Lista 3 - Gabarito

Prévia do material em texto

Estat´ıstica Ba´sica para Cieˆncias Humanas I
Prof. Mariana Albi
3a Lista de Exerc´ıcios
Assunto: Medidas de Posic¸a˜o e Variabilidade
1. (Bussab e Morettin (2002) - ex.14 pa´g.56) Mostre que:
(a)
n∑
i=1
(xi − x¯) = 0
(b)
n∑
i=1
(xi − x¯)2 =
n∑
i=1
x2i − nx¯2 =
n∑
i=1
x2i −
(
∑n
i=1 xi)
2
n
(c)
n∑
i=1
ni(xi − x¯)2 =
n∑
i=1
nix
2
i − nx¯2
(d)
n∑
i=1
fi(xi − x¯)2 =
n∑
i=1
fix
2
i − x¯2
2. (Vieira (2011) - ex.2 pa´g.62) Dados os valores 3, 8, 5, 5, 4, 3 e 7, encontre:
(a)
n∑
i=1
xixi =197
(b)
n∑
i=1
(xi − x¯)2 =22
1
3. (Vieira (2011) - ex.1 (modificado) pa´g.45) Sa˜o dados os tempos, em minutos, para
o preparo de 1m3 de uma mistura para construc¸a˜o em solo de cimento por um
u´nico opera´rio. Encontre as medidas de posic¸a˜o e as medidas de dispersa˜o que voceˆ
conhece para os dados abaixo.
Medidas de posic¸a˜o:
me´dia: 75,5
moda: 76
q1 = 72
q2 = 76
q3 = 78, 5
Medidas de dispersa˜o:
amplitude: 17
IQ: 6,5
variaˆncia: 24,93
desvio padra˜o: 4,99
desvio absoluto me´dio: 5,93
78 72 68 76
76 76 69 81
76 83 69 79
72 85 72 76
Tabela 1: Tempo, em minutos, de preparo de 1m3 de uma mistura para construc¸a˜o em
solo de cimento por um u´nico opera´rio
4. (Vieira (2011) - ex.3 pa´g.45) Calcule a me´dia, a mediana e a moda das notas de um
aluno, em seis provas de Estat´ıstica. Se voceˆ fosse o aluno em questa˜o, que medida
de tendeˆncia central escolheria para representar sua competeˆncia?
me´dia: 72,5
moda: 9,0
mediana: 8,0
9,0 7,0 6,5 9,0 9,0 3,0
Tabela 2: Notas das provas de Estat´ıstica
Logo, a decisa˜o mais esperta seria escolher a moda para representar sua
competeˆncia.
2
5. (Vieira (2011) - ex.5 (modificado) pa´g.46) A margem de lucro na venda de produtos
artesanais e´ varia´vel, mas, ao longo de seis meses, um revendedor registrou os valores
apresentados na tabela a seguir. Calcule a me´dia, a mediana, a variaˆncia amostral
e o intervalo interquartil para a margem de lucro.
me´dia: 40
mediana: 40
variaˆncia amostral: 110,368
intervalo interquartil: q3 − q1 = 45− 35 = 10
classe freq. absoluta
15 ` 25 30
25 ` 35 45
35 ` 45 150
45 ` 55 45
55 ` 65 30
freq. relativa ponto me´dio
0,10 20
0,15 30
0,50 40
0,15 50
0,10 60
Tabela 3: Margens de lucro, em termos de percentual do valor de compra.
6. (Vieira (2011) - ex.9 pa´g.46) Calcule a me´dia dos dados da tabela a seguir. Qual a
porcentagem de funciona´rios com mais filhos do que a me´dia?
2 3 1 1
1 1 3 1
4 2 2 1
3 3 2 2
2 5 1 3
Tabela 4: Nu´mero de filhos dos funciona´rios.
A me´dia e´ de 2,2 filhos em idade escolar. A porcentagem de funciona´rios com mais
filhos do que a me´dia e´ 35%.
3
7. (Bussab e Morettin (2002) - ex.21 pa´g.60) O que acontece com a me´dia e a mediana
de um conjunto de dados quando:
(a) cada observac¸a˜o e´ multiplicada por 2? ambas ficam multiplicados por dois
(b) soma-se 10 a cada observac¸a˜o? ambas aumentam em 10 unidades
(c) subtrai-se a me´dia x¯ de cada observac¸a˜o? a me´dia zera e a mediana fica
reduzida em x¯ unidades
8. Repita o exerc´ıcio anterior considerando o que acontece com a variaˆncia e o desvio
me´dio absoluto em cada situac¸a˜o.
(a) a variaˆncia e´ multiplicadas por quatro e o desvio me´dio absoluto por dois
(b) na˜o se alteram
(c) na˜o se alteram
9. (Bussab e Morettin (2002) - ex.20 pa´g.60) O Departamento Pessoal de uma certa
firma fez um levantamento dos sala´rios dos 120 funciona´rios do setor administrativo,
obtendo os seguintes resultados (em sala´rios mı´nimos) da tabela abaixo.
faixa salarial freq. relativa
0 ` 2 0,25
2 ` 4 0,40
4 ` 6 0,20
6 ` 10 0,15
Tabela 5: Sala´rios dos funciona´rios do setor administrativo de uma certa firma.
(a) Esboce o histograma correspondente.
(b) Calcule me´dia e os quartis.
(c) Se for concedido um aumento de 100% para todos os 120 funciona´rios, havera´
alterac¸a˜o na me´dia? E na mediana? Justifique sua resposta.
(d) Se for concedido um abono de dois sala´rios mı´nimos para todos os 120
funciona´rios, havera´ alterac¸a˜o na me´dia? E na mediana? Justifique sua
resposta.
4
(a) 
106420
0.2
0.1
0.0
Salario (em SM)
De
ns
id
ad
e
 
