EXERCICIOS CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO
CCE0117_A1__V1 
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	
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	Matrícula: 201402036663
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	Período Acad.: 2018.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		
	
	
	
	
	-3
	
	 
	2
	
	
	-11
	
	
	3
	
	 
	-5
	
	
	
		
	
		2.
		Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	
	3,142
	
	
	3,14159
	
	 
	3,1416
	
	
	3,141
	
	 
	3,1415
	
	
	
		
	
		3.
		Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
	
	
	
	
	16/17
	
	 
	17/16
	
	 
	2/16
	
	
	- 2/16
	
	
	9/8
	
	
	
		
	
		4.
		Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
	
	
	
	 
	1000 + 0,05x
	
	
	50x
	
	
	1000 - 0,05x
	
	
	1000 + 50x
	
	
	1000
	
	
	
		
	
		5.
		Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
	
	
	
	 
	2
	
	
	-7
	
	 
	-3
	
	
	-11
	
	
	3
	
	
	
		
	
		6.
		Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao domínio R associa o elemento y de valor igual a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R)
	
	
	
	
	Função exponencial.
	
	 
	Função afim.
	
	
	Função linear.
	
	 
	Função quadrática.
	
	
	Função logaritma.
	
	
	
		
	
		7.
		O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
	
	
	
	 
	1086
	
	
	10860
	
	
	10085
	
	
	1084
	
	 
	1085
	
	
	
		
	
		8.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
		
	CÁLCULO NUMÉRICO
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	Matrícula: 201402036663
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	Período Acad.: 2018.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	 
	Método da Bisseção.
	
	
	Método de Romberg.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	
	Regra de Simpson.
	
	
	Método do Trapézio.
	
	
	
		
	
		2.
		Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este ponto, é correto afirmar que:
	
	
	
	 
	Nada pode ser afirmado
	
	
	É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	 
	É a raiz real da função f(x)
	
	
	É o valor de f(x) quando x = 0
	
	
	É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula
	
	
	
		
	
		3.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro absoluto associado?
	
	
	
	 
	0,992
	
	 
	0,2 m2
	
	
	99,8%
	
	
	0,2%
	
	
	1,008 m2
	
	
	
		
	
		4.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência de iteração.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com:
	
	
	
	 
	Newton Raphson
	
	
	Ponto fixo
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Gauss Jordan
	
	 
	Bisseção
	
	
	
		
	
		5.
		A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
	
	
	
	 
	De truncamento
	
	
	De modelo
	
	
	Absoluto
	
	
	Relativo
	
	
	Percentual
	
	
	
		
	
		6.
		A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	
	
		
	
		7.
		Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos ter x + y igual a:
	
	
	
	
	5
	
	 
	18
	
	 
	9
	
	
	2
	
	
	10
	
	
	
		
	
		8.Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
	
	
	
	
	(1, 1.5)
	
	 
	(0, 0.5)
	
	
	(-0.5, 0)
	
	 
	(1.5, 2)
	
	
	(0.5, 1)
	
		
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido:
	
	
	
	
	A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária.
	
	 
	A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias.
	
	 
	A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária.
	
	
	A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias.
	
	
	
		
	
		2.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
	
	
	
	
	Gauss Jacobi
	
	 
	Newton Raphson 
	
	 
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Ponto fixo
	
	
	
		
	
		3.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		4.
		Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
	
	
	
	 
	1.0746
	
	
	1.0909
	
	
	1.9876
	
	
	1.0245
	
	 
	1.0800
	
	
	
		
	
		5.
		Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
	
	
	
	
	1,14
	
	
	1,00
	
	
	1,85
	
	
	1,56
	
	
	0,55
	
	
		
	
		6.
		O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
	
	
	
	 
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	
	
		
	
		7.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON:
	
	
	
	 
	 
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		8.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
	
	
	
	
	Método das secantes
	
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	 
	Método do ponto fixo
	
	
	Método de Pégasus
	
	
	Método da bisseção
	
		
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
	
	
	
	 
	tem uma raiz
	
	
	tem três raízes
	
	 
	pode ter duas raízes
	
	
	não tem raízes reais
	
	
	nada pode ser afirmado
	
	
	
		
	
		2.
		Dado o seguinte sistema linear:
x + y + 2z = 9
2x + 4y -3z = 1
3x + 6y - 5z = 0
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z.
	
	
	
	 
	x=2, y=4, z=6.
	
	
	x=-2, y=4, z=-6.
	
	 
	x=1, y=2, z=3.
	
	
	x=-3, y=1, z=-2.
	
	
	x=3, y=1, z=2.
	
	
	
		
	
		3.
		Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
	
	
	
	 
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	
	
		
	
		4.
		Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y:
3x - 2y = - 12
5x + 6y = 8
 
	
	
	
	 
	x = - 2 ; y = -5
	
	
	x = 9 ; y = 3
	
	 
	x = -2 ; y = 3
	
	
	x = 2 ; y = -3
	
	
	x = 5 ; y = -7
	
	
	
		
	
		5.
		A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método da bisseção.
	
	
	Método da falsa-posição.
	
