05 Tecnicas de Derivadas

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5 Técnica da Derivada 
 
5.1 Regra da potência e regra da cadeia para funções algébricas 
 
A derivação pela definição, apresentada no capítulo anterior, é, na maioria dos casos, trabalhosa. 
Podemos utilizar uma regra prática, chamada regra da potência ou regra do tombo, apresentada 
dessa forma: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑢𝑛−1 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Observa-se a presença do fator 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ no final. A presença desse fator se justifica pela chamada 
Regra da Cadeia, no caso de funções encadeadas. Se 𝑢 = 𝑥, sua derivada será a própria derivada 
de x, e a derivada de x é igual a 1: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑥1 = 1 ∙ 𝑥1−1 = 1 
Utilizando a notação de Leibniz, essa afirmação é óbvia: 
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 1 
A regra da potência nos permite resolver um grande número de derivadas, como veremos a 
seguir em vários exemplos (a, b são constantes). 
 
Exemplo 1: Encontrar a derivada de 𝑥4. 
Para aplicar a regra, definimos 𝑢 = 𝑥. Assim: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑢4 = 4𝑢3 ∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Como 𝑢 = 𝑥: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 = 4𝑥3 ∙
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 4𝑥3 
∴
𝑑
𝑑𝑥
𝑥4 = 4𝑥3 
 
Exemplo 2: 
𝑑
𝑑𝑥
(√𝑥 +
1
√𝑥
) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥1 2⁄ + 𝑥−1 2⁄ ) =
1
2
𝑥−1 2⁄ −
1
2
𝑥−3 2⁄ =
1
2√𝑥
−
1
2𝑥√𝑥
 
 
 
 
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Exemplo 3: 
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑎
𝑥2
− 3𝑏 +
1
𝑥
) =
𝑑
𝑑𝑥
(2𝑎𝑥−2 − 3𝑏 + 𝑥−1) = −
4𝑎
𝑥3
−
1
𝑥2
 
Observe que o termo (−3𝑏) não aparece na derivada, pois a derivada de um termo constante é 
zero. 
Agora vamos apresentar um exemplo onde 𝑢 ≠ 𝑥. 
 
Regra da Cadeia: Se u é uma função de x, e y é uma função de u, temos funções encadeadas, ou 
uma cadeia de funções. Nesse caso, a derivada de y será: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
Exemplo 4: Calcular a derivada de 
𝑦 = (5𝑥 + 2)6 
Nesse caso, devemos considerar 
𝑢 = 5𝑥 + 2 
A derivada de u será: 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5 
A função y será dada como 
𝑦 = 𝑢6 
A derivada de y com relação a u será 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 6𝑢5 
Então, a derivada de y com relação a x será 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑢5 ∙ 5 = 30𝑢5 
 
Finalmente, expressamos a derivada em função de x: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 30(5𝑥 + 2)5 
 
 
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Exemplo 5: Calcular 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4 + 5𝑥2 − 3)8 
Como 
𝑢 = 𝑥4 + 5𝑥2 − 3 
Sua derivada será 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3 + 10𝑥 
A derivada da função será 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥4 + 5𝑥2 − 3)8 = 8(𝑥4 + 5𝑥2 − 3)7 ∙ (4𝑥3 + 10𝑥) = 16(2𝑥3 + 5𝑥)(𝑥4 + 5𝑥2 − 3)7 
 
Exemplo 6: 
𝑑
𝑑𝑥
[
1
(𝑥3 − 3)4
] =
𝑑
𝑑𝑥
[(𝑥3 − 3)−4] = −4(𝑥3 − 3)−53𝑥2 = −
12𝑥2
(𝑥3 − 3)5
 
 
Exemplo 7: Calcular a derivada de 
𝑦 = √5𝑥4 − 6𝑥2 + 2 
Se 
𝑢 = 5𝑥4 − 6𝑥2 + 2 
Sua derivada será: 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 20𝑥3 − 12𝑥 
Então 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2√5𝑥4 − 6𝑥2 + 2
∙ (20𝑥3 − 12𝑥) =
2𝑥(5𝑥2 − 3)
√5𝑥4 − 6𝑥2 + 2
 
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5.2 Derivadas do produto e do quociente de duas funções 
 
Se 𝑦 = 𝑢𝑣, onde u e v são duas funções de x, então podemos afirmar que 
𝑦 + ∆𝑦 = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣), 
onde ∆𝑦, ∆𝑢 𝑒 ∆𝑣 são acréscimos em y, v e u, respectivamente. Desenvolvendo o produto, temos: 
𝑦 + ∆𝑦 = (𝑢 + ∆𝑢)(𝑣 + ∆𝑣) = 𝑢𝑣 + 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 
Como 𝑦 = 𝑢𝑣: 
∆𝑦 = 𝑢∆𝑣 + 𝑣∆𝑢 + ∆𝑢∆𝑣 
Dividindo todos os termos por ∆𝑥: 
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑢
∆𝑣
∆𝑥
+ 𝑣
∆𝑢
∆𝑥
+ ∆𝑢
∆𝑣
∆𝑥
 
