Sistemas de controle de 1 2 e 3 ordem

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Introdução
Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Aula 7
Cristiano Quevedo Andrea1
1UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná
DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica
Cristiano, Curitiba Sistema de Controle
Introdução
Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resumo
1 Introdução
2 Sistemas de Primeira Ordem
3 Sistema de Segunda Ordem
4 Efeito de um 3o Pólos e um Zero
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Introdução
Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Uma vez determinado o modelo matemático via função de
transferência, podemos então analisar o desempenho do sistema a
partir de sua resposta.
Os sinais típicos para se analisar a resposta são as seguintes funções:
degrau, rampa, senoide.
Resposta temporal: é a resposta de um sistema de controle e é
constituída por duas partes: resposta transitória e resposta
estacionária.
Resposta Transitória: é a resposta que vai do estado inicial
ao estado final.
Resposta Estacionária: é o comportamento do sinal de
saída do sistema à medida que t tende ao infinito.
Assim, a resposta c(t) do sistema pode ser descrita como:
c(t) = ctr (t) + css(t),
sendo = ctr (t) a resposta transitória e css(t) a resposta estacionária.
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Sistemas de Primeira Ordem
Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Estabilidade Absoluta: em projetos de sistemas de controle, a
estabilidade é o objetivo principal. Caso, o projeto não consiga obter a
estabilidade absoluta, o sistema será instável.
O erro de regime estacionário pode ser observado quando a resposta
em regime apresenta um erro em relação ao sinal de entrada.
Será analisado a resposta de sistemas de primeira, segunda ordem e
ordem superior.
0 0.5 1 1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
SISTEMA DE PRIMEIRA
ORDEM
SISTEMA DE SEGUNDA
ORDEM
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Considere o circuito ilustrado a seguir:
Fisicamente, o diagrama de blocos ilustrado acima
representa um circuito RC, um sistema térmico, ou algo
semelhante.
A relação entrada e saída pode ser descrita como:
C(s)
R(s)
=
1
Ts + 1 . (1)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
I- Resposta ao Degrau Unitário
Considerando-se R(s) uma entrada degrau, de (1) temos,
C(s) =
1
s
×
1
Ts + 1 . (2)
Expandindo (2) em frações parciais, temos:
C(s) =
1
s
−
T
Ts + 1 ,
=
1
s
−
1
s + 1T
. (3)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (3)
obtém-se:
c(t) = 1− e
−t
T . (4)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Analisando-se (4) podemos observar que em t = 0,
c(0) = 0. Por outro lado para t →∞, c(t) = 1.
Em t = T , temos:
c(t) = 1− e−1 = 0, 632.
Note que quanto menor a constante de tempo T , mais
rapidamente o sistema responde.
A curva exponencial da resposta possui uma inclinação da
linha tangente em t = 0 de 1/T , pois,
∂c(t)
∂t
∣∣∣∣
t=0
=
1
T
e−
t
T
∣∣∣∣
0
=
1
T
.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resposta de um Sistema de Primeira Ordem
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Considerando a função de transferência abaixo:
C(s)
R(s)
=
1
s + 1 , (5)
temos o seguinte mapeamento de pólos e zeros,
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Da função de transferência do sistema de primeira ordem
podemos tirar outras conclusões, então, considere novamente
a função de transferência de um sistema de primeira ordem,
G(s) =
K
s + 1T
. (6)
O inverso da constante de tempo é homogêneo a
1/segundos, ou seja, a frequência. A função de
transferência do sistema de primeira ordem também pode
ser escrito como,
G(s) =
K
s + a
. (7)
Assim, podemos chamar o parâmetro a de frequência
exponencial.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
A constante de tempo também pode ser obtida a partir dos pólos.
Como o pólo da função de transferência é −a, podemos dizer que o
pólo fica localizado no inverso da constante de tempo.
Quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe, mais rápida será a
resposta transitória.
Tempo de Subida, Ts
O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a
forma de onda vá de 0, 1 até 0, 9 do seu valor final.
Ts =
2, 31
a
−
0, 11
a
=
2, 2
a
.
Tempo de Estabelecimento, Te
O tempo de estabelecimento é definido como o tempo necessário para
que a resposta alcance uma faixa de valores de 2% em torno do valor
final e aí permanece.
Te =
4
a
. (8)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Determinação Experimental de Funções de Transferência de Primeira
Ordem
Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a
função de transferência de um sistema.
Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são
identificáveis facilmente.
Podemos determinar a função de transferência destes sistemas por
meio da relação entre a entrada e saída, sem a necessidade de
conhecer a construção interna da planta.
