Aneis e Corpos - Matemática Discreta

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1 Ane´is e Corpos
Consideraremos nesta sec¸a˜o estruturas alge´bricas da forma (A,+, ·), onde A e´ um conjunto
e + e · sa˜o duas operac¸o˜es em A. Em geral, vamos somente notar por A (ou uma outra
letra maiu´scula qualquer) a nossa estrutura, ficando subtendido que as operac¸o˜es sera˜o sempre
representadas por + e ·, visto que estas operac¸o˜es cumprem o papel da soma e produto que
estamos acostumados a trabalhar. Comec¸amos com a seguinte definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.1. Sejam (A,+, ·) um conjunto munido de duas operac¸o˜es. Dizemos que A e´ um
anel, se:
(i) + e´ associativa;
(ii) + possui elemento neutro (O elemento neutro de + sera´ denotado por 0);
(iii) + possui elemento sime´trico (O sime´trico de um elemento a ∈ A em relac¸a˜o a operac¸a˜o
+ sera´ notado por −a);
(iv) + e´ comutativa;
(v) · e´ associativa;
(vi) · e´ distributiva em relac¸a˜o a` +.
Observac¸a˜o 1.2. Se, ale´m disso, ainda valer as condic¸o˜es abaixo, diremos, em cada caso, que:
(vii) A e´ um anel comutativo, se · e´ comutativa.
(viii) A e´ um anel com unidade, se a operac¸a˜o · possui elemento neutro distinto do elemento
0, o qual sera´ chamado de unidade do anel e notado por 1.
Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1.3. Considere Z com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o. Pelo que ja´
fizemos no curso, fica claro que Z e´ um anel comutativo com unidade.
1
Exemplo 1.4. Considere o conjunto M2×2(A) =
{[
a b
c d
]
: a, b, c, d ∈ A
}
, onde A e´ um
anel, com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o de matrizes. Podemos verificar facil-
mente que isto e´ um anel na˜o comutativo com unidade. E´ claro que podemos naturalmente
estender este exemplo para matrizes quadradas de ordem qualquer.
Exemplo 1.5. Considere Z/nZ = {0, 1, 2, ..., n− 1}, com as operac¸o˜es induzidas pela soma e
multiplicac¸a˜o de inteiros. Pelo que ja´ estudamos antes, fica claro que este e´ um anel comutativo
com unidade.
Exemplo 1.6. Considere 2Z = {2n : n ∈ Z}, com as operac¸o˜es usuais de soma e multiplicac¸a˜o
de inteiros. E´ fa´cil verificar que 2Z e´ um anel comutativo sem unidade.
Veja que no exemplo acima, temos um subconjunto de um anel que, restringindo a`s operac¸o˜es,
ele pro´prio pode ser visto como um anel. Isto sujere uma nova definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 1.7. Sejam A um anel e B ⊆ A tal que B 6= ∅. Dizemos que B e´ um subanel de A
se B, com as operac¸o˜es de A, tem a estrutura de um anel, isto e´, se as operac¸o˜es de A definem
uma func¸a˜o de B ×B em B, satisfazendo as propriedades que definem um anel.
Exemplo 1.8. Considere A o anel das matrizes 2× 2 com entradas em R e B o subconjunto
das matrizes cuja segunda linha e´ sempre nula, isto e´,
B =
{[
a b
0 0
]
: a, b ∈ R
}
Fica como um exerc´ıcio mostrar que B e´ um subanel (sem unidade) de A.
Apresentamos abaixo um resultado que nos e´ u´til quando procuramos exemplos de subane´is.
O leitor e´ convidado a verificar que as condic¸o˜es da proposic¸a˜o abaixo sa˜o satisfeitas nos exem-
plos que se seguem, onde se afirma que um dado conjunto e´ um subanel de algum outro anel e
nada e´ verificado.
Proposic¸a˜o 1.9. Sejam A um anel e B um subconjunto de A. Enta˜o, B e´ um subanel de A
se, e somente se, as seguintes condic¸o˜es sa˜o satisfeitas:
2
(i) 0 ∈ B;
(ii) Se a, b ∈ B, enta˜o a− b ∈ B;
(iii) Se a, b ∈ B, enta˜o ab ∈ B.
Prova: Suponhamos B um subanel de A. Enta˜o B 6= ∅. Assim, existe x ∈ B. Como B e´
um anel, segue que −x ∈ B, e da´ı segue que 0 = x+(−x) ∈ B, e vale (i). Agora, dados a, b ∈ B,
temos que −b ∈ B, pela argumentac¸a˜o acima e, como B e´ anel, temos a + (−b) = a − b ∈ B,
mostrando (ii). A condic¸a˜o (iii) e´ claramente verdadeira, pois B e´ um anel com as operac¸o˜es
de A, logo a multiplicac¸a˜o e´ fechada em B.