Se fizermos ∆𝑥 → 0: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ ∆𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
Mas, se ∆𝑥 → 0, então ∆𝑢 → 0. Temos, portanto: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
Ou, em outra notação: 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑢𝑣) = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ 
Esta é a regra da derivada do produto de duas funções. 
Da mesma forma, a derivada do quociente de duas funções é dada por: 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑢
𝑣
) =
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣
 
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Exemplo 8: Calcular a derivada da seguinte função: 
𝑦 = (3𝑥 + 8)5(𝑥2 + 𝑥 + 1)6 
Vamos definir u e v e aplicar a regra do produto: 
𝑢 = (3𝑥 + 8)5 ⇒ 𝑢′ = 15(3𝑥 + 8)4 
𝑣 = (𝑥2 + 𝑥 + 1)6 ⇒ 𝑣′ = 6(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)5 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣′ = 15(3𝑥 + 8)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)6 + (3𝑥 + 8)56(2𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1)5
= 15(3𝑥 + 8)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)6 + 6(2𝑥 + 1)(3𝑥 + 8)5(𝑥2 + 𝑥 + 1)5
= 3(3𝑥 + 8)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)5[5(𝑥2 + 𝑥 + 1) + 2(2𝑥 + 1)(3𝑥 + 8)]
= 3(17𝑥2 + 43𝑥 + 21)(3𝑥 + 8)4(𝑥2 + 𝑥 + 1)5 
Exemplo 9: Calcular 
𝑑
𝑑𝑥
[√𝑥(𝑥2 + 1)4] 
Façamos 
𝑢 = √𝑥 ⟹ 𝑢′ =
1
2√𝑥
 
𝑣 = (𝑥2 + 1)4 ⟹ 𝑣′ = 8𝑥(𝑥2 + 1)3 
Portanto 
𝑑
𝑑𝑥
[√𝑥(𝑥2 + 1)4] =
(𝑥2 + 1)4
2√𝑥
+ 8𝑥√𝑥(𝑥2 + 1)3 
Exemplo 10: Calcular 
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑥
3𝑥 − 4
) 
Façamos 
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𝑢 = 2𝑥 ⟹ 𝑢′ = 2 
𝑣 = 3𝑥 − 4 ⟹ 𝑣′ = 3 
Portanto 
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑥
3𝑥 − 4
) =
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
=
2(3𝑥 − 4) − 2𝑥 ∙ 3
(3𝑥 − 4)2
= −
8
(3𝑥 − 4)2
 
Exemplo 11: Calcular 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑎 − 𝑡3
√𝑎 + 𝑡3
) 
Façamos 
𝑢 = 𝑎 − 𝑡3 ⟹ 𝑢′ = −3𝑡2 
𝑣 = √𝑎 + 𝑡3 ⟹ 𝑣′ =
3𝑡2
2√𝑎 + 𝑡3
 
Portanto 
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑎 − 𝑡3
√𝑎 + 𝑡3
) =
𝑢′𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
=
−3𝑡2√𝑎 + 𝑡3 − (𝑎 − 𝑡3)
3𝑡2
2√𝑎 + 𝑡3
𝑎 + 𝑡3
=
−6𝑡2(𝑎 + 𝑡3) − 3𝑡2(𝑎 − 𝑡3)
2√𝑎 + 𝑡3
𝑎 + 𝑡3
=
−6𝑡2(𝑎 + 𝑡3) − 3𝑡2(𝑎 − 𝑡3)
2(𝑎 + 𝑡3)√𝑎 + 𝑡3
=
−3𝑡2(2𝑎 + 2𝑡3 + 𝑎 − 𝑡3)
2(𝑎 + 𝑡3)√𝑎 + 𝑡3
= −
3𝑡2(3𝑎 + 𝑡3)
2(𝑎 + 𝑡3)√𝑎 + 𝑡3
 
 
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5.3 Exercícios 
 
Nos exercícios a seguir, a, b e c são constantes. Mostre que: 
1) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎𝑥7 +
𝑏6
𝑥
) = 7𝑎𝑥6 −
𝑏6
𝑥2
 
2) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥 + 2
𝑥
) = −
2
𝑥2
 
3) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 
4) 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑥
) = −
1
𝑥2
 
