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Unidade II MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Luiz Felix Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos São desenvolvidos, basicamente, para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo pagamentos periódicos do principal e encargos financeirospagamentos periódicos do principal e encargos financeiros. Abaixo segue relação de alguns sistemas: Sistema de amortização constante.Sistema de amortização constante. Sistema de amortização francês. Sistema de amortização misto.Sistema de amortização misto. Sistema de amortização americano. Sistema de amortização crescente.Sistema de amortização crescente. Definições básicasDefinições básicas Encargos financeiros: representam os juros da operação, caracterizados como custo para o devedor e retorno para o credorpara o credor. Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data).em um determinado período (data). Saldo devedor: valor principal da dívida. Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da sériePrestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos. Carência: prazo concedido nas operações de financiamento em que o credor não paga ou não amortiza o valor principal da dívida contraída. Sistema de Amortização Constante (SAC)Sistema de Amortização Constante (SAC) As amortizações do principal são sempre iguais em todo o prazo da operação. O valor da amortização é obtido pela divisão do capital emprestado pelo número de prestações. Os juros por incidirem sobre o saldo devedor cujo montante Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização, assumem valores decrescentes nos períodos. As prestações são decrescentes em progressão aritmética. Sistema de Amortização Constante (SAC): exemploSistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Construa a tabela do SAC: Valor do empréstimo R$ 100.000,00, concedido dentro de um prazo de 10 anos, com pagamento em 20 prestações semestrais com taxa de juros de 7% ao semestre. Amortização = Valor empréstimoAmortização = Valor empréstimo nº de prestações Amortização = 100 000 = 5000Amortização = 100.000 = 5000 20 Amortização = R$ 5 000 00 ao semestreAmortização = R$ 5.000,00 ao semestre Sistema de Amortização Constante (SAC): exemploSistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Amortização (Amort): valores sempre iguais. Amort = PVAmort = PV n Em que: PV = principal (valor do financiamento). n = número de prestações. Saldo Devedor (SD): é decrescente pelo valor constante da amortização. Sistema de Amortização Constante (SAC): expressões de cálculo Juros (J): diminuem linearmente ao longo do tempo. Sendo i a taxa de juros, temos: J = PV . (n – t + 1) . i n Prestação (PMT): soma da amortização com juros e encargos administrativos, que deve ser analisado em cada situação de empréstimo com a instituição financeira.empréstimo com a instituição financeira. PMT = Amort + J (não consideramos encargos administrativos nesse modelo). PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n Expressões de cálculo (SAC): exemplosExpressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 1: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos, com pagamento em 10 prestações semestrais com taxa de juros de 30% a.a.. Calcular o valor do juros no 3º semestre. Em primeiro lugar vamos converter a taxa de 30% ao ano Em primeiro lugar, vamos converter a taxa de 30% ao ano em uma taxa semestral. Sistema de Amortização Constante (SAC): exemploSistema de Amortização Constante (SAC): exemplo Taxa equivalente semestral de 30% a.a. é de 14,0175% ao semestre Semestral Anual iq = (1 + i)1/q – 1 2 semestres 1 ano iq = (1 + 0,30) 1/2 – 1 iq = (1,30) 1/2 – 1 iq = 1,140175 – 1 iq = 0,140175 iq = 14,0175% a.s. Expressões de cálculo (SAC): exemplosExpressões de cálculo (SAC): exemplos Juros no 3º semestre = ? PV = 100.000 n = 10 semestres i = 14,0175% a.s. J = PV . (n – t + 1) . i n J = 100000 . (10 – 3 + 1) . 0,140175 10 J = 10000 . 8 . 