Se aplicarmos uma entrada degrau em um sistema de primeira ordem
podemos determinar a constante de tempo e o valor de estado
estacionário.
Assim, considere G(s) = Ks+a . Aplicando-se um degrau tem-se,
C(s) =
/
s
K
s + a
=
1
s
−
K/a
s + a
.
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1
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Introdução
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
A partir da reposta medimos a constante de tempo, isto é,
o tempo para que a resposta alcance 63% do valor da
resposta em regime permanente.
Então fazemos:
Amp63,2% = 0, 632Valor Regime.
sendo Amp63,2% o valor da amplitude do valor de resposta
63, 2% do valor de regime. Então, deve-se verificar o
tempo em que a saída atinge este valor, e após
identificado, este valor será a constante de tempo T .
Em regime, temos que o valor é K/a, como a = 1/T ,
podemos obter o valor de K.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resposta a Entrada Rampa para Sistemas de Primeira Ordem
A transformada de Laplace para uma entrada rampa é dada da
seguinte forma:
R(s) =
1
s2
. (9)
Então a saída de um sistema de primeira ordem é:
C(s) =
1
s2
×
1
Ts + 1 . (10)
Expandindo C(s) temos:
C(s) =
1
s2
−
T
s
+
T 2
Ts + 1 . (11)
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um ZeroAplicando-se a transformada inversa de Laplace em (11) temos,
c(t) = t − T + te−
t
T . (12)
Então, o sinal de erro é:
e(t) = r(t)− c(t),
= T (1− e−
t
T ). (13)
Para t →∞, a equação (13) tente a T . A figura seguinte ilustra a resposta
de um sistema de primeira ordem a uma entrada rampa.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resposta de Sistemas de Primeira Ordem a uma Entrada Impulso Unitária
Para uma entrada impulso unitária δ(s) = 1 a um sistema de primeira ordem,
a resposta obtida é:
C(s) =
1
Ts + 1 . (14)
Aplicando a transformada inversa de Laplace em (14) tem-se:
c(t) =
1
T
e−
t
T . (15)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Considere o diagrama de bloco de um sistema de segunda
ordem descrito a seguir:
Neste caso a função de transferência de malha fechada é dada
por:
Y (s) =
G(s)
1 +G(s) =
K
s2 + ps + K
R(s).
A forma generalizada para a resposta de um sistema de
segunda ordem é:
Y (s)
R(s)
=
Kω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
. (16)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Y (s)
R(s)
=
Kω2n
s2 + 2ζωns + ω2n
. (17)
1 ωn: frequência natural de oscilação
2 ζ: coeficiente de amortecimento
3 Pólos: s12 = −ζωn ± jωn
√
1− ζ2
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Exemplo: Encontre o valor do coeficiente de amortecimento e
da frequência natural da seguinte função de transferência
Y (s)
F (s)
=
25
s2 + 10s + 25 . (18)
então temos,
ω2n = 25 ⇒ ωn = 5,
2ζωn = 2ζ5 = 10 ⇒ ζ = 1. (19)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resposta Naturais de Sistemas de Segunda Ordem
Respostas Superamortecidas
Pólos: 2 pólos reais em −σ1 e −σ2.
Resposta Natural: duas exponenciais com constante de
tempo igual a localização dos pólos
c(t) = K1e−σ1t + K2e−σ2t . (20)
Respostas Subamortecidas
Pólos: 2 pólos complexos em −σd ± jωd .
Resposta Natural: resposta com senoides amortecidas
envolvida por uma exponencial cuja constante de tempo é
igual à parte real do pólo. A frequência da senoide é igual a
parte imaginária da parte complexa
c(t) = Ae−σd tcos(ωd t − φ). (21)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Respostas Oscilatórias
Pólos: 2 pólos imaginários em ±jωd .
Resposta Natural: resposta com senoide não amortecidas
com frequência em radianos igual a parte imaginária do
pólo
c(t) = Asen(ωd − φ). (22)
Respostas Criticamente Amortecidas
Pólos: 2 pólos reais em −σd .
Resposta Natural: resposta com uma exponencial com
constante de tempo igual a parte real do pólo e uma
exponencial multiplicada por t com constante de tempo
igual a parte real do pólo
c(t) = K1e−σd t + K2te−σd t . (23)
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Resposta do Sistema de Segunda Ordem em Função do
Coeficiente de Amortecimento ζ
ζ > 1: Sistema Superamortecido
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
ζ = 1: Sistema Criticamente Amortecido
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
0 < ζ < 1: Sistema Subamortecido
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0
−3
−2
−1
0
1
2
3
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
ζ = 0: Sistema Não Amortecido
Pole−Zero Map
Real Axis
Im
ag
in
ar
y 
Ax
is
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
Am
pl
itu
de
−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Análise de Desempenho
Iremos abordar a análise de desempenho em sistema
subamortecido, isto é, 0 < ζ < 1.
