Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Conjuntos - Conjuntos Númericos

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JACKY26/02/08
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GILBERTO 
Fa
le
 c
on
os
co
 w
w
w
.p
or
ta
lim
pa
ct
o.
co
m
.b
r 
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ST
IB
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 2
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9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
04
1 
 
 Conjunto dos Complexos 
 
Em 1545, um médico e matemático italiano, chamado Gerônimo 
Cardano, publicou a resolução de equações cúbicas do tipo x3 + 
px + q = 0, sendo que p, q ∈ R, onde relata que tal solução lhe foi 
apresentada por Nicolo Tartáglia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo estas equações cúbicas através do método 
de Tartáglia, Cardano deparou-se com raízes quadradas de 
números negativos, que até então não eram aceitas pelos 
matemáticos da época. 
Com a não existência dessas raízes, caia em contradição com as 
suas conclusões a respeito da existência de soluções para tais 
equações, ele começou a considerar a existência desses novos 
números. 
Desta forma, a motivação básica para o estudo dos 
números complexos foi resolver equações que não possuíam 
solução nos números reais. Com isso definimos que é 
chamada de unidade imaginária. 
Dizemos que um complexo Z está escrito em sua forma 
algébrica, se 
 
 Z = a + b.i 
 
onde; a, b ∈ R. 
 
 
As constantes “a” e “b” são conhecidas como: 
 
Î “a” é chamada de parte real 
 
Î “b” é dita de parte imaginária. 
 
 
 
Chamamos de conjunto dos complexos e indicamos por C, 
o conjunto que contém todos os números da forma 
Z = a + b.i 
 
 
 
 Z = 3 + 2i Z = 7 – 5i Z = 6i Z = – 2 
 
 
 
 
 
Vamos ver o que eles estavam dizendo 
 
1) Resolva em C a equação x2 + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Resolva em C z2 – 2z + 5 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Representação Cartesiana 
 
 
Dado um complexo Z = a + bi, temos uma correspondência 
biunívoca com o ponto (a, b) do plano cartesiano, ou seja, 
 
Z = a + bi ⇔ Z = (a, b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tal plano é chamado de plano de Argand-Gauss ou plano 
complexo. O eixo y é dito eixo imaginário e o x é chamado de 
eixo real. 
 
Se a = 0 e b ≠ 0, então o complexo Z = bi é chamado de 
imaginário puro. Caso b = 0, o complexo Z = a é dito um 
número real. Como acompanhamos nos exemplos anteriores. 
 
Desta forma, concluímos que todo número real é um numero 
complexo. Porém, o contrario não é verdade. 
 
Portanto temos a relação de inclusão: 
 
 R ⊂ C 
 
O diagrama seguinte nos dá as relações de inclusões existentes 
nos conjuntos numéricos: 
 
 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
Fa
le
 c
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co
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o.
co
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09
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes 
complexos: 
 
a) Z = 3 + 2i 
 
b) Z = 7 – 5i 
 
c) Z = 6i 
 
d) Z = – 2 
 
 
 
 
4) Calcule X, tal que o complexo Z = x2 – 25 + (x – 3)i seja: 
 
a) Um número real 
 
b) Um imaginário puro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Módulo 
 
O módulo de um complexo Z = a + bi é a distancia do ponto Z = 
(a, b) à origem. Logo o módulo é dado por 
 
 
 
 
 
Vejamos por exemplo como ficaria o módulo do complexo Z = 3 – 
4i. 
 
 
 
 
 
 
 
 Potências de i 
 
 
 
 
Logo para calcular qualquer potência de i, devemos fazer como 
para a potência i25. Dividimos o expoente da potência, no caso, 
25 por 4. Então o resultado será “ï” elevado ao resto da divisão. 
 
 
 
 Conjugado 
 
O conjugado do complexo Z = a + bi, é o complexo: 
 
 
 
 
 Exercícios 
 
 
01. Faça a soma, subtração, multiplicação e divisão entre os 
complexos Z1 = 3 + 4i e Z2 = 1 + 2i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. Qual o módulo de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. Calcule: 
 
a) i120 
b) i81 
c) i202 
d) i57643 
04. Calcule o módulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05. Encontre o conjugado dos seguintes complexos: 
 
a) Z = 2 – 5i 
 
b) W = – 3 + 2i 
 
c) V = 4i 
 
d) U = – 6