0,140175 J = R$ 11.214,00 Expressões de cálculo (SAC): exemplosExpressões de cálculo (SAC): exemplos Exemplo 2: Um capital de R$ 100.000,00 foi financiado em 5 anos com 10 prestações semestrais e taxa de juros de 30% a.a. Calcular o valor da prestação no 5º semestre. PMT = PV [ 1+ (n t + 1) i ]PMT = PV . [ 1+ (n – t + 1) . i ] n PMT = 100000 [ 1 + (10 5 + 1) 0 140175]PMT = 100000 . [ 1 + (10 – 5 + 1) . 0,140175] 10 PMT = 10000 [ 1 + (6) 0 140175]PMT = 10000 . [ 1 + (6) . 0,140175] PMT = 10000 . [ 1 + 0,84105] PMT = 10000 1 84105PMT = 10000 . 1,84105 PMT = R$ 18.410,50 InteratividadeInteratividade Calcular o valor da prestação no 7º semestre, sabendo que o valor do empréstimo é de R$ 100.000,00 dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros dede 5 anos em 10 prestações semestrais com a taxa de juros de 30% ao ano. a) R$ 15.607,00a) R$ 15.607,00 b) R$ 28.035,00 c) R$ 13.233,50c) R$ 13.233,50 d) R$ 20.460,00 e) R$ 24.831,50e) R$ 24.831,50 Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência Os exemplos anteriores não apresentaram prazo de carência para amortização do empréstimo. A próxima tabela demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada. Ao final dos quatro primeiros semestres a prestação Ao final dos quatro primeiros semestres, a prestação, constituída unicamente dos encargos financeiros, é de R$ 14.017,50; ou seja: 14,0175% x R$ 100.000,00. A partir do quinto semestre, inicia-se a amortização do principal emprestado, sendo o fluxo de prestações, deste momento em diante idêntico ao desen ol ido anteriormentemomento em diante, idêntico ao desenvolvido anteriormente. Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50 6 80.000,00 10.000,00 12.615,75 22.615,75 7 70 000 00 10 000 00 11 214 00 21 214 007 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00 8 60.000,00 10.000,00 9.812,25 19.812,25 9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50 10 40.000,00 10.000,00 7.008,75 17.008,75, , , , 11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00 12 20.000,00 10.000,00 4.205,25 14.205,25 13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50 14 - 10.000,00 1.401,75 11.401,75 TOTAL - 100.000,00 133.166,25 233.166,25 Sistema de Amortização Constante (SAC): com carência – exemplo Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 114 017 50 - - -1 114.017,50 - - - 2 129.999,90 - - - 3 148.222,64 - - - 4 168.999.75 - - - 5 152.099,77 16.899,97 23.689,54 40.589,51 6 135.199,80 16.899,97 21.320,59 38.220,56 7 118.299,82 16.899,97 18.951,64 35.851,61 8 101.399,85 16.899,97 16.582,68 33.482,65 9 84.499,87 16.899,97 14.213,73 31.113,70 10 67.599,90 16.899,97 11.844,77 28.744,74 11 50 699 92 16 899 97 9 475 82 26 375 7911 50.699,92 16.899,97 9.475,82 26.375,79 12 33.799,95 16.899,97 7.106,87 24.006,84 13 16.899,97 16.899,97 4.737,91 21.637,88 14 - 16.899,97 2.368,96 19.268,93 SAC com carência (2 anos) com juros (14,0175% a.s.) capitalizados e acrescidos ao saldo devedor TOTAL - 168.999,75 130.292,47 299.292,22 Sistema de Amortização Francês (SAF)Sistema de Amortização Francês (SAF) Sistema amplamente adotado no mercado financeiro brasileiro,estipula que as prestações devem ser iguais periódicas e sucessivasiguais, periódicas e sucessivas. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as parcelas de amortização assumemdecrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes. O valor da prestação é a soma dos juros com o valor da amortização. Para compor a planilha financeira desse sistema, vamos partir da última col na para a primeira isto é amos calc larpartir da última coluna para a primeira, isto é, vamos calcular inicialmente as prestações e a seguir os juros, as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor. Sistema de Amortização Francês (SAF): exemploSistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Construa a tabela do SAF: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 5 anos com taxa de juros de 30% ao ano. As prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i) –n i Sistema de Amortização Francês (SAF): exemploSistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n) Em que: FPV = 1 (1+ i) –nEm que: FPV = 1 – (1+ i) –n i Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 14,0175% a.s. 100000 = PMT 1 – (1+ 0 140175) -10100000 PMT . 