AULA 8 INTEGRAL DE LINHA OPERADORES DIFERENCIAIS

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 8 – Integral de linha 
 Operadores diferenciais 
 
NOME DA AULA – AULA1 
NOME DA DISCIPLINA 
Conteúdo Programático desta aula 
 Campo vetorial; 
 Campo vetorial: Representação 
geométrica; 
 Integral de Linha de Campo Vetorial; 
 Gradiente; 
 Campo Gradiente; 
 Função Potencial. 
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Campo Vetorial 
 Definição. Seja F uma função vetorial definida de uma região D do 
espaço-2D ou espaço-3D no próprio espaço. A região D juntamente 
com as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de D pela F, é 
chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define um 
campo vetorial sobre D. 
 
 Exemplo: 
 Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da 
atmosfera terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V 
define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidade. 
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Campo Vetorial: Representação gráfica 
 A função vetorial dada por F(x, y) = ( M(x,y), N(x, y) ) define um 
campo vetorial no espaço-2D. Para representá-lo, introduzimos 
um sistema de coordenadas no plano XOY e selecionamos alguns 
pontos (x, y) do plano e desenhamos os vetores a eles associados 
preferencialmente com a origem do vetor no próprio ponto. 
 
 Exemplo: Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = (-y, 
x) e selecionado alguns pontos temos 
 
(x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) 
F(x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3) 
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Campo Vetorial: Representação gráfica 
 Exemplo: Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = (-y, 
x) e selecionado alguns pontos temos 
 
 
 
 Logo, graficamente temos 
 
(x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) 
F(x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3) 
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Campo Vetorial: Representação gráfica 
 Os vetores deste campo vetorial representam um campo de 
velocidade de uma roda em movimento. 
 
 Sendo r(x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o vetor posição do 
ponto (x, y) do espaço-2D, temos r(x, y) e F(x, y) são ortogonais 
em cada ponto (x, y), pois (x, y) . (-y, x) = x (-y) + y x = 0. 
 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Sejam F : R3 −> R3, F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um 
campo vetorial e C uma curva em R3, definida por 
 α(t) = (x(t), y(t), z(t)), 
 t ∈ [a, b]. 
 
Para motivar a definição de integral de linha de F ao longo de C, 
suponhamos que F representa um campo de forças e calculemos o 
trabalho realizado pela força F ao deslocar uma partícula ao longo de C. 
 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Considerando C um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e 
F uma força a constante, sabemos que o trabalho realizado pela 
força F ao deslocar uma partícula ao longo de C é dado por 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Quando C não é um segmento 
de reta, podemos aproximá-
la por uma linha poligonal 
com vértices em C, de modo 
que para n grande △ti = ti+1 − 
ti seja pequeno. 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Quando C não é um segmento de reta, podemos aproximá-la por 
uma linha poligonal com vértices em C, de modo que para n grande 
△ti = ti+1 − ti seja pequeno. 
 
 O deslocamento da partícula de α(ti) a α(ti+1) é aproximado pelo 
vetor △si = α(ti+1) − α(ti), logo F pode ser considerado constante e 
igual a F(α(ti)) no intervalo [ti, ti+1]. 
 
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 Supondo que α′(t) existe para todo t ∈ [a, b], então pela definição de 
derivada, temos que △si ≈ α′(ti) △ti. 
 
 Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partícula de α(ti) 
até α(ti+1) é aproximadamente 
 
 F(α(ti))△si ≈ F(α(ti)) α′(ti) △ti. 
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 Assim sendo, o trabalho W realizado pela força F ao deslocar uma 
partícula ao longo de C é: 
 
 
 
 Logo, 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Definição. Seja C ⊂ R3 uma curva parametrizada por α(t) = (x(t), 
y(t), z(t)) com t ∈ [a, b], onde α é de classe C1, e F(x, y, z) = (F1(x, y, 
z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial contínuo definido em C. 
Definimos a integral de linha de F ao longo de C por 
 
 
 
 Se a curva C é fechada, isto é α(a) = α(b) a integral de linha é 
denotada por 
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 Note que ao usarmos as componentes de F e de α, a equação 
 
 
 
 
 se escreve 
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 Observação. Se C é uma curva no plano xy parametrizada por α(t) = 
(x(t), y(t)) com t ∈ [a, b], a integral de linha de F(x, y) = (F1(x, y), 
F2(x, y)) ao longo de C é dada por Z 
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 Exemplo. Calcule 
 
 
 onde F(x, y, z) = (x, y, z) e C é a curva parametrizada por 
 α(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2π]. 
 
 Solução. Uma vez que F é contínua em R3 e α′(t) = (cos t,−sen t, 1), 
temos 
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Integração de linha de um campo vetorial 
 Propriedades. 
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Gradiente 
 Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se 
por grad f ou ∇f, a expressão: 
 
 
 
 
 O gradiente é um vetor e i, j, k são os vetores unitários. 
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Gradiente: Resumo 
 O Gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, 
direção e sentido que representa a máxima taxa de crescimento 
desta função escalar. (ou seja aponta para o máximo crescimento 
da função e é perpendicular à superfície no ponto) 
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Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente 
 Vejamos algumas propriedades relacionadas ao cálculo do gradiente: 
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Campo Gradiente 
 Se f é uma função escalar (de duas ou mais varáveis), então o 
gradiente, f ,de f é um campo vetorial chamado campo gradiente 
de f. 
 
 F(x, y) = f(x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ). 
 F(x, y, z) = f(x, y, z) = ( fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y,z) ). 
 
 Exemplo: Dada a função f(x, y) = x e y + y 2 e x, o campo gradiente de 
f é dado por 
 f(x,y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ) = ( e 
y + y 2 e x, x e y + 2y e x ) 
 
 
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Função Potencial 
Definição: 
 Um campo vetorial F é conservativo numa região D do espaço-2D ou 
do espaço-3D se F = f para alguma função escalar f definida em D. 
Nesse caso, a função f é chamada função potencial de F na região D e 
a imagem de um ponto de D pela f é o potencial neste ponto. 
 
 Exemplo: O campo vetorial dado por F(x, y, z) = (4x + 5yz, 5xz, 5xy) 
é um campo conservativo pois a função escalar f (x, y, z ) = 2x 2 + 
+5xyz é tal quef (x, y, z ) = ( 4x + 5yz, 5xz, 5xy ) = F(x, y, z). 
 
 
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Operadores diferenciais