Pendulo

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Controle Analógico
Modelagem e controle de um pêndulo simples
Antonio Marcus Nogueira Lima
amnlima@dee.ufcg.edu.br
Universidade Federal de Campina Grande
Departamento de Engenharia Elétrica
Controle Analógico – p. 1/14
Pêndulo simples
θ
l
m
mg
τ
x
F
mgsin 
(
θ
)
Controle Analógico – p. 2/14
Descrição
O pêndulo é constituído de uma vareta de comprimento
l e de uma bola de massa m presa na sua
extremidadade inferior.
A vareta é rígida, tem massa nula e sua extremidade
superior é acoplada ao eixo de um motor elétrico.
A vareta pode oscilar livremente e descreve um arco de
comprimento θ como indicado na figura.
Controle Analógico – p. 3/14
Modelagem física
Uma das alternativas que pode ser usada para
determinar um modelo matemático que descreve o
comportamento dinâmico do pêndulo é escrever a
equação da segunda lei de Newton para um
deslocamento incremental (eixo x) na direção
tangencial ao arco descrito pela bola.
Também é possível desenvolver a formulação de
Lagrange para determinar o modelo dinâmico do
pêndulo.
Controle Analógico – p. 4/14
Dinâmica de corpo rígido
∑
Fr =
∑
Fa
∑
Fr = m
d2x
dt2︸ ︷︷ ︸
inercial
+ b
dx
dt︸︷︷︸
atrito viscoso
+ kx︸︷︷︸
atrito seco
x = lθ∑
Fr = ml
d2θ
dt2
+ bl
dθ
dt
+ klθ
Controle Analógico – p. 5/14
Equação diferencial não-linear
∑
Fa = F −mg sin (θ)︸ ︷︷ ︸
peso
τ︸︷︷︸
Conjugado do motor elétrico
= Fl
ml
d2θ
dt2
+ bl
dθ
dt
+ klθ︸︷︷︸
≈0
+mg sin (θ) =
τ
l
Controle Analógico – p. 6/14
Modelo de estado não-linear
[
x1
x2
]
=
[
θ
θ˙
]
x˙ =
[
x2
−gl sin (x1)−
b
mx2
]
+
[
0
1
ml2
]
u
y =
[
1 0
]
x
Controle Analógico – p. 7/14
Linearização
x˙ = f (x) + bu
y = cx
f (x) =
[
f1 (x)
f2 (x)
]
=
[
x2
−gl sin (x1)−
b
mx2
]
x˙ = A︸︷︷︸
∂f
dx |(x0,u0)
x+ bu
y = cx
Controle Analógico – p. 8/14
Linearização ...
A =
[
∂f1
dx1
∂f1
dx2
∂f2
dx1
∂f2
dx2
]
=
[
0 1
−g
l
cos (θ0) −
b
m
]
Θ(s)
U (s)
= c (sI−A)−1 b
H (s)=
1
ml2
s2 + s bm +
g
m cos (θ0)
Controle Analógico – p. 9/14
Exemplo numérico
m = 0.1g, b = 0.1N/m/s, l = 0.5m,
g = 10m/s2, θ0 = 0
A =
[
0 1
−20 −1
]
,b =
[
0
40
]
Controle Analógico – p. 10/14
FTMA
H (s) =
40
s2 + s+ 20
s1 = −0.50 + j4.44, s1 = −0.50− j4.44
ζ = 0.1118, ωn = 4.4721rad/s
G (s) = Kp
s2 + s+ 20
s2 + s
Controle Analógico – p. 11/14
Controle do pêndulo simples
l
m
τ
 Motor
+
 G(s)
θ
θ
*
-
θ
Encoder
θ
H(s)
Controle Analógico – p. 12/14
FTMF
Y (s)
Y ∗ (s)
=
G (s)H (s)
1 +G (s)H (s)
Y (s)
Y ∗ (s)
=
Kp
s2+s+20
s2+s
40
s2+s+20
1 +Kp
s2+s+20
s2+s
40
s2+s+20
Y (s)
Y ∗ (s)
=
40Kp
s2 + s+ 40Kp
Controle Analógico – p. 13/14
Comportamento transitório
Y (s)
Y ∗ (s)
=
40Kp
s2 + s+ 40Kp
H∗ (s) =
ω2n
s2 + 2ζωns+ ω2n
ωn =
√
40Kp
ζ =
1
2
√
40Kp
Controle Analógico – p. 14/14
	Pêndulo simples
	Descrição
	Modelagem física
	Dinâmica de corpo rígido
	Equação diferencial não-linear
	Modelo de estado não-linear
	Linearização
	Linearização ...
	Exemplo numérico
	FTMA
	Controle do pêndulo simples
	FTMF
	Comportamento transitório