Reciprocamente, suponhamos que B e´ um subconjunto de A satisfazendo as treˆs condic¸o˜es
da proposic¸a˜o. Enta˜o, de i), temos que B 6= ∅. A condic¸a˜o (iii) garante que · e´ uma operac¸a˜o
em B. Para vermos que + tambe´m e´ uma operac¸a˜o em B, observamos que se a, b ∈ B, segue,
por (ii), que −b = 0− b ∈ B e consequentemente, a + b = a− (−b) ∈ B. Agora e´ so´ observar
que as propriedades que definem um anel sa˜o heredita´rias para operac¸o˜es fechadas, exceto o
sime´trico de +, mas se b ∈ B, enta˜o −b = 0 − b ∈ B. Portanto, se B satisfaz as condic¸o˜es da
proposic¸a˜o, enta˜o B e´ um subanel de A. 2
Quanto a existeˆncia de unidade em ane´is e subane´is, tudo pode acontecer, como mostram
os exemplos abaixo.
Observac¸a˜o 1.10. Seja A um anel e B um subanel de A. Enta˜o pode acontecer:
(i) A tem unidade e B na˜o tem: A = Z e B = 2Z.
(ii) A tem unidade 1A, B tem unidade 1B e 1A 6= 1B: A =M2×2(R) e B =
{[
a 0
0 0
]
: a ∈ R
}
.
(iii) A na˜o tem unidade e B tem unidade: A =
{[
a b
0 0
]
: a, b ∈ R
}
e B =
{[
a 0
0 0
]
: a ∈ R
}
.
(iv) A e B na˜o tem unidade: A = 2Z e B = 4Z.
Para as pro´ximas definic¸o˜es, sera˜o necessa´rias algumas propriedades operato´rias dos ane´is, as
aquais sera˜o deixadas como exerc´ıcio para o leitor. Chamamos a atenc¸a˜o que estas propriedades
independem dos elementos dos conjuntos e sim da estrutura de anel que eles possuem. Algumas
destas propriedades sa˜o muitas vezes perguntas que os alunos de ensino me´dio e fundamental
3
fazem a seus respectivos professores. As propriedades abaixo decorrem diretamente da estrutura
com que estamos trabalhando, no caso, um anel.
Exerc´ıcio 1.11. Considere A um anel. Mostre que, se a, b, c ∈ A, enta˜o valem as seguintes
propriedades:
a) 0.a = a.0 = 0 b) −(ab) = (−a)b = a(−b) c) (−a)(−b) = ab
Se A possui unidade, enta˜o valem tambe´m:
d) (−1)a = −a e) (−1)(−1) = 1 f) (−1)(−a) = a
Definic¸a˜o 1.12. Dado um anel A, dezemos que um elemento a ∈ A e´ um divisor de zero , se
existir b ∈ A, b 6= 0, tal que ab = 0 e ba = 0.
Da definic¸a˜o acima e do exerc´ıcio anterior, fica claro que 0 ∈ A e´ um divisor de zero em
todo anel A 6= {0}.
Tomando o anel Z/6Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, temos que 3 e´ um divisor de zero, pois 3.2 = 2.3 =
0. Tente encontrar todos os divisores de zero deste anel.
Considerando o anel das matrizes 2× 2 com entradas em R, temos que[
2 2
2 2
]
.
[
1 −1
−1 1
]
=
[
0 0
0 0
]
=
[
1 −1
−1 1
]
.
[
2 2
2 2
]
Logo,
[
2 2
2 2
]
e´ um divisor de zero neste anel.
Definic¸a˜o 1.13. Dado um anel comutativo com unidade A, dizemos que A e´ um domı´nio de
integridade (ou simplesmente um domı´nio), se A na˜o possui divisores de zero na˜o-nulos.
Exemplo 1.14. O anel Z e´ um exemplo de um domı´nio.
Exemplo 1.15. Consideremos o conjunto Z[i] = {a+bi : a, b ∈ Z e i2 = −1}, com as seguintes
operac¸o˜es:
(a+ bi)⊕ (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i e (a+ bi)¯ (c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i
Este anel e´ chamado o anel dos inteiros gaussianos.
4
Fica como exerc´ıcio verificar que as propriedades de anel comutativo com unidade sa˜o ver-
ificadas em Z[i], onde 0 + 0i e´ o elemento neutro da soma ⊕, 1 + 0i e´ o elemento neutro da
multiplicac¸ a˜o ¯ e (−a) + (−b)i e´ o sime´trico aditivo de a + bi. Vamos ver agora que este
anel e´ mais um exemplo de um domı´nio. De fato, pois se a + bi, c + di ∈ Z[i] sa˜o tais que
(a+ bi)¯ (c+ di) = 0 = 0 + 0i, com a+ bi 6= 0 + 0i, enta˜o teremos ac− bd = 0 e ad+ bc = 0,
com a 6= 0 ou b 6= 0. Isto nos da´ o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares homogeˆneo{
ac− bd = 0
bc+ ad = 0
que pode ser escrito matricialmente por[
a −b
b a
] [
c
d
]
=
[
0
0
]
Como o determinante da matriz dos coeficientes e´ dado por a2 + b2, que e´ um inteiro diferente
de zero, pois a 6= 0 ou b 6= 0, segue que o sistema acima admite apenas a soluc¸a˜o trivial c = 0
e d = 0. Portanto, Z[i] e´ um domı´nio, como quer´ıamos mostrar.