Considerando-se um degrau unitário aplicado a um sistema de
segunda ordem típico temos:
Y (s) =
ω2n
s(s2 + 2ζωns + ω2n)
. (24)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (24),
obtemos:
y(t) = 1− 1
β
e−ζωntsen(ωnβt + θ). (25)
sendo β =
√
1− ζ2 e 0 < ζ < 1.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um
Degrau Unitário
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Aplicando-se um impulso δ(s) = 1 em um sistema de segunda
ordem típico temos,
Y (s) = 1× ω
2
n
s2 + 2ζωns + ω2n
. (26)
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace em (26)
obtém-se:
y(t) =
ωn
β
e−ζωntsen(ωnβt). (27)
o que simplesmente a derivada da resposta de um sistema de
segunda ordem a entrada degrau.
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Curvas de Resposta de um Sistema de Segunda Ordem a um
Impulso Unitário
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Índices de Desempenho
Tempo de Pico (Tp): é o tempo onde a resposta atinge o
máximo valor. O tempo de pico, Tp pode ser obtido por:
Tp =
pi
ωn
√
1− ζ2
, (28)
e a magnitude da resposta em Tp é dada por:
y(t) = 1 + e
− ζpi√
1−ζ2 . (29)
Tempo de Subida (Ts): é o tempo que a resposta leva para
ir de 10% a 90% do valor de regime da resposta.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Porcentagem de Overshoot (P.O.): a ultrapassagem
percentual, P.0., é dada pela seguinte expressão,
P.O. = 100e
− ζpi√
1−ζ2 %, (30)
ou,
P.O. = 100×
(
Mp − Fv
Fv
)
%, (31)
sendo
MP = valor máximo da resposta,
Fv = valor de regime permanente.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Tempo de Estabelecimento (Te): é o tempo que a resposta
leva para atingir o regime. Considera-se regime quando a
resposta atingir uma faixa em torno do valor de regime.
Nos cálculos consideraremos que regime será quando a
amplitude da resposta estiver a ±2%do valor de regime.
Neste caso,
Te ∼=
4
ζωn
. (32)
A resposta transitória pode ser descrita por dois fatores:
1 Rapidez da resposta, a qual pode ser projetada pela
escolha adequada do tempo de pico e o tempo de subida.
2 Proximidade da resposta com a resposta desejada, a qual
pode ser atingida projetando-se um sistema de controle
com uma porcentagem de overshoot e tempo de
estabelecimento adequado.
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Resumo
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Porcentagem de Overshoot versus Coeficiente de
Amortecimento
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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Sistema de Segunda Ordem
Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Exemplo1: Desenhe a região do plano complexo com:
P.O. < 20%,
Te < 4seg. (33)
Exemplo 2: Considere o sistema de controle abaixo:
Encontre: Tempo de subida, tempo de pico, valor de pico,
tempo de estabelecimento, porcentagem de overshoot.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de
Segunda Ordem
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de
Segunda Ordem
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Análise do Efeito da Variação dos Pólos de um Sistema de
Segunda Ordem
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Considere o sistema de terceira ordem descrito a seguir:
T (s) =
1
(s2 + 2ζs + 1)(γs + 1) , (34)
sendo ωn = 1.
Foi constatado que o tempo de estabelecimento (Ts) e a
porcentagem de overshoot (P.O.) do sistema descrito em (34)
pode ser aproximado para índices de um sistema de segunda
ordem se,
|1/γ| ≥ 10|ζωn|. (35)
Em outras palavras a resposta de um sistema de terceira
ordem pode ser aproximada pelas raízes dominantes do
sistema de segunda ordem quando a parte real das raízes
dominantes for inferior a 1/10 da parte real da terceira raiz.
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Efeito de um 3o Pólos e um Zero
Consideração
A idéia de pólo dominante deve ser utilizada quando a função
de transferência não possuir zeros próximos aos pólos
dominantes.
Em situações no qual a função de transferência possuir
zeros próximos ao pólos dominantes, a resposta será
afetada significativamente.
A resposta a um degrau de um sistema com um zero e
dois zeros é afetada pela localização do zero.
A porcentagem de overshoot para uma entrada degrau,
em função de a/ζωn, sendo a a posição do zero, é
ilustrada a seguir.
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a/ζωn em Função da Porcentagem de Overshoot
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Resposta ao Degrau Unitário Variando-se a Relação a/ζωn
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