Histograma para os Salários mensais dos funcionários do setor 
administrativo 
 
(b) Média: 65,315,0820,0540,0325,01 =×+×+×+×=x 
1º quartil: 21 =q 
Mediana: 25,3
25,0
2
40,0
24
2
2 =⇒
−
=
− qq 
(c) Se todos os salários aumentarem em 100%, ou seja, dobrados, a média e a 
mediana dos salários. 
Trata-se de um resultado geral que pode ser demonstrado da seguinte 
maneira: 
Suponha que haja uma coleção de n valores, denotados por x1,x2,...,xn com 
média x . Seja k uma constante real. Se todos os n valores da coleção acima 
forem multiplicados por k, teremos: 
Para a média: 
 xk
n
kxkxx nk =
++
=
...1 
(d) Dar um abono de 2 SM para todos os funcionários significa aumentar a 
média e a mediana em duas unidades. 
Novamente, esse resultado pode ser generalizado para a soma de qualquer 
constante real k. Vejamos: 
Para a média: 
( ) ( )
kx
n
xxkn
n
xkxkx nn +=+++=++++= ...... 112 
Um raciocínio semelhante serve para a mediana. 
 
 
10. (Bussab e Morettin (2002) - ex.6 pa´g.41) Numa pesquisa realizada com 100 famı´lias,
levantaram-se as seguintes informc¸o˜es:
nu´mero de filhos 0 1 2 3 4 5 mais que 5
nu´mero de famı´lias 17 20 28 19 7 4 5
(a) Qual a mediana do nu´mero de filhos? E a moda? A mediana do nu´mero de
filhos e´ a me´dia aritme´tica das observac¸o˜es de ordem 50 e 51, que e´ 2. A moda
do nu´mero de filhos e´ 2.
(b) Que problemas voceˆ enfrentaria para calcular a me´dia? Fac¸a alguma suposic¸a˜o
e encontre-a. O ca´lculo da me´dia fica prejudicado pelo fato de haver uma
categoria representada por “mais que 5” filhos, sem a especificac¸a˜o do valor
exato. Neste caso, deve-se usar o conhecimento pre´vio que se tenha sobre a
varia´vel para propor um valor ma´ximo para o intervalo, ou o ponto me´dio da
classe. Aqui vamos supor que as famı´lias com “mais que 5”, tenham em me´dia
8 filhos. Neste caso, ter´ıamos uma me´dia aproximada de 2,21.
11. (Bussab e Morettin (2002) - ex.4a pa´g.40) Deˆ uma situac¸a˜o pra´tica onde voceˆ acha
que a mediana e´ mais apropriada que a me´dia.
A mediana e´ uma medida de posic¸a˜o mais importante do que a me´dia, por exemplo,
em situac¸o˜es em que a varia´vel em estudo tem algum valor muito discrepante que
“puxa” a me´dia para cima ou para baixo.
12. (Bussab e Morettin (2002) - ex.11 pa´g.50) Para facilitar o projeto de ampliac¸a˜o da
rede de esgoto de uma certa regia˜o da cidade, as autoridades tomaram uma amostra
de tamanho 50 dos 270 quarteiro˜es que compo˜em a regia˜o, e foram encontrados os
seguintes nu´meros de casas por quarteira˜o: Construa o boxplot para o nu´meros de
casas por quarteira˜o e fac¸a comenta´rios sobre o comportamento dos dados baseados
no gra´fico obtido.
6
13. (Bussab e Morettin (2002) - ex.25 (modificado) pa´g.61) A distribuic¸a˜o de
frequeˆncias do sala´rio dos moradores do bairro A que teˆm alguma forma de
rendimento e´ apresentada na tabela abaixo:
faixa salarial frequeˆncia
0 ` 2 10000
2 ` 4 3900
4 ` 6 2000
6 ` 8 1100
8 ` 10 800
10 ` 12 700
12 ` 14 2000
total 20500
Tabela 6: Distribuic¸a˜o de frequeˆncias do sala´rio dos moradores do bairro A.
(a) Construa um histograma da distribuic¸a˜o dos dados
(b) Qual a me´dia e o desvio padra˜o da varia´vel sala´rio?
(c) O bairro B apresenta, para a mesma varia´vel, uma me´dia de 7,2 e um desvio
padra˜o de 15,1. Em qual dos bairros a populac¸a˜o e´ mais homogeˆnea quanto a`
renda?
(d) Qual o intervalo interquartil?
8
(a) 
141210864200.2
0.1
0.0
Salario anual (x 10SM)
De
ns
id
ad
e
 