Seja A um domı´nio e B um subanel de A com unidade. Enta˜o a unidade de B coincide com
a unidadede A. De fato, pois se 1A e´ a unidade de A e 1B e´ a unidade de B, enta˜o temos
1B.1A = 1B = 1B.1B
isto e´,
1B.1A − 1B.1B = 0
de onde segue que
1B(1A − 1B) = 0
Como A e´ um domı´nio, segue finalmente que 1A = 1B.
O racioc´ınio utilizado no final da argumentac¸a˜o acima e´ justamente aquilo que chamamos
de Lei do cancelamento, isto e´, se a, b, c ∈ A, onde A e´ um dimı´nio, sa˜o tais que a 6= 0 e ab = ac,
enta˜o b = c.
Definic¸a˜o 1.16. Um anel comuttivo com unidade e´ dito um corpo, se todo elemento na˜o nulo
possui sime´trico (inverso) em relac¸a˜o a multiplicac¸a˜o do anel.
5
Pelo que ja´ vimos antes (neste e no semestre anterior), Q, R e C sa˜o exemplos de corpos.
A seguir vamos dar um “exemplo novo”, que mais adiante vai se revelar um velho conhecido.
Consideremos R2 = {(a, b) : a, b ∈ R}. Vamos definir neste conjunto duas operac¸o˜es, a
saber,
(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) e (a, b)¯ (c, d) = (ac− bd, ad+ bc)
Afirmamos que com estas operac¸o˜es, temos (R2,⊕,¯) um corpo. Deixaremos como exerc´ıcio
a verificac¸a˜o da associatividade e comutatividade de ⊕ e ¯. Dado (a, b) ∈ R2, vamos examinar
a existeˆncia de elemento neutro para ⊕. Seja (x, y) ∈ R2 tal que (a, b)⊕ (x, y) = (a, b). Assim,
devemos ter a + x = a e b + y = b em R, de modo que devemos ter x = 0 e y = 0. Assim,
(0, 0) e´ o elemento neutro de ⊕. De modo ana´logo, e´ fa´cil verificar que (−a,−b) e´ o sime´trico
de (a, b) com relac¸a˜o a operac¸a˜o ⊕.
Dados (a, b), (c, d), (e, f) ∈ R2, temos (a, b) ¯ [(c, d) ⊕ (e, f)] = (a, b) ¯ (c + e, d + f) =
(a(c + e) − b(d + f), a(d + f) + b(c + e)) = ((ac − bd) + (ae − bf), (ad + bc) + (af + be)) =
(ac− bd, ad+ bc)⊕ (ae− bf, af + be) = [(a, b)¯ (c, d)]⊕ [(a, b)¯ (e, f)], ou seja, ¯ se distribui a`
esquerda em relac¸a˜o a ⊕. A distributividade ao outro lado segue diretamente da comutatividade
das duas operac¸o˜es.
Para verificar que ¯ possui neutro, devemos verificar que a equac¸a˜o (a, b) ¯ (x, y) = (a, b)
tem soluc¸a˜o, para todo (a, b) ∈ R2. Isto e´ equivalente a existeˆncia de soluc¸o˜es para o sistema{
ax− by = a
bx+ ay = b
Claramente, se (a, b) = (0, 0), este sistema admite qualquer soluc¸a˜o. Suponhamos enta˜o que
(a, b) 6= (0, 0), isto e´, a 6= 0 ou b 6= 0. Neste caso, det
(
a −b
b a
)
= a2 + b2 6= 0, e o sistema
admite soluc¸a˜o u´nica. Como x = 1 e y = 0 claramente e´ uma soluc¸a˜o, enta˜o esta e´ a u´nica
soluc¸a˜o. Assim, (1, 0) e´ a unidade do anel R2.
Vejamos agora que R2 e´ um domı´nio. De fato, pois se (a, b) ¯ (c, d) = (0, 0), com (a, b) 6=
(0, 0), enta˜o, repetindo argumentac¸a˜o feita acima concluimos que (c, d) = (0, 0), pois obtemos
um sistema homogeˆneo e determinado.
6
Para completar, suponhamos (a, b) ∈ R2 \ (0, 0). Queremos encontrar (x, y) ∈ R2 tal que
(a, b)¯ (x, y) = (1, 0). Procedendo como antes, queremos resolver, em R, o sistema linear{
ax− by = 1
bx+ ay = 0
Como a 6= 0 ou b 6= 0, o sistema acima admite soluc¸a˜o u´nica e um ca´lculo fa´cil mostra que x =
a
a2 + b2
e y =
−b
a2 + b2
. Logo temos (a, b)¯
(
a
a2 + b2
,
−b
a2 + b2
)
= (1, 0). Portanto, (R2,⊕,¯) e´
um corpo.
