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FAT – FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS – 2014.1
MECÂNICA 1 – Prof. Dr. A. Carlos
LISTA 6 – APLICAÇÕES 1: CENTROS DE MASSA
1. A distância enre o centro da Terra e o centro da Lua mede 3, 6.1o5 km. A massa de Terra é 82 vezes
maior que a massa da Lua. Calcule a distância x do centro da Terra na qual se encontra o centro de
masa do sistema Terra-Lua.
2. Determine o centro de massa (x, y) da configuração dada.
3. Determine o centro de massa (x, y) de cada configuração dada. No primeiro caso, os discos têm mesmo
raio R = 20 cm e massas m1 = 1kg, m2 = 2kg, m3 = 3kg e m4 = 4kg. No segundo caso, os dominós têm
mesma área e massa; dentre os pontos (F,G,H, I, J), indique o que melhor representa o cm.
4. Considere uma barra fina e homogênea, de comprimento L, massa m e densidade linear δ = m/L
constante. Mostre que o CM da barra está localizado em seu ponto médio.
Observação Se L=10m e a densidade δ(x) = 1+(x/10)kg/m não é constante, então x¯ = 50/9 ' 5, 56m
não coincide com o ponto médio da barra.
5. Calcule o CM do arame em forma de arco semicircular, usando coordenadas polares, como indicado na
figura. Conclua que o CM de um quarto do círculo vale (x, y) = (2a/pi, 2a/pi).
2
6. Em cada caso, as configurações planas são formadas por barras finas e homogêneas. Mostre que
(a) (x, y) = (L/4, L/4);
(b) Comprimentos dados: OP=60cm, PQ=65cm e OQ=25cm; (x, y) = (25cm; 7, 5cm).
Sugestão Use o método da superposição, generalizando as relações
(
∑
Li)x =
∑
(Lixi) (
∑
Li)y =
∑
(Liyi)
7. Calcule o CM de cada configuração formadas de barras finas e homogêneas.
(a) (b) (c)
8. Dado o triângulo abaixo, de base b e altura h, use integração no plano para mostrar que y = h/3.
Sugestão Na integral Ay =
∫
y dA =
∫
yLdy, elimine L com o auxílio da semelhança
L
b
=
h− y
h
.
Aplicação numérica Indique as coordenadas do CM do triângulo plano de vértices (0,0), (2,0) e (2,6).
Observe que cada coordenada do CM é a média aritmética das respectivas coordenadas dos pontos dados.
9. Calcule o CM das áreas das regiões planas, cada uma com densidade superficial σ constante, usando a
relação Ay =
∫
ydA e, se necessário, uma mudança polar.
(a) Região interior à semicircunferência x2 + y2 ≤ a2 , y ≥ 0;
(c) Região interior ao quarto de circunferência x2 + y2 ≤ a2 , y ≥ 0 x ≥ 0.
10. Calcule o CM das áreas planas compostas.
3
11. Calcule o CM dos sólidos homogêneos do R3, com V x =
∫
x dV , V y =
∫
y dV e V z =
∫
z dV .
(a) Hemisfério x2 + y2 + z2 ≤ a2, z ≥ 0; (b) Cone z2 = h
2
a2
(x2 + y2), 0 ≤ z ≤ h (raio a e altura h).
Sugestão. Note que são círculos as seções transversais obtidas para z fixo. Se r é o raio dessa circun-
ferência, então dV = pir2dz. Ora, em (c), vale r2 = x2 + y2 = a2 − z2; em (d), por semelhança, temos
r = (a/h)z. Assim, a integral resultante sempre depende apenas da variável z.
12. Cada um dos três barrotes de madeira possui massa 6 kg/m. Localize o centro de massa e calcule as
reações no pino A e no rolamento E.
4
RESPOSTAS E SUGESTÕES
1. x = 4, 6× 103km.
2. x = 2, 3cm; y = 1, 1cm.
3. (a) x = 40cm; y = 32cm; (b) ponto I
7. (a) x = 45, 5mm; y = −22, 5mm; z = −0, 805mm;
(b) x = −0, 590mm; y = 1, 07mm; z = 2, 14mm;
(c) x = 121mm, y = 44, 1mm, z = 124 mm.
9. (a) X = (0;
4a
3pi
); (b) X = (
4a
3pi
;
4a
3pi
).
10. (a) (x, y) = (23, 1 ; 23, 9)mm; (b) (x, y) = (18, 02 ; 84, 9)mm
(c) (x, y) = (8, 56 ; 0)mm; (d) (x, y) = (54, 8 ; 36, 6)mm
11. (a) (x, y, z) = (0, 0,
3
8
a); (b) (x, y, z) = (0, 0,
3
4
h).
12. (x, y) = (1, 65 ; 9, 24)m; Ay = 1, 32kN, Ax = 0; Ey = 342N.
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