Lista_5

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Lista 5
Espac¸os vetoriais
1. Indique a alternativa correta
(a) Suponha que V e´ um espac¸o vetorial, na˜o trivial, real e definimos um novo produto
escalar da seguinte forma: k~v = ~0, para todo k ∈ R e todo ~v ∈ V .
Com este novo produto escalar:
i. V continua a ser um espac¸o vetorial.
ii. V deixa de ser um espac¸o vetorial porque ja´ na˜o vale o axioma (7) k(~u+~v) = k~u+k~v
.
iii. V deixa de ser um espac¸o vetorial porque ja´ na˜o vale o axioma (10) 1~u = ~u
(b) Com a soma de vetores e a multiplicac¸a˜o por escalar usuais, quais sa˜o os espac¸os vetoriais
contidos em R3?
i. Apenas R3.
ii. Apenas V = {~0}, os conjuntos de vetores com extremidade muma reta que passa na
origem e R3.
iii. Nenhuma das opc¸o˜es anteriores indica TODOS os espac¸os vetoriais contidos em R3.
(c) O conjunto matrizes do tipo
# ‰
M =
[
a b
c 1
]
com a, b, c ∈ R
i. Sa˜o um espac¸o vetorial.
ii. Na˜o sa˜o um espac¸o vetorial porque a matriz identidade,
#‰
I =
[
1 0
0 1
]
na˜o pertence
ao conjunto.
iii. Na˜o sa˜o um espac¸o vetorial porque a matriz nula,
#‰
I =
[
0 0
0 0
]
na˜o pertence ao
conjunto.
2. Considere os conjuntos seguintes com as operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por um escalar
indicadas. Determine quais dos conjuntos sa˜o espac¸os vetoriais com as operac¸o˜es dadas. Para
os que na˜o sa˜o, indique um axioma que falha.
(a) O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) ∈ R3 com as operac¸o˜es
(x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′, y + y′, z + z′) e k(x, y, z) = (kx, y, z)
(b) O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y) ∈ R2 com as operac¸o˜es
(x, y) + (x′, y′) = (x + x′, y + y′) e k(x, y) = (2kx, 2ky)
1
(c) O conjunto de todas as n-uplas (x, x, . . . , x) ∈ Rn com as operac¸o˜es padra˜o de Rn
(d) O conjunto matrizes do tipo
# ‰
M =
[
a 1
1 b
]
com a, b ∈ R
(e) O conjunto matrizes do tipo
# ‰
M =
[
a 0
0 b
]
com a, b ∈ R
3. Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de R3
(a) Todos os vetores da forma (a, 0, 0).
(b) Todos os vetores da forma (a, 1, 1).
(c) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c.
(d) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c + 1.
4. Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de C0(−∞,∞)
(a) Todas as func¸o˜es f tais que f(x) ≤ 0 para todo o x.
(b) Todas as func¸o˜es f tais que f(0) = 0.
(c) Todas as func¸o˜es f tais que f(0) = 2.
(d) Todas as func¸o˜es constantes.
(e) Todas as func¸o˜es f tais que f(x) = k1 + k2sin(x) , onde k1, k2 sa˜o constantes reais .
5. Desenhe um sistema coordenado e localize os pontos de coordenadas:
a) (3, 4, 5) b) (−3, 4, 5) c) (3,−4, 5) d) (3, 4,−5)
e) (−3,−4,−5) f) (−3, 0, 0) g) (0, 0,−3) h) (0, 3, 0)
6. Represente no eixo coordenado os vectores seguintes, com pontos iniciais na origem:
a) ~v1 = (3, 6) b) ~v2 = (−4,−8) c) ~v3 = (−4,−3)
d) ~v4 = (5,−4) e) ~v5 = (3, 4, 5) f) ~v6 = (3, 3, 0)
7. Encontre as componentes do vector que tem ponto inicial P1 e ponto terminal P2.
a) P1 = (3,−5) , P2 = (−4,−7) b) P1 = (4, 8) , P2 = (3, 7) c) P1 = (0, 0) , P2 = (a, b)
d) P1 = (3,−7, 2) , P2 = (−2, 5,−4) e) P1 = (a, b, c) , P2 = (0, 0, 0)
8. Encontre um vector na˜o-nulo ~u com ponto inicial em P = (−1, 3,−5) tal que:
a) ~u tem a mesma direcc¸a˜o e sentido que ~v = (6, 7,−3)
b) ~u tem a mesma direcc¸a˜o e sentido oposto a ~v = (6, 7,−3)
2
9. Encontre um vector na˜o-nulo ~u com ponto terminal Q = (3, 0,−5) tal que
a) ~u tem a mesma direcc¸a˜o e sentido que ~v = (4,−2,−1)
b) ~u tem a mesma direcc¸a˜o e sentido oposto a ~v = (4,−2,−1)
10. Seja ~u = (−3, 1, 2), ~v = (4, 0,−8), e ~w = (6,−1,−4). Obtenha:
a) ~v − ~w b) 6~u + 2~v c) − ~v + ~u
d) 5(~v − 4~u) e) − 3(~v − 8~w) f) (2~u− 7~w)− (8~v + ~u)
11. Sejam ~u, ~v e ~w os vectores do exerc´ıcio 10. Encontre as componentes do vector ~x que
satisfazem 2~u− ~v + ~x = 7~x + ~w.