2 Ideais e ane´is quocientes
Comec¸amos estudando a congrueˆncia mo´dulo n em Z. Como sabemos, esta relac¸a˜o de
equivaleˆncia e´ definida por
x, y ∈ Z, x ≡ y (mod n) def⇔ n | x− y
Enta˜o, se x ≡ y (mod n), segue que existe k ∈ Z tal que x− y = kn, isto e´, x− y ∈ nZ, onde
nZ e´ um subanel de Z. Sabemos que as operac¸o˜es usuais do anel Z sa˜o compat´ıveis com esta
relac¸a˜o de equivaleˆncia. Assim, podemos induzir no quociente Z/nZ uma estrutura de anel,
como ja´ vimos antes
Vamos na direc¸a˜o de generalizar esta construc¸a˜o. Primeiro, consideremos A um anel qual-
quer e B um subanel de A. Definimos em A a seguinte relac¸a˜o
a, b ∈ A, a ∼ b def⇔ a− b ∈ B
Como B e´ um subanel, temos que 0 ∈ B, ou seja, 0 = a−a ∈ B, e assim a relac¸a˜o ∼ e´ reflexiva.
Sejam a, b ∈ A tais que a ∼ b. Enta˜o temos a−b ∈ B e, consequentemente, b−a = −(a−b) ∈ B,
e ∼ e´ sime´trica. Para mostrar a transitividade de ∼, consideramos a, b, c ∈ A tais que a ∼ b e
b ∼ c. Enta˜o a− b ∈ B e b− c ∈ B. Como B e´ um subanel, temos (a− b)+ (b− c) = a− c ∈ B,
isto e´, a ∼ c. Portanto podemos considerar o conjunto quociente A/B. Assim, surge uma
questa˜o natural aqui, a saber,
7
Questa˜o 2.1. Dados A um anel e B um subanel de A, sera´ que o conjunto quociente A/B,
com as operac¸o˜es induzidas, e´ sempre um anel? Dito de outra maneira, sera´ que as operac¸o˜es
do anel A sa˜o compat´ıveis com a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada acima?
Vamos procurar responder a pergunta feita acima. Sejam A um anel, B um subanel de A
e ∼ a relac¸a˜o de equivaleˆncia dada por a, b ∈ A, a ∼ b ⇔ a − b ∈ B. Queremos enta˜o saber
se dados a, b, c ∈ A tais que a ∼ b, temos a.c ∼ b.c e c.a ∼ c.b. Equivalentemente, queremos
saber se dados a, b, c ∈ A, com a− b ∈ B, sempre teremos ac− bc ∈ B e ca− cb ∈ B, isto e´, se
(a− b)c ∈ B e c(a− b) ∈ B. Como a− b pode expressar qualquer elemento de B, na verdade,
queremos saber se sempre que b ∈ B e x ∈ A, temos bx ∈ B e xb ∈ B.
Observemos agora que se A = Q e B = Z, enta˜o B e´ um subanel de A que na˜o verifica
a propriedade exigida acima, pois, por exemplo, se tomamos b = 2 ∈ Z e x = 1
3
∈ Q, enta˜o
a.x =
2
3
6∈ Z. Portanto nem todo subanel possui a propriedade necessa´ria para construc¸a˜o de
ane´is quocientes. Esta situac¸a˜o justifica nossa pro´xima definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 2.2. Dado um anel A, dizemos que um subanel I de A e´ um ideal, se ∀a ∈ I, ∀x ∈ A,
temos ax ∈ I e xa ∈ I.
Para dizer que I e´ um ideal de A, escreveremos I C A. Das observac¸o˜es feitas anteriormente,
segue que os ideais de um anel sera˜o justamente aqueles subane´is para os quais podemos con-
struir ane´is quocientes. Assim, a condic¸a˜o extra de “absorver”a multiplicac¸a˜o e´ completamente
natural.
Antes de comec¸armos com exemplos, vamos apresentar um resultado que classifica os
subane´is que sa˜o ideais. A prova e´ imediata e sera´ deixada a cargo do leitor.
Proposic¸a˜o 2.3. Sejam A um anel e I um subconjunto de A. Enta˜o I e´ um ideal de A se, e
somente se, as seguintes condic¸o˜es sa˜o verificadas:
(i) 0 ∈ I;
(ii) a, b ∈ I ⇒ a− b ∈ I;
8
(iii) a ∈ A, x ∈ I ⇒ ax, xa ∈ I.
Passamos enta˜o a discutir alguns exemplos interessantes.
Exemplo 2.4. 1. Claramente, I = {0} e I = A sa˜o ideais do anel A. Estes ideais sa˜o ditos
ideais triviais de A.