Histograma 
(b) 92,310,01303,01104,0905,0710,0519,0349,01 =×+×+×+×+×+×+×=x
 
( ) ( ) ( ) ( ) +×+×+×−+×−= 05,008,310,008,119,092,049,092,2)var( 2222X 
( ) ( ) ( ) 96,3)(71,1510,008,903,008,704,008,5 222 =⇒=×+×+×+ Xdp 
(c) No bairro A, pois tem menor desvio-padrão. 
 
14. (Farias e Laurencel (2008) - ex.9 pa´g.87) Para se estudar o desempenho de 2
companhias corretoras de ac¸o˜es, selecionou-se de cada uma delas amostras das
ac¸o˜es negociadas. Para cada ac¸a˜o selecionada, computou-se a porcentagem de lucro
apresentada durante um per´ıodo fixado de tempo, obtendo-se os dados abaixo. Com
base nos coeficientes de variac¸a˜o, qual companhia teve melhor desempenho?
Corretora A
38 45 48 48
54 54 55 55
55 55 56 59
60 60 62 64
65 70
Corretora B
50 50 51 52
52 53 54 55
55 55 56 56
57 57 57 58
58 59 59 59 61
me´dia desvio padra˜o coeficiente de variac¸a˜o
Corretora A 55,72 7,46 13,39%
Corretora B 55,42 3,09 5,58%
As duas corretoras possuem rendimentos me´dios semelhantes, mas a dispersa˜o da
corretora A e´ muito maior. A corretora B parece ter um comportamento mais
esta´vel.
15. (Farias e Laurencel (2008) - ex.18 pa´g.112) Com base na Tabela abaixo, calcule a
mediana e o intervalo interquartil.
nu´mero de freq. simples freq. acumulada
empregados
152 ` 6277
6277 ` 12402
12402 ` 18527
18527 ` 24652
24652 ` 30777
abs. rel. (%)
51 63,75
21 26,25
4 5,00
3 3,75
1 1,25
abs. rel. (%)
51 63,75
72 90,00
76 95,00
79 98,75
80 100,00
10
A mediana e o primeiro quartil esta˜o ambos na primeira classe, onde temos 63,75%
da distribuic¸a˜o. Neste caso, q1 = 2553, 9608 e q2 = 4955, 9216. O terceiro quartil
esta´ na segunda classe: q3 = 8902, 001. O intervalo interquartil e´ IQ = 8902, 001−
2553, 9608 = 6348, 0402.
16. (Vieira (2011) - ex.3 (modificado) pa´g.63) Um problema nas universidades
brasileiras e´ que os alunos chegam atrasados e saem antes do te´rmino das aulas
- mesmo em cursos de bom n´ıvel. Um professor que tem 25 alunos conta o nu´mero
de alunos que ja´ esta˜o em sala de aula no hora´rio estabelecido e conta os que
esta˜o na sala quando o hora´rio termina, nas manha˜s das quartas-feiras durante 6
semanas.
in´ıcio 5 4 7 4 6 22
te´rmino 23 20 24 25 23 23
Tabela 7: Nu´mero de alunos em sala de aula de acordo com o momento.
(a) Encontre a me´dia, a mediana e o desvio padra˜o dos dois conjuntos de dados
(nu´mero de alunos por turno).
me´dia mediana desvio padra˜o
in´ıcio 8 5,5 6,96
te´rmino 23 23 1,67
(b) Fac¸a um boxplot para cada um dos conjuntos de dados.
(c) Compare os resultados obtidos com os dois diferentes conjuntos de dados.
Quais as diferenc¸as percebidas atrave´s dos gra´ficos do item anterior?
11
Refereˆncias
Bussab, W. e Morettin, P. (2002) EstatA˜stica Bı¨¿1
2
sica. Editora Saraiva, 5 edn.
Farias, A. e Laurencel, L. (2008) EstatA˜stica descritiva.
Vieira, S. (2011) EstatA˜stica BA˜¡sica. Cengage Learning, 1 edn.
13