5) 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑥2
) = −
2
𝑥3
 
6) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2
𝑥
) =
𝑐𝑥2 − 𝑎
𝑥2
 
7) 
𝑑
𝑑𝑥
(
2𝑥4
𝑏2 − 𝑥2
) = −
4𝑥3(𝑥2 − 2𝑏2)
(𝑥 + 𝑏)2(𝑥 − 𝑏)2
 
8) 
𝑑
𝑑𝑥
[
4 − (1 + 𝑥)2
4 + (1 + 𝑥)2
] = −
16(𝑥 + 1)
(𝑥2 + 2𝑥 + 5)2
 
9) 
𝑑
𝑑𝑥
[(
1
1 + 𝑥
)
2
(1 +
1
1 + 𝑥
)] = −
2𝑥 + 5
(𝑥 + 1)4
 
10) 
𝑑
𝑑𝑥
[
𝑎2 + 𝑥2
√𝑎2 − 𝑥2
] =
3𝑎2𝑥 − 𝑥3
(𝑎2 − 𝑥2)3 2⁄
 
11) 
𝑑
𝑑𝑡
(𝑡√𝑎2 + 𝑡2) =
𝑎2 + 2𝑡2
√𝑎2 + 𝑡2
 
12) 
𝑑
𝑑𝑥
[(𝑥6 + 1)(𝑥8 − 5)] = 2𝑥5(7𝑥8 + 4𝑥2 − 15) 
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13) 
𝑑
𝑑𝑡
(
3𝑡 + 1
𝑡 − 2
) = −
7
(𝑡 − 2)2
 
14) 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
𝑥3 + 8
) = −
3𝑥2
(𝑥3 + 8)2
 
15) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎𝑥 − 𝑏
) = −
2𝑎𝑏
(𝑎𝑥 − 𝑏)2
 
16) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑎𝑥2 + 𝑏
𝑎𝑥2 − 𝑏
) = −
4𝑎𝑏𝑥
(𝑎𝑥2 − 𝑏)2
 
17) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥2 − 1
1 − 𝑥2
) = 0 
18) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥2 + 5)7 = 14𝑥(𝑥2 + 5)6 
19) 
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥2(5𝑥 − 8)5] = 𝑥(35𝑥 − 16)(5𝑥 − 8)4 
20) 
𝑑
𝑑𝑥
[−𝑥3(1 − 𝑥2)6] = 3𝑥2(5𝑥2 − 1)(1 − 𝑥2)5 
21) 
𝑑
𝑑𝑥
[(𝑥 − 𝑎)𝑏(𝑎 − 𝑥)𝑏] = 𝑏[(𝑥 − 𝑎)𝑏−1(𝑎 − 𝑥)𝑏 − (𝑥 − 𝑎)𝑏(𝑎 − 𝑥)𝑏−1] 
22) 
𝑑
𝑑𝑡
[
(3 − 𝑡2)3
(5 − 𝑡2)5
] = −
4𝑡3(3 − 𝑡2)2
(5 − 𝑡2)6
 
23) 
𝑑𝑑𝑥
√5𝑥4 − 2 =
10𝑥3
√5𝑥4 − 2
 
24) 
𝑑
𝑑𝑥
(𝑥√𝑥 − 1) =
3𝑥 − 2
2√𝑥 − 1
 
25) 
𝑑
𝑑𝑥
(√𝑥 − 3√4 − 𝑥2) =
−3𝑥2 + 6𝑥 + 4
2√−𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 − 12
 
26) 
𝑑
𝑑𝑥
(
1
√𝑥3 − 1
) = −
3𝑥2√𝑥3 − 1
2(𝑥3 − 1)2
 
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27) 
𝑑
𝑑𝑥
[(𝑥2 − 2𝑥)2 3⁄ + (𝑥3 − 3𝑥)4 5⁄ ] =
4(𝑥 − 1)
3√𝑥2 − 2𝑥
3 +
12(𝑥2 − 1)
5√𝑥3 − 3𝑥
5 
28) 
𝑑
𝑑𝑥
(
3𝑥
√3𝑥 − 1
) =
3(3𝑥 − 2)√3𝑥 − 1
2(3𝑥 − 1)2
 
29) 
𝑑
𝑑𝑥
(
√𝑥 − 1
√𝑥 + 1
) =
√𝑥 − 1√𝑥 + 1
(𝑥 + 1)2(𝑥 − 1)
 
30) 
𝑑
𝑑𝑥
[
2
5
(√𝑥 + 1)
5
−
4
3
(√𝑥 + 1)
3
+ 2√𝑥 + 1] =
𝑥2√𝑥 + 1
𝑥 + 1
 
31) 
𝑑
𝑑𝑥
(−
𝑥
9√4𝑥2 − 9
) =
1
(4𝑥2 − 9)3 2⁄
 
32) 
𝑑
𝑑𝑥
[
(2𝑥2 + 7)√𝑥2 − 7
147𝑥3
] =
1
𝑥4√𝑥2 − 7
 
33) 
𝑑
𝑑𝑥
[−(𝑥2 + 2)√1 − 𝑥2] =
3𝑥3
√1 − 𝑥2
 
34) 
𝑑
𝑑𝑥
(
√9𝑥2 − 4
4𝑥
) =
1
𝑥2√9𝑥2 − 4
 
35) 
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑥
√1 − 𝑥2
) =
1
(1 − 𝑥2)3 2⁄