2. Sabemos que I = nZ e´ um ideal de Z, para todo n ∈ Z. Vejamos que todo ideal de Z e´
desta forma. Se I = 0, enta˜o I = 0Z. Suponhamos I 6= 0. Enta˜o existe a ∈ I tal que
a 6= 0. Consideramos S = {x ∈ I : x > 0}. Como a ∈ S ou −a ∈ S, temos S 6= ∅.
Logo S possui um primeiro elemento, digamos a0 (Todo subconjunto na˜o vazio de N possui
primeiro elemento). Enta˜o, claramente a0Z ⊆ I, pois I e´ um ideal de Z. Reciprocamente,
seja b ∈ I. Segue do algor´ıtmo da divisa˜o que existem q, r ∈ Z tais que b = a0q + r, com
0 ≤ r < a0. Assim, r = b − a0q ∈ I, de onde segue que r = 0, pela minimalidade de a0.
Logo, b = a0q ∈ a0Z, e segue que I = a0Z.
3. Seja K um corpo. Enta˜o os u´nicos ideais de K sa˜o os triviais. De fato, pois se I e´ um
ideal de K tal que I 6= {0}, enta˜o tomamos a ∈ I \ {0} e obtemos 1 = a−1a ∈ I, de
onde decorre que para todo b ∈ K, temos b = b.1 ∈ I, ou seja, K ⊆ I ⊆ K, isto e´,
I = K. A rec´ıproca deste resultado so´ tem chance de validade (e de fato vale!) para um
anel comutativo com unidade, como mostra o pro´ximo exemplo.
4. O anel Mn×n(R) na˜o possui ideais na˜o triviais. Para ver isto, consideremos as matrizes
Ers = (aij)n×n, onde aij = 1 se i = r e j = s, e aij = 0 nos demais casos. Estudemos
agora a ac¸a˜o destas matrizes na multiplicac¸a˜o a` esquerda e a` direita.
Consideremos A = (aij)n×n ∈Mn×n(B), onde B e´ um anel qualquer, e calculemos AErs
e EpqA. Temos enta˜o AErs =(
(
∑n
k=1 aikekj)ij
)
n×n
, onde temos:
j 6= s ⇒ ∑nk=1 aikekj = 0
j = s ⇒ ∑nk=1 aikeks = ∑k 6=r aikeks + airers = air
Logo,
9
s
↓
AErs =

0 0 · · · 0 a1r 0 · · · 0
0 0 · · · 0 a2r 0 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 · · · 0 anr 0 · · · 0

n×n
Ou seja, a ac¸a˜o da multiplicac¸a˜o de Ers a` direita de A e´ transportar a coluna r de A para
a posic¸a˜o da coluna s, anulando as demais colunas de A.
Calculemos agora o produto EpqA. Assim, temos EpqA =
( n∑
k=1
eikakj
)
ij

n×n
, onde
i 6= p⇒
n∑
k=1
eikakj = 0
e
i 6= p⇒
n∑
k=1
eikakj =
∑
k 6=q
epkakj + epqaqj = aqj
ou seja, temos
EpqA =

0 0 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · 0 0
aq1 aq2 · · · aqn−1 aqn
0 0 · · · 0 0
...
...
...
...
...
0 0 · · · 0 0

←− p
Assim, a ac¸a˜o da multiplicac¸a˜o de Epq a` esquerda de A e´ transportar a linha q de A para
a posic¸a˜o da linha p, anulando as demais linhas de A.
Portanto, dado A ∈ Mn×n(B), obtemos que EpqAErs sera´ a matriz cujas entradas sa˜o
todas nulas, exceto a da posic¸a˜o ps, cuja entrada sera´ dada pelo elemento aqr de A.
Voltemos agora ao exemplo Mn×n(R).
10
Considere agora I um ideal de Mn×n(R), com I 6= {0}. Enta˜o existe uma matriz A ∈ I
tal que A 6= 0, isto e´, existe uma entrada desta matriz A que na˜o e´ nula, digamos, aij 6= 0.
Definimos, para cada ı´ndice k ∈ {1, 2, 3, ..., n} a matriz Bk = EkiAEjk. Da´ı teremos
B1 =

aij
 , B2 =
 aij
 , · · · , Bn =

aij

ou seja, Bk e´ uma matriz diagonal cuja u´nico elemento na˜o nulo e´ o elemento aij na
k-e´sima entrada da diagonal principal. Como A ∈ I e Bk = EkiAEjk, segue que Bk ∈ I,
para todo k ∈ {1, 2, ..., n}, e B =
n∑
k+1
Bk ∈ I, pois I e´ um ideal de Mn×n(R). Mas B e´
exatamente a matriz
B =

aij
aij
. . .
aij

onde aij 6= 0. Temos enta˜o
a−1ij
a−1ij
. . .
a−1ij


aij
aij
. . .
aij
 =

1
1
. . .
