AP3-ALI-2017-2- Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Terceira Avaliação Presencial de Álgebra Linear I - 16/12/2017 
 
1ªQuestão. ( )5.2 Usando operações elementares, resolva o sistema linear 





=++
=+
=−
64
642
0
zyx
zy
yx
 por 
escalonamento. 
Solução. →














 −
6
6
0
411
420
011
→














 −
6
6
0
420
420
011
→














 −
6
3
0
420
210
011
→















0
3
3
000
210
201
 
O sistema associado é 



=+
=+
32
32
zy
zx
. 
Considerando x a variável livre, o conjunto solução é ( ){ }ℜ∈= − xxxS x /,, 23 . 
 
2ªQuestão. ( )5.2 Determine: 
(a) ( )0.1 A matriz do operador linear em 2ℜ que representa uma rotação de 90º no sentido anti-
horário. 
(b) ( )5.1 A inversa da matriz encontrada em (a). 
 
Solução. 
(a) A rotação de 90º é dada pela matriz 




 −
=
01
10
A . 
(b) ⇒






−
10
01
01
10
 
⇒







− 01
10
10
01







− 01
10
10
01
. 
 
Logo 





−
=
−
01
101A . 
 
3ª Questão. ( )0.3 Considere a transformação linear 2:T ℜ → ℜ tal que ( , ) .T x y x y= + 
a) ( )0.1 Ache [ ]T , matriz canônica de T. 
b) ( )0.1 Determine o núcleo de T. 
c) ( )0.1 Dê a dimensão da imagem de T. Justifique sua resposta. 
Solução. 
(a) Sendo ( ) 10,1 =T e 1)1,0( =T temos [ ] [ ].11=T 
 
b) ( , ) 0 ( ) {( , ); }T x y x y y x N T x x x= + = ⇒ = − ⇒ = − ∈ℜ . 
c) Pelo o teorema da dimensão, ( ) .112Imdim =−=T 
 
4ª Questão. ( )0.2 Sendo ( ) ( ){ }1,0,0,1=A e ( ) ( ){ }0,1,1,1=B bases de 2ℜ , determine BAI ,][ , a matriz 
de mudança da base A para a base B. 
Solução. Como ( ) )0,1()1,1(),( yxyyx −+= , 
)0,1.(1)1,1(0)0,1( += e ( ) )0,1.(1)1,1.(1)1,0( −+= . 
Logo, BAI ,][ 





−
=
11
10
.