1 (1+ 0,140175) 0,140175 100000 = PMT . 1 – (1,140175) -10 0 1401750,140175 100000 = PMT . 1 – 0,26933 0,140175, 100000 = PMT . 5,212556 PMT = 100000 / 5,212556 = 19.184,44 Sistema de Amortização Francês (SAF): exemploSistema de Amortização Francês (SAF): exemplo Taxa de juros: 14,0175% ao semestre InteratividadeInteratividade Com base nos exemplos apresentados do Sistema de Amortização Constante (SAC), qual deles apresenta o maior valor como total das prestações pagas?valor como total das prestações pagas? a) SAC sem carência. b) SAC com carência e pagamento dos juros na carênciab) SAC com carência e pagamento dos juros na carência. c) SAC com carência, com juros capitalizados e acrescidos ao saldo devedor.ao saldo devedor. d) SAC sem carência e com carência, sendo os juros pagos na carência. e) Não há variação entre os totais das prestações. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Amortização (Amort): é a diferença entre o valor da prestação e os juros. Amort = PMT – J Amort1 = 19184,40 – 14017,50 = 5166,90 A amortização em um momento t qualquer é calculada: Amort = Amort1 . (1 + i) t – 1 Exemplo: qual o valor da amortização no quarto semestre? Amort = 5166,90 . (1 + 0,140175) 4 – 1 Amort = 5166,90 . (1,140175) 3 Amort = 7658,60 Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Prestação (PMT): conforme visto, as prestações semestrais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) E PV l t PMT l t ã FPVEm que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV= 1 – (1+ i) –nFPV 1 (1+ i) i Juros (J): incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período (ou ao final de cada período imediatamente anterior). J = SD iJ1 = SD0 . i J2 = SD1 . i J3 = SD2 . i e assim por diante.J3 SD2 . i e assim por diante. Sistema de Amortização Francês (SAF): expressões de cálculo Saldo Devedor (SD): para cada período é calculado pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do períodotempo e a amortização do período. SDt = PMT . FPV (i, n – t) Por exemplo o saldo devedor no 6º semestre é:Por exemplo, o saldo devedor no 6º semestre é: SD6 = 19184,40 . FPV (14,175%, 10 – 6) FPV= 1 (1+ i) –n = 1 (1+0 140175) -4FPV= 1 – (1+ i) n = 1 – (1+0,140175) -4 i 0,140175 FPV= 1 – 0,591717 = 0,408283 = 2,91267FPV 1 0,591717 0,408283 2,91267 0,140175 0,140175 SD6=19184,40 . 2,91267 = 55877,90 Sistema Price de Amortização (Tabela Price)Sistema Price de Amortização (Tabela Price) O Sistema Price de Amortização (ou Tabela Price) representa uma variante do SAF (Sistema de Amortização Francês). Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemploSistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Construa a Tabela Price: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos anuais durante 10 anos com taxa de juros de 25% ao ano. As prestações anuais são determinadas pela fórmula: PV = PMT . FPV (i,n) Em que: PV = valor presente PMT = valor prestação FPV = fator de valor presente, sendo: FPV = 1 – (1+ i) –n i Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemploSistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Vamos calcular o valor das prestações (PMT): PV = PMT . FPV (i,n) Em que: FPV = 1 (1+ i) –nEm que: FPV = 1 – (1+ i) –n i Empréstimo (PV) = 100000 Número de prestações (n) = 10 Taxa de juros (i) = 25% a.a. 100000 = PMT 1 – (1+ 0 25) -10100000 PMT . 1 (1+ 0,25) 0,25 100000 = PMT . 1 – (1,25) -10 0 250,25 100000 = PMT . 1 – 0,107374 0,25, 100000 = PMT . 