1
 ∈ I
E como a matriz identidade n × n idn esta´ em I, segue que para toda matriz M ∈
Mn×n(R), temos M =M.idn ∈ I, de onde segue que I =Mn×n(R). Portanto, os u´nicos
ideais do anel Mn×n(R) sa˜o os triviais.
Um anel com a propriedade de que os u´nicos ideais sa˜o os triviais, e´ chamado de anel
simples. Assim, os corpos e os ane´is de matrizes sobre corpos sa˜o exemplos de ane´is simples.
Estes ane´is desempenham papel fundamental no desenvolvimento da Teoria de Ane´is.
3 Um pouco de aritme´tica de ideais
Estudaremos agora um pouco da aritme´tica dos ideais. Comec¸amos por observar que se F e´
uma famı´lia de ideais de um anel A, enta˜o K = ∩I∈FI e´ um ideal de A. De fato, pois se
11
x, y ∈ K e a ∈ A, temos que x, y ∈ I, pera todo I ∈ F , e da´ı segue que x + y ∈ K. Tambe´m,
ax, xa ∈ I, para todo I ∈ F e consequ¨entemente, ax ∈ K.
O mesmo fenoˆmeno acima ja´ na˜o acontece mais com a unia˜o de ideais, pois se I e J sa˜o dois
ideais de um anel A, pode acontecer que I ∪ J na˜o seja mais um ideal de A. Observe que, por
exemplo, se a ∈ I e b ∈ J , na˜o teremos necessariamente a + b ∈ I ∪ J . Este e´ o caso quando
tomamos I = 2Z e J = 3Z, pois 5 = 2 + 3 6∈ I ∪ J , como e´ fa´cil ver.
Claramente, a unia˜o de ideais absorve produtos, sendo portanto a soma nosso problema.
Vamos enta˜o tentar resolver este problema fazendo uma nova definic¸a˜o. Dados os ideais I e J
de um anel com unidade A, chamamos de ideal soma de I e J ao ideal
I + J = {a+ b : a ∈ I, b ∈ J}
Assim, e´ fa´cil ver que este novo conjunto e´ de fato um ideal de A.
Agora queremos enxergar melhor este ideal que acabamos de definir. Por exemplo, quem
seria o ideal soma 2Z+3Z em Z? Vamos calcular este ideal. Temos que 2Z+3Z = {x+y : x ∈
2Z, y ∈ 3Z}. Assim, todo elemento de Z que se escreve como uma soma de um mu´ltiplo de 2 e
um mu´ltiplo de 3 esta´ neste ideal. Como sabemos escrever 1 = −2+ 3, segue que 1 ∈ 2Z+3Z,
ou seja, 2Z+ 3Z = Z.
Observe que se I e J sa˜o ideais de um anel com unidade A, enta˜o L = ∩{K C A : K ⊇ I∪J}
e´ um ideal de A por ser uma intersecc¸a˜o de ideais. Obviamente, por construc¸a˜o, este e´ o menor
ideal de A que conte´m a unia˜o I ∪ J . Afirmamos que L = I + J . De fato, pois se x ∈ L, segue
que x ∈ I + J , pois I, J ⊆ I + J , visto que I + J e´ um dos elementos da famı´lia dos ideais
que conte´m I ∪ J . Assim, temos L ⊆ I + J . Para ver a contenc¸a˜o contra´ria, observamos que
se y ∈ I + J , enta˜o existem a ∈ I e b ∈ J tais que y = a + b ∈ L, pois L e´ um ideal de A e
a, b ∈ I ∪ J ⊆ L. Portanto, I + J ⊆ L e vale enta˜o L = I + J , como quer´ıamos mostrar.
Considere agora A um anel e seja S ⊆ A. Vamos definir o ideal gerado por S, que sera´ notado
por < S >, como o menor ideal de A que conte´m S. Assim, temos < S >= ∩{I C A : S ⊆ I}.
Pelo racioc´ınio feito acima, temos < S >= {∑ni=1 si : n ∈ N, si ∈ S, 1 ≤ i ≤ n}. No
caso particular em que S = {a} for um conjunto unita´rio, escreveremos simplesmente < a >
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em lugar de < {a} >. Observamos que se o anel A for comutativo, enta˜o neste caso temos
< a >= {ar : r ∈ A} = {ra : r ∈ A} = aA = Aa. Ainda, se o anel A tem unidade, enta˜o
claramente temos a ∈ aA, o que na˜o ocorre em geral se A na˜o possui unidade. Veja por exemplo
o caso onde A = 2Z e a = 4. Assim, < 4 >= {4k : k ∈ 2Z} = 8Z, e 4 6∈ 8Z.
A partir deste momento estaremos interessados em estudar propriedades em ane´is comu-
tativos com unidade. Algumas delas permanecera˜o va´lidas em ane´is quaisquer, mas outras
devera˜o ter alguma modificac¸a˜o. Na˜o queremos entrar nestes detalhes daqui para a frente.