12. Se poss´ıvel encontre os escalares c1, c2, e c3 tais que
(a) c1(−2, 9, 6) + c2(−3, 2, 1) + c3(1, 7, 5) = (0, 5, 4)
(b) c1(1, 2, 0) + c2(2, 1, 1) + c3(0, 3, 1) = (0, 0, 0)
13. Quais dos seguintes vectores se podem escrever como combinac¸o˜es lineares de ~u = (0,−2, 2)
e ~v = (1, 3,−1)?
(a) (2, 2, 2) (b) (3, 1, 5) (c) (0, 4, 5) (d) (0,0,0)
14. Mostre que ~v1 = (1, 6, 4), ~v2 = (2, 4,−1), ~v3 = (−1, 2, 5) e ~w1 = (1,−2,−5), ~w2 = (0, 8, 9)
geram o mesmo subespac¸o de R3.
15. Verifique em cada um dos casos se os vectores dados geram R3.
(a) ~v1 = (2, 2, 2), ~v2 = (0, 0, 3), ~v3 = (0, 1, 1)
(b) ~v1 = (2,−1, 3), ~v2 = (4, 1, 2), ~v3 = (8,−1, 8)
(c) ~v1 = (3, 1, 4), ~v2 = (2,−3, 5), ~v3 = (5,−2, 9), ~v4 = (1, 4,−1)
(d) ~v1 = (1, 2, 6), ~v2 = (3, 4, 1), ~v3 = (4, 3, 1), ~v4 = (3, 3, 1)
16. Quais dos conjuntos seguintes de vectores, sa˜o linearmente dependentes?
(a) {(4,−1, 2), (−4, 10, 2)}
(b) {(8,−1, 3), (4, 0, 1)}
(c) {(−2, 0, 1), (3, 2, 5), (6,−1, 1), (7, 0,−2)}
(d) {(3, 8, 7,−3), (1, 5, 3,−1), (2,−1, 2, 6), (1, 4, 0, 3)}
(e) {(0, 3,−3,−6), (−2, 0, 0,−6), (0,−4,−2,−2), (0,−8, 4,−4)}
17. Dados 3 vetores ~u,~v e ~w de um espac¸o vetorial V , verifique que o conjunto S = {~u− ~v,~v −
~w, ~w − ~u} e´ linearmente dependente
18. Explique porque e´ que os seguintes conjuntos na˜o sa˜o bases dos espac¸os vectoriais indicados.
(a) ~u1 = (1, 2), ~u2 = (0, 3), ~u3 = (2, 7) para R
2
(b) ~u1 = (−1, 3, 2), ~u2 = (6, 1, 1) para R3
(c)~p1 = 1 + x + x
2 e ~p2 = x− 1 de P2
3
(d)
#‰
A =
[
1 1
2 3
]
,
#‰
B =
[
6 0
−1 4
]
,
#‰
C =
[
3 0
1 7
]
,
#‰
D =
[
5 1
4 2
]
e
#‰
E =
[
7 1
2 9
]
de M22.
19. Encontre as coordenadas do vector ~v relativamente a` base S = {~v1, ~v2, ~v3}.
(a) ~v = (2,−1, 3); ~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (2, 2, 0), ~v3 = (3, 3, 3)
(b) ~v = (5,−12, 3); ~v1 = (1, 2, 3), ~v2 = (−4, 5, 6), ~v3 = (7,−8, 9)
20. Seja W o subespac¸o de C0(−∞,+∞) gerado por ~f1 = cos2(x), ~f2 = sin2(x) e ~f3 = 5
(a) Mostre que S = {~f1, ~f2, ~f3} na˜o e´ uma base de W .
(b) Encontre uma base de W
21. Encontre uma base para o subespac¸o de R3 constituido pelos vetores da forma (a, b, c) tais
que b = a + c.
22. Determine a dimensa˜o dos seguintes subespac¸os de R4
(a) Todos os vetores da forma (a, b, c, 0).
(b) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), onde d = a + b e c = a− b.
(c) Todos os vetores da forma (a, b, c, d), onde a = b = c = d.
4