	 
	Método do ponto fixo.
	
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		6.
		A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	
	 
	Sempre são convergentes.
	
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	
	 
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		7.
		O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida como:
2x+3y-z = -7
x+y+z = 4
-x-2y+3z = 15
	
	
	
	 
	 2  3 -1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 1  0   0  | -7
 0  1   0 | 4
 0  0   1 | 15
	
	 
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
-1 -2 3 | 15
	
	
	 2  3  1  | -7
 1  1  1  | 4
  1  2 3 | 15
	
	
	 2  1  1  | -7
 3  1  -2  | 4
-1  1   3 | 15
	
	
	
		
	
		8.
		Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2:
5x1 + 4x2 = 180
4x1 + 2x2 = 120
 
	
	
	
	 
	x1 = 20 ; x2 = 20
	
	
	x1 = -10 ; x2 = 10
	
	
	x1 = 10; x2 = -10
	
	
	x1 = -20 ; x2 = 15
	
	
	x1 = 18 ; x2 = 18
	
		
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
	
	
	
	 
	Um polinômio do quarto grau
	
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	
	Um polinômio do quinto grau
	
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	
	
		
	
		2.
		A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa a definição de:
	
	
	
	
	Erro absoluto
	
	 
	Erro conceitual
	
	
	Erro fundamental
	
	
	Erro derivado
	
	 
	Erro relativo
	
	
	
		
	
		3.
		A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre as quais podemos citar:
	
	
	
	
	o método de Euller
	
	
	o método de Raphson
	
	
	o método de Pégasus
	
	 
	o método de Lagrange
	
	
	o método de Runge Kutta
	
	
	
		
	
		4.
		Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
	
	
	
	
	Determinação de raízes.
	
	 
	Derivação.
	
	
	Integração.
	
	 
	Interpolação polinomial.
	
	
	Verificação de erros.
	
	
	
		
	
		5.
		Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
	
	
	
	 
	Há convergência para o valor -59,00.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	
		
	
		6.
		Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio é verdade que:
	
	
	
	
	Pode ter grau máximo 10
	
	 
	Sempre será do grau 9
	
	
	Nunca poderá ser do primeiro grau
	
	 
	Será de grau 9, no máximo
	
	
	Poderá ser do grau 15
	
	
	
		
	
		7.
		Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES:
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
	
		
	
		8.
		Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
	
	
	
	
	grau 31
	
	
	grau 20
	
	 
	grau 15
	
	
	grau 32
	
	 
	grau 30
	
		
	CÁLCULO NUMÉRICO
CCE0117_A6__V1 
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	
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	Aluno: 
	Matrícula: 201402036663
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	Período Acad.: 2018.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	
	
	
	
	Y = abx+c
	
	 
	 Y = b + x. ln(a)
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	Y = ax + b
	
	 
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	
		
	
		2.
		Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
	
	
	
	
	5,125
	
	 
	3,985
	
	
	2,395
	
	
	7,970
	
	
	4,785
	
	
	
		
	
		3.
		Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas:
 
 I - Pode ser de grau 21
II - Existe apenas um polinômio P(x)
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x).
 
Desta forma, é verdade que:
	
	
	
	 
	 Todas as afirmativas estão corretas
	
	
	 Apenas I e III são verdadeiras
	
	
	 Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	 Apenas I e II são verdadeiras
	
	 
	Apenas II e III são verdadeiras.
 
	
	
	
		
	
		4.
		Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
	
	
	
	
	Indefinido
	
	
	5
	
	 
	20
	
	 
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	
	0
	
	
	
		
	
		5.
		Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
	
	
	
	
	Função linear.
	
	
	Função exponencial.
	
	 
	Função logarítmica.
	
	
	Função cúbica.
	
	 
	Função quadrática.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		6.
		Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
	
	
	
	
	(6,10,14)
	
	
	(13,13,13)
	
	 
	(11,14,17)
	
	 
	(8,9,10)
	
	
	(10,8,6)
	
	
	
		
	
		7.
		Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para estaresolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
	
	
	
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	
	Nada pode ser afirmado.
	
