
x− z, 2z−x− y). Determine a matriz de L em relac¸a˜o a` base canoˆnica e use-a para
encontrar L(x, y, z) para cada vetor (x, y, z) a seguir.
(a) (1, 1, 1) (b) (2, 1, 1) (c) (−5, 3, 2)
8. Seja T : P2 → R2 definido por
T (p(x)) =
(∫ 1
0
p(x)dx, p(0)
)
.
(a) Mostre que T e´ uma transformac¸a˜o linear.
(b) Encontre uma matriz A tal que T (a + bx) = A
(
a
b
)
1
9. Encontre a matriz mudanc¸a de base [I]FE para cada par de bases E e F .
(a) E = {(1, 1), (−1, 1)} e F = {(1, 0), (0, 1)} bases do R2
(b) E = {(4, 6, 7), (0, 1, 1), (0, 1, 2)} e F = {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 3, 4)} bases de R3
(c) E = {1, x, x2} e F = {1, 1 + x, 1 + x + x2} bases de P2.
Respostas ou dicas para os exerc´ıcios:
1. (a) Sim. (b) Na˜o. (c) Na˜o. (d) Sim. (e) Sim. (f) Sim.
2. Use a definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear.
3. (a) Ker(T ) = {(0, 0)} = 0, Im(T ) = R2
(b) Na˜o e´ linear.
(c) Na˜o e´ linear.
(d) Ker(T ) = R3, Im(T ) = {(0, 0)} = 0
(e) Ker(T ) = 0 e Im(T ) = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)]
(f) Ker(T ) = 0 e Im(T ) = [x3, x2, x]
4. (a) Injetora e sobrejetora.
(b) Na˜o e´ linear.
(c) Na˜o e´ linear.
(d) Na˜o e´ injetora e na˜o e´ sobrejetora.
(e) E´ injetora e na˜o e´ sobrejetora.
(f) E´ injetora e na˜o e´ sobrejetora.
5. Mostre que F e´ transformac¸a˜o linear, Ker(F ) = 0 e Im(F ) = W .
6. (a)
[
0 1
1 0
]
(b) Na˜o e´ linear.
(c) Na˜o e´ linear.
(d)
[
0 0 0
0 0 0
]
(e)
 1 00 1
1 1

(f) Neste caso, as bases canoˆnicas sa˜o
E = {1, x, x2} e F = {1, x, x2, x3} e
a matriz de T fica:
0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1

7. (a) (0, 0, 0) (b) (2,−1,−1) (c) (−15, 9, 6)
8.
[
1 1
2
1 0
]
9. (a)
[
1 −1
1 1
]
(b)
 1 −1 −21 1 0
1 0 1
 (c)
 1 −1 00 1 −1
0 0 1

2