Lista 1 - Álgebra Linear

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A 
 
1
a
 LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X, 
nos itens abaixo: 
a) AB
t
 X = C b) AB + CX = I c) (CB)
-1
 AX = I d) (AB)
t
 XC = I 
2) Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com 






1 0
1 1
. 
3) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A
2
 = A 
a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes. 
b) Mostre que 










 3- 2- 1 
4 3 1-
4- 2- 2 é idempotente. 
4) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes: 
A = 










1 0 0 0
0 1 2 2
0 0 4 1 ; B = 










0 1 0
0 2 2-
0 1- 1 ; C = 








2- 2 1- 2
1- 2 3- 1
; D = 










3 3 2
4- 1 2
3 1 0 ; F = 










2 0
0 0
0 3 
5) Descreva todas as possíveis matrizes 2 

2 que estão na forma LRFE. 
6) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes: 
 A = 










0 0 0
1 0 0
0 4 1 ; B = 








1 0 0 0
0 0 1 0 
; C = 








2 0
4- 1 
; D = 














2 1
0 0
1 0
0 1
; E = 














1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
. 
7) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo. 
 OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A. 
a) B2

3 , p(B) = 2 ; b) C3

2 , p(C) = 3 ; c) D2

4 , p(D) = 3; 
 d) F2

3 , N(F) = 2; e) G4

3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2. 
8) Resolva os seguintes sistemas: 
 a)








95z3x
22z2y3x
62z2yx
 
 b) 








1zyx
64zy3x
42zyx c) 





2zyx
4zyx
 d) 








34z-6y3x
22z-4y2x
03z-2y x . 
9) Determine a solução do sistema 





 05wz i 2 3y 
0w y1) i (2x 
, considerando o corpo dos 
números complexos. 
10) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de 
ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A 
cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e 
1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada 
alimento por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem 
coexistir no tubo de ensaio de modo a consumir todo o alimento? 
 Bactéria I Bactéria II Bactéria III 
Alimento A 2 2 4 
Alimento B 1 2 0 
Alimento C 1 3 1 
 
11) Discuta em função de k os seguintes sistemas: 
 a) 








ky2x
04y5x
23y4x b)





2zykx
0kzyx
 c)








0zkyx
3kzy2x
2kz2y2x d)








54zkyx
k2zyx
2kzx . 
12) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado 
 











1ba2yx
2b5a3y5x
byx
a7y3x
. 
13) Considere as seguintes matrizes inversíveis 




















 












111
210
121
 C 
100
010
011
 B 
210
111
111
 A
. 
 a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C. 
 b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a. 
14) Dada a matriz B em cada um dos seguintes itens, determine uma matriz N, linha 
reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B e uma matriz inversível M, de 
ordem 3, tal que N = MB. 
a) 












0121
3112
1111
B
; b) 













i5
2
i3
i1
0i22
B
. 
15) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a inversa, 
usando escalonamento: 
 a) 








22
21
 b) 










431
210
221 c) 















3020
1111
1001
1100
. 
16) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis 
 a) 










a21
212
111 b) 













2a11
65a1
673a . 
17) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas. 
 a) 
2222
1 RR x R : , RV 
 e . : 
22
RR x R 
 
 





 

2
yy
 , 
2
xx
)y,x()y,x(
2121
2211
 a.(x,y )= (ax,ay) 
 b) 
)R(M)R(M x )R(M : , )R(MV 22222 
 e . : R x 
)R(M)R(M 22 
 
 




























2121
2121
22
22
11
11
ww zz
yy xx
w z
y x
w z
y x
 a . 
















aw z 
y ax
w z
y x
 
18) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V. 
 I. 
3
RV 
 
 a)
 0y ; R)z,y,x(W 3 
 b)
 1zyx ; R)z,y,x(W 2223 
 
 c)
 0z ; R)z,y,x(W 3 
 d)
W Q
3
 ,Q o conjunto dos racionais. 
 e)
 1y.x ; R)z,y,x(W 3 
 f)
 23 xy ; R)z,y,x(W 
 
 II. V = Mn(R), n  2. 
 a) W ={A

V ; A é simétrica} b) W ={A

V ; A é inversível} 
 c) W ={A

V ; A é não inversível} d) W ={A

V ; A 2 = A} 
 III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : R

R. 
 a) W = {f

V; f(3) = 0} b) W = {f

V; f(7) = f(1)} 
 IV. 
C. corpo o sobre 2,n (C), MV n 
 
 W = {A

V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, t
AA 
}. 
 V. 
R. corpo o sobre 2,n (C), MV n 
 
 W = {A

V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, t
AA 
}. 
 VI. V = C
2
 sobre R. 
 W = {(a + bi, c + di) 

 C
2
; a – 2c = 0 e b + d = 0}. 
19) Sabendo que o conjunto das soluções do sistema de equações