Fixaremos enta˜o a seguinte notac¸a˜o:
Observac¸a˜o 3.1. Daqui para a frente usaremos a palavra anel para significar um anel comu-
tativo com unidade, a menos que se diga algo em contra´rio.
Seja A um anel (comutativo com unidade) e seja I um ideal de A. Se existirem elementos
a1, a2, ..., an ∈ I tais que I = a1A+a2A+ · · ·+anA, enta˜o dizemos que I e´ um ideal finitamente
gerado, e notaremos por I =< a1, a2, ..., an >. Se existir um elemento a ∈ I tal que I = aA,
enta˜o dizemos que I e´ um ideal principal. Assim, vimos anteriormente que o anel Z e´ um anel
em que todos os ideais sa˜o principais. Um tal anel sera´ chamado um anel de ideais principais.
Se este anel for um domı´nio de integridade, como no caso do anel Z, diremos que ele e´ um
domı´nio de ideais principais.
Veremos a seguir que a ide´ia de ideal principal permite introduzir o conceito de divisibilidade,
tal como conhecemos nos inteiros, em outros ane´is. Recordemos que dados a, b ∈ Z, dizemos
que a divide b, se existir c ∈ Z tal que b = ac. Assim, a divide b se b ∈< a >= aZ.
Seja D um domı´nio de ideais principais e consideremos agora a, b ∈ D. Vamos dizer que a
divide b, e representaremos por a | b, se b ∈< a >. Observemos que neste caso existe x ∈ D
tal que b = ax. Ainda, se a, b ∈ D, onde D e´ um domı´nio de ideais principais, enta˜o diremos
que c ∈ D e´ um divisor comum de a e b, se a, b ∈< c >. Neste caso, temos < a >⊆< c > e
< b >⊆< c >, de onde segue que < a > + < b >⊆< c >. Por exemplo, sabemos que 2 e´ um
divisor comum de 8 e 12 em Z, e assim, 8Z+ 12Z ⊆ 2Z.
Neste momento vamos lembrar a definic¸a˜o de ma´ximo divisor comum entre inteiros.
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Definic¸a˜o 3.2. Dados a, b ∈ Z, dizemos que d ∈ Z e´ o ma´ximo divisor comum entre a e b, que
notamos por d = mdc(a, b), se:
a) d e´ positivo;
b) d | a e d | b;
c) Se d′ | a e d′ | b, enta˜o d′ ≤ d.
Como na˜o temos, em geral, uma ordem em um anel qualquer, precisamos escrever esta
definic¸a˜o de ma´ximo divisor comum em uma linguagem de ideais de Z. O pro´ximo resultado
faz isto.
Proposic¸a˜o 3.3. Sejam a, b, d ∈ Z tais que d = mdc(a, b). Enta˜o, < d >=< a, b > e, em
particular, existem inteiros r e s tais qued = ar + bs.
Prova. Consideremos I =< a, b >= aZ + bZ = {ax + by : x, y ∈ Z}. Logo, I e´ um
ideal de Z, e portanto um ideal principal. Vamos chamar c o gerador de I, isto e´, suponha
I =< c >= cZ. Da prova de que todo ideal de Z e´ principal, segue que c e´ a menor combinac¸a˜o
linear de a e b com coeficientes inteiros, digamos c = ax0+by0. Como a = a1+b0 e b = a0+b1,
segue que a, b ∈ I =< c >, isto e´, c e´ um divisor comum de a e b e como d = mdc(a, b), segue
que d ≥ c. Agora, do fato que d | a e d | b, segue que d divide toda combinac¸a˜o linear de a
e b com ceficientes inteiros, de onde temos que d | c e assim, d ≤ c.Portanto, temos d = c e,
consequentemente, I =< d >= aZ + bZ. Logo, existem r, s ∈ Z tais que d = ar + bs. Isto
finaliza nossa prova. 2
Segue enta˜o das definic¸o˜es acima que num domı´nio de ideais principais, sempre existe o
ma´ximo divisor comum entre dois quaisquer de seus elementos. De fato, pois se a, b ∈ D, com
D domı´nio de ideais principais, basta considerar d ∈ D tal que < d >=< a, b >= aD + bD.
Como a, b ∈< d >, segue que d | a e d | b. Ale´m disso, se d′ ∈ D tal que d′ | a e d′ | b, enta˜o
existem elementos x, y ∈ D tais que a = d′x e b = d′y. Agora, como < d >=< a, b >, segue
que existem k1, k2 ∈ D tais que d = ak1 + bk2. Assim, temos
d = ak1 + bk2 = (d
′xk1 + d′yk2 = d′(xk1 + yk2)
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isto e´, d′ divide d. Portanto, d e´ o ma´ximo divisor comum entre a e b.