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	
	 
	Nunca se altera
	
	
	
		
	
		8.
		Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
	
	
	
	 
	 13,000
	
	 
	 13,900
	
	
	 13,017
	
	
	 13,500
	
	
	 13,857
	
	
		
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua representação por um valor aproximado" apresenta a definição de:
	
	
	
	 
	Erro conceitual
	
	
	Erro fundamental
	
	 
	Erro absoluto
	
	
	Erro derivado
	
	
	Erro relativo
	
	
	
		
	
		2.
		Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
	
	
	
	 
	0,6667
	
	
	0,1266
	
	 
	0,1667
	
	
	0,30
	
	
	0,2667
	
	
	
		
	
		3.
		Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
	
	
	
	 
	3,14159
	
	
	3,1416
	
	
	3,142
	
	 
	3,1415
	
	
	3,141
	
	
	
		
	
		4.
		O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação.
	
	
	
	
	0,50 e o,30
	
	 
	0,25 e 0,30
	
	 
	0,25 e 0,03
	
	
	0,03 e 0,25
	
	
	0,025 e 0,03
	
	
	
		
	
		5.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	
	3
	
	 
	2,5
	
	
	1
	
	 
	2
	
	
	indeterminado
	
	
	
		
	
		6.
		Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
	
	
	
	
	3,1416
	
	 
	0,1415926536
	
	
	0,14
	
	
	3,14
	
	 
	0.0015926536
	
	
	
		
	
		7.
		Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
	
	
	
	 
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	
	Nenhuma das Anteriores
	
	 
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	
	
		
	
		8.
		Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações:
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas;
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo.
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo.
É correto afirmar que:
	
	
	
	 
	todas são falsas
	
	
	apenas II é verdadeira
	
	
	apenas III é verdadeira
	
	
	todas são verdadeiras
	
	 
	apenas I é verdadeira
	
	
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
	
	
	
	 
	0,725
	
	
	1,053
	
	
	1,567
	
	
	0,382
	
	 
	0,351
	
	
	
		
	
		2.
		Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	 
	Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	
	Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y).
	
	 
	A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos.
	
	
	Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos.
	
	
	As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		3.
		Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
	
	
	
	
	Método do Trapézio.
	
	 
	Regra de Simpson.
	
	
	Método da Bisseção.
	
	
	Extrapolação de Richardson.
	
	 
	Método de Romberg.
	
	
	
		
	
		4.
		O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integraisdefinidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		5.
		Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
	
	
	
	 
	5
	
	 
	2
	
	
	4
	
	
	1
	
	
	3
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		6.
		Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
	
	
	
	
	É um método de pouca precisão
	
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		7.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	 
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	
		
	
		8.
		Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x))
	
	
	
	
	0,8
	
	 
	0,4
	
	 
	1,2
	
	
	1,0
	
	
	0,6
	
		 
	CÁLCULO NUMÉRICO
9a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
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MP3
	 
	
	 
	Exercício: CCE0117_EX_A9_V1 
	08/04/2018 15:46:02 (Finalizada)
	Aluno(a): 
	2018.1
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	201402036663
	 
	Ref.: 201402150950
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1).
		
	
	-7
	 
	2
	
	3
	
	-11
	 
	-8
	
	 
	Ref.: 201402667523
		
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	2,54
	
	1,00
	 
	2,50
	
	3,00
	 
	1,34
	
	 
	Ref.: 201403064109
		
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
		
	 
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	 
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	
	 
	Ref.: 201403074711
		
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	Ref.: 201402667519
		
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
		
	 
	0
	
	1
	 
	3
	
	-2
	
	-3
	
	 
	Ref.: 201402667516
		
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	1
	
	-1
	 
	2
	
	0
	 
	-2
	
	 
	Ref.: 201402667250
		
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	 
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	 
	Ref.: 201402282970
		
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
		
	 
	erro de truncamento
	
	erro absoluto
	 
	erro de arredondamento
	
	erro booleano
	
	erro relativo
	
	
		
	CÁLCULO NUMÉRICO
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	Matrícula: 201402036663
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	Período Acad.: 2018.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		
	
		1.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	 
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	
		
	
		2.
		Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
	
	
	
	 
	2.10-2 e 1,9%
	
	
	0,020 e 2,0%
	
	 
	3.10-2 e 3,0%
	
	
	0,030 e 3,0%
	
	
	0,030 e 1,9%
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		3.
		Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
	
	
	
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	 
	Uso de dados de tabelas
	
	 
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		4.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
 
	
	
	
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	
	
	a = b = c = d= e - 1
 
	
	 
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	
	b - a = c - d
 
	
	
	b = a + 1, c = d= e = 4
	
	
	
		
	
		5.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	 
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	 
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	
		
	
		6.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	 
	0,992
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,2 m2
	
	 
	0,8%
	
	
	99,8%
	
	Gabarito Coment.
	
	
	
		
	
		7.
		Considere o Método de Romberg para cálculo da integral. Assim, o valor de R2,1 da integral de f(x) = cos(x) no intervalo entre 0 e 
é dado por:
	
	
	
	 
	
	
	
	
	
	 
	-
	
	
	2
	
	
	-
	
	
	
		
	
		8.
		Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
	
	
	
	 
	Método de Newton-Raphson.
	
	
	Método de Gauss-Jordan.
	
	 
	Método de Gauss-Seidel.
	
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	
	
	Método de Decomposição LU.
	
	Gabarito Coment.