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Matema´tica para a Economia I - 3a lista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Para cada func¸a˜o impl´ıcita abaixo calcule a derivada y′:
(a) x3 − 3xy + 4y = y2 − 1;
(b) x3y − y3x = 2;
(c) sen (xy) = x + y;
(d) ln(yx) = xy + 1.
2 - O objetivo deste exerc´ıcio e´ encontrar a derivada da func¸a˜o inversa de um polinoˆmio
de grau 1 usando derivac¸a˜o impl´ıcita.
(a) Usando derivac¸a˜o impl´ıcita, ache a derivada da func¸a˜o inversa de f(x) = 3x− 2.
(b) Como no item (a), ache a derivada da func¸a˜o inversa de f(x) = ax+ b, onde a e b sa˜o
nu´meros reais com a 6= 0.
3 - Ache a derivada da func¸a˜o inversa das func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x− x2;
(b) f(x) =
2x− 3
3x− 2.
1
Respostas:
QUESTA˜O 1 -
(a) Derivando os dois lados da equac¸a˜o temos
(x3 − 3xy + 4y)′ = (y2 − 1)′ ⇒ 3x2 − (3y + 3xy′) + 4y′ = 2yy′
⇒ −3xy′ + 4y′ − 2yy′ = −3x2 + 3y
⇒ y′(−3x + 4− 2y) = −3x2 + 3y
⇒ y′ = 3y − 3x
2
4− 3x− 2y .
(b) Derivando os dois lados da equac¸a˜o temos
(x3y − y3x)′ = (2)′ ⇒ (3x2y + x3y′)− (3y2y′x + y3) = 0
⇒ x3y′ − 3xy2y′ = −3x2y + y3
⇒ y′(x3 − 3xy2) = −3x2y + y3
⇒ y′ = y
3 − 3x2y
x3 − 3xy2 .
(c) Derivando os dois lados da equac¸a˜o temos
(sen (xy))′ = (x + y)′ ⇒ cos(xy)(xy)′ = 1 + y′
⇒ cos(xy)(y + xy′) = 1 + y′
⇒ xy′ cos(xy)− y′ = 1− y cos(xy)
⇒ y′(x cos(xy)− 1) = 1− y cos(xy)
⇒ y′ = 1− y cos(xy)
x cos(xy)− 1 .
(d) Primeiro lembre que ln(yx) = x ln(y). Assim a equac¸a˜o da func¸a˜o impl´ıcita fica
x ln(y) = xy + 1. Derivando os dois lados da equac¸a˜o temos
(x ln(y))′ = (xy + 1)′ ⇒ ln(y) + xy
′
y
= y + xy′
⇒ xy
′
y
− xy′ = y − ln(y)
⇒ y′
(
x
y
− x
)
= y − ln(y)
⇒ y′ = y − ln(y)x
y
− x =
y − ln(y)
x−xy
y
⇒ y′ = y
2 − y ln(y)
x− xy .
2
QUESTA˜O 2 -
(a) A func¸a˜o inversa y = f−1(x) pode ser vista como func¸a˜o impl´ıcita como
x = f(y) ⇒ x = 3y − 2.
Derivando dos dois lados da equac¸a˜o, temos
(x)′ = (3y − 2)′ ⇒ 1 = 3y′ ⇒ y′ = 1
3
.
(b) Procendendo como no item (a), temos que a func¸a˜o inversa y = f−1(x) pode ser vista
como func¸a˜o impl´ıcita como
x = f(y) ⇒ x = ay + b.
Derivando dos dois lados da equac¸a˜o, temos
(x)′ = (ax + b)′ ⇒ 1 = ay′ ⇒ y′ = 1
a
.
(Na verdade a func¸a˜o inversa sera´ um polinoˆmio de grau com coeficiente angular 1/a.)
QUESTA˜O 3 -
(a) A func¸a˜o inversa y = f−1(x) pode ser vista como func¸a˜o impl´ıcita como
x = f(y) ⇒ x = y − y2.
Derivando dos dois lados da equac¸a˜o, temos
(x)′ = (y − y2)′ ⇒ 1 = y′ − 2yy′ ⇒ 1 = y′(1− 2y) ⇒ y′ = 1
1− 2y .
(b) A func¸a˜o inversa y = f−1(x) pode ser vista como func¸a˜o impl´ıcita como
x = f(y) ⇒ x = 2y − 3
3y − 2 ⇒ x(3y − 2) = 2y − 3 ⇒ 3xy − 2x = 2y − 3.
Derivando dos dois lados da equac¸a˜o, temos
(3xy − 2x)′ = (2y − 3)′ ⇒ (3y + 3xy′)− 2 = 2y′ ⇒ 3xy′ − 2y′ = 2− 3y
⇒ y′(3x− 2) = 2− 3y ⇒ y′ = 2− 3y
3x− 2 .
3