Podemos enta˜o reescrever a definic¸a˜o de ma´ximo divisor comum entre dois elementos de um
domı´nio como segue.
Definic¸a˜o 3.4. Sejam a, b, d ∈ D, onde D e´ um domı´nio de integridade. Dizemos que d e´ o
ma´ximo divisor comum entre a e b, se:
i) d | a e d | b;
ii) Se d′ ∈ D e´ tal que d′ | a e d′ | b, enta˜o d′ | d.
Consideremos agora uma situac¸a˜o especial no anel Z. Seja p ∈ Z um nu´mero primo e
consideremos o ideal pZ. Vamos mostrar que este ideal na˜o pode ser imerso em nenhum outro
ideal pro´prio de Z. De fato, pois se pZ ⊆ nZ 6= Z, com n 6∈ pZ, enta˜o consideramos o ideal
pZ+nZ = dZ, onde d = mdc(p, n), que deve ser 1, pois p na˜o divide n, ja´ que estamos supondo
n 6∈ pZ. Mas enta˜o pZ+ nZ = Z. Agora como pZ ⊆ nZ, segue que nZ = pZ+ nZ = Z, o que
produz uma contradic¸a˜o.
Motivados pelo exposto acima, vamos definir o que chamamos de ideal maximal em um
anel.
Definic¸a˜o 3.5. Dado um ideal M em um anel A, com M 6= A, dizemos que M e´ um ideal
maximal de A, se para todo ideal J de A, com M⊆ J , sempre temos M = J ou J = A.
Em domı´nios de ideais principais, os ideais maximais na˜o nulos sa˜o justamente aqueles
ideais gerados por elementos que na˜o podem ser fatorados em produtos na˜o triviais de outros
elementos. De fato, pois se M = pD, onde D e´ um domı´nio de ideias principais, p 6= 0 e
p = ab, enta˜o devemos terM = pD ⊆ aD, de onde segue que aD = pD ou aD = D. Se ocorrer
aD = D, enta˜o a e´ um elemento invert´ıvel em D. Se aD = pD, enta˜o teremos a = pd, para
algum d ∈ D. Assim, p = ab = pdb, e segue que p(1− db) = 0. Como D e´ um domı´nio e p 6= 0,
temos que db = 1, ou seja, b e´ invert´ıvel em D. Assim, p = ab e´ uma fatorac¸a˜o trivial de p em
D.
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Observe que esta propriedade de irredutibilidade e´ justamente a definic¸a˜o de nu´mero primo
em Z. Vamos generaliza´-la.
Definic¸a˜o 3.6. Diremos que um elemento p na˜o invert´ıvel em um domı´nio de ideais principais
D e´ irredut´ıvel em D, se cada vez que temos p = ab, com a, b ∈ D, enta˜o a e´ invert´ıvel em D
ou b e´ invert´ıvel em D.
Com esta definic¸a˜o, temos que os inteiros irredut´ıveis sa˜o exatamente os nu´meros primos.
Estes conceitos de elemento primo e elemento irredut´ıvel na˜o coincidem sempre em ane´is quais-
quer. Isto e´ uma propriedade particular do anel dos inteiros.
Em um anel qualquer, podemos caracterizar ideais maximais com a seguinte propriedade.
Proposic¸a˜o 3.7. Sejam A um anel comutativo com unidade e J um ideal de A. Enta˜o J e´ um
ideal maximal de A se, e somente se, A/J e´ um corpo.
Prova: Suponhamos J um ideal maximal de A. Seja a ∈ A/J um elemento na˜o-nulo de
A/J . Assim, temos a 6∈ J e segue que J + aA = A, isto e´, existem elementos j ∈ J e x ∈ A
tais que j + ax = 1. Passando ao quociente, temos 1 = j + ax = j + ax = 0 + a.x = a.x, isto
e´, a e´ um elemento invert´ıvel em A/J . Como a 6= 0 foi tomado arbitra´rio, segue que A/J e´ um
corpo.
Reciprocamente, suponhamos que A/J e´ um corpo. Queremos mostrar que J e´ um ideal
maximal. Suponhamos enta˜o que exista um ideal I em A tal que J ⊆ I. Se existir um elemento
b ∈ I \ J , enta˜o consideramos o ideal J + bA. Como b 6∈ J , segue que b 6= 0 em A/J . Assim,
existe c 6= 0 em A/J tal que b.c = 1. Logo, devemos ter 1 − bc ∈ J , ou seja, 1 = bc + j, para
um certo j ∈ J . Mas enta˜o J + bA = A, e segue que J e´ um ideal maximal de A. 2
Decorre imediatamente do resultado acima que os ane´is Z/pZ, onde p e´ um primo, sa˜o
exemplos de corpos contendo exatamente p elementos. O resultado mostra tambe´m como
podemos construir novos exemplo de corpos. Iremos fazer isto mais adiante para dar exemplos
de subcorpos dos nu´meros reais contendo os racionais, via ane´is de polinoˆmios.
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