02 solucao de edos

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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias por
Transformadas de Laplace
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Caˆmpus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Diferencial e Integral 4A
6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace da Derivada de uma Func¸a˜o
Teorema 1: Transformada de Laplace de Derivada
As transformadas das derivadas primeiras e segundas de f (t)
satisfazem a
L (f ′) = sL (f )− f (0) (1)
L (f ′′) = s2L (f )− s f (0)− f ′(0) (2)
A fo´rmula (1) verifica-se se f (t) for cont´ınua para todo t ≥ 0,
satisfazer a restric¸a˜o de crescimento e se f ′(t) for cont´ınua por
intervalos em qualquer intervalo finito do semi-eixo t ≥ 0.
Similarmente, (2) verifica-se se f e f ′ forem cont´ınuas para todo
t ≥ 0, satisfazerem a restric¸a˜o de crescimento e se f ′′ for cont´ınua
por intervalos em cada intervalo finito do semi-eixo t ≥ 0.
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Teorema 2: Transformada de Laplace da Derivada de Ordem n
Consideremos que f , f ′, ..., f (n−1) sejam cont´ınuas para todo t ≥ 0
e satisfazem a restric¸a˜o de crescimento. Ale´m disso, consideremos
que f (n) seja cont´ınua por intervalos em cada intervalo finito do
semi-eixo t ≥ 0. Enta˜o, a transformada de f (n) satisfaz a
L (f (n)) = snL (f )− sn−1 f (0)− sn−2 f ′(0)− ...− f (n−1)(0) (3)
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Transformada de Laplace da Integral de uma Func¸a˜o
Teorema 3: Transformada de Laplace da Integral
Fac¸amos F (s) representar a transformada de uma func¸a˜o f (t), que
e´ cont´ınua por intervalos para t ≥ 0 e satisfaz a restric¸a˜o de
crescimento. Enta˜o, para s > 0, s > k e t > 0,
L
{∫ t
0
f (τ) dτ
}
=
1
s
F (s) (4)
portanto,
L −1
{
1
s
F (s)
}
=
∫ t
0
f (τ) dτ (5)
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Soluc¸a˜o de Problemas de Valor Inicial
Consideremos o problema de valor inicial
y ′′ + ay ′ + by = r(t), y(0) = K0, y ′(0) = K1 (6)
onde a e b sa˜o constantes. Aqui, r(t) e´ a entrada dada (forc¸a
motriz), aplicada a um sistema mecaˆnico ou ele´trico e y(t) e´ a
sa´ıda a ser obtida.
Etapas para resoluc¸a˜o pelo me´todo de Laplace:
Etapa 1: Aplicac¸a˜o da transformada de Laplace para
determinac¸a˜o da equac¸a˜o subsidia´ria.
Etapa 2: Soluc¸a˜o alge´brica da equac¸a˜o subsidia´ria.
Etapa 3: Inversa˜o de Y para obter a soluc¸a˜o da EDO
y = L −1(Y)
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Exemplo
Resolva
y ′′ − y = t, y(0) = 1, y ′(0) = 1
Vantagens do Me´todo de Laplace
A resoluc¸a˜o de uma EDO na˜o-homogeˆnea na˜o requer que
primeiro se resolva a EDO homogeˆnea.
Os valores iniciais sa˜o automaticamente tratados.
E´ poss´ıvel tratar as entradas complicadas r(t) (nos lados
direitos das EDOs lineares) de modo bastante eficiente.
Exerc´ıcio
Resolva
(a) y ′′ − y ′ − 6y = 0, y(0) = 6, y ′(0) = 13
(b) y ′′ + y = 2t, y(pi4 ) =
pi
2 , y
′(pi4 ) = 2−
√
2
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Exerc´ıcio
Usando (1) e (2), encontre L (f ) se f (t) for igual a:
1. f (t) = tekt
2. f (t) = t cos 5t
3. f (t) = sen 2ωt
4. f (t) = cos2 pit
5. f (t) = senh 2at
6. f (t) = cosh2 0,5t
7. f (t) = t sen 0,5pit
8. f (t) = sen 4t
Exerc´ıcio
Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada
de Laplace.
10. y ′ + 4y = 0, y(0) = 2,8
11. y ′ + 0,5y = 17 sen 2t, y(0) = −1
12. y ′′ − y ′ − 6y = 0, y(0) = 6, y ′(0) = 13
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
13. y ′′ − 0,25y = 0, y(0) = 4, y ′(0) = 0
14. y ′′ − 4y ′ + 4y = 0, y(0) = 2,1, y ′(0) = 3,9
15. y ′′ + 2y ′ + 2y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = −3
16. y ′′ + ky ′ − 2k2y = 0, y(0) = 2, y ′(0) = 2k
17. y ′′ + 7y ′ + 12y = 21e3t , y(0) = 3,5, y ′(0) = −10
18. y ′′ + 9y = 10e−t , y(0) = 0, y ′(0) = 0
21. y ′ − 6y = 0, y(2) = 4
22. y ′′ − 2y ′ − 3y = 0, y(1) = −3, y ′(1) = −17
23. y ′′ + 3y ′ − 4y = 6e2t−2, y(1) = 4, y ′(1) = 5
24. y ′′ + 2y ′ + 5y = 50t − 150, y(3) = −4, y ′(3) = 14
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Respostas:
1.
1
(s − k)2
2.
s2 − 25
(s2 + 25)2
3.
2ω2
s(s2 + 4ω2)
4.
s2 + 2pi2
s(s2 + 4pi2)
5.
2a2
s(s2 − 4a2)
6.
s2 − 0,5
s(s2 − 1)
7.
pis
(s2 + 0,25pi2)2
8.
24
s(s2 + 4)(s2 + 16)
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6.2 - Soluc¸a˜o de EDO’s por Transformadas de Laplace
Respostas:
10. y = 2,8e−4t
11. y = 7e−0,5t + 2 sen 2t − 8 cos 2t
12. y = 5e3t + e−2t
13. y = 4 cosh 0,5t
14. y = 2,1e2t − 0,3te2t
15. y = e−t(cos t − 2 sen t)
16. y = 2ekt
17. y = 0,5e3t + 2,5e−4t + 0,5e−3t
18. y = e−t − cos 3t + 13 sen 3t
19. y = (1 + t)e−1,5t + 4t3 − 16t2 + 32t
20. y = et + 2e5t + 0,2 cos 2t − 2,4 sen 2t
21. y = 4e6t−12
22. y = 2e−(t−1) − 5e3(t−1)
23. y = 3et−1 + e2t−2
24. y = 10(t − 3)− 4 + 2e−(t−3) sen 2(t − 3)
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