3,570503 PMT = 100000 / 3,570503 = 28007,26 Sistema Price de Amortização (Tabela Price): exemploSistema Price de Amortização (Tabela Price): exemplo Taxa de juros: 25% ao ano InteratividadeInteratividade Um empréstimo de R$ 800.000,00 deve ser devolvido pelo sistema francês em 5 prestações semestrais, considerando uma taxa de juros de 4% ao semestre Sabendo que a prestaçãouma taxa de juros de 4% ao semestre. Sabendo que a prestação a ser paga é de R$ 179.701,70 e que a amortização no primeiro semestre é de R$ 147.701,70; calcule a amortização no terceiro semestre. a) R$ 180.328,43 b) R$ 159.754,15 c) R$ 233.431,50 d) R$ 201.552,00 e) R$ 141.733,18 Sistema de Amortização Misto (SAM)Sistema de Amortização Misto (SAM) Desenvolvido originalmente para operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Representa a média aritmética entre o sistema francês e o sistema de amortização constante. Sistema de Amortização Misto (SAM)Sistema de Amortização Misto (SAM) SAC SAF PMTSAM = 24.017,50 + 19.184,44 = 21.600,97 2 SDSAM = 90.000,00 + 94.833,06 = 92.416,53 2 Sistema de Amortização Americano (SAA)Sistema de Amortização Americano (SAA) A devolução do capital emprestado é efetuada no final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez. Amortizações intermediárias durante o período de empréstimo não estão previstas. Os juros costumam ser pagos periodicamente Os juros costumam ser pagos periodicamente. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemploSistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Construa a tabela do SAA: Valor do empréstimo R$ 100.000,00; pagamentos semestrais durante 3 anos com taxa de juros de 30% ao ano. Sistema de Amortização Americano (SAA): exemploSistema de Amortização Americano (SAA): exemplo Períodos Saldo Devedor (R$) Amortização (R$) Juros (R$) Prestação (R$) 0 100.000,00 - - - 1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50, , , 3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 5 100 000 00 14 017 50 14 017 505 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50 6 100.000,00 100.000,00 14.017,50 114.017,50 TOTAL - 100.000,00 84.105,00 184.105,00 Taxa de juros: 14,0175% ao semestre Sinking fund ou fundo de amortizaçãoSinking fund ou fundo de amortização No Sistema de Amortização Americano ocorre o sinking fund ou fundo de amortização. Consiste em acumular poupanças periódicas durante o Consiste em acumular poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo para que, no final do período, o montante do fundo seja igual aovalor da dívida. Esse fundo é usado para evitar que o mutuário desembolse uma grande quantia de uma só vez. R = S / k em que: R = S / k em que: S = montante igual ao principal R = depósito do período k = fator de valor presente Sinking fund ou fundo de amortização: exemploSinking fund ou fundo de amortização: exemplo Um empréstimo de R$ 100.000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano e um prazo de quatro anos, pode-se criar um fundo de amortização com uma taxa de aplicação deum fundo de amortização com uma taxa de aplicação de 10% ao ano com k = 4,641 i = taxa de juros do fundo = 10% a.a.i taxa de juros do fundo 10% a.a. S = montante igual ao principal = 100.000,00 R = depósito anualR depósito anual k = fator de valor presente = 4,641 Temos: R = S / kTemos: R S / k R = 100000 / 4,641 R = R$ 21.547,08R R$ 21.547,08 Sinking fund ou fundo de amortização: exemploSinking fund ou fundo de amortização: exemplo Anos Saldo Credor (R$) Depósito (R$) Juros (R$) 0 - - - 1 21.547,08 21.547,08 - 2 45 248 87 21 547 08 2 154 712 45.248,87 21.547,08 2.154,71 3 71.320,84 21.547,08 4.524,89 4 100.000,00 21.547,08 7.132,08 TOTAL - 86.188,32 13.811,68 Sistema de amortização crescente (SACRE)Sistema de amortização crescente (SACRE) O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Foi desenvolvido com o objetivo de permitir maior amortização do valor emprestado, reduzindo-se simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor.simultaneamente a parcela de juros sobre o saldo devedor. O grande atrativo do Sacre é que, enquanto na Tabela Price as prestações tendem a aumentar sempre, nele, a partir de um momento, as prestações começam a diminuir. InteratividadeInteratividade Com base nas tabelas SAC e SAF abaixo, calcule o valor da prestação do período 2, utilizando o sistema de amortização mistomisto. SAC SAFSAF a) R$ 21 600 97a) R$ 21.600,97 b) R$ 92.416,53 c) R$ 20.900,10c) R$ 20.900,10 d) R$ 19.184,44 e) R$ 22.615,75 ATÉ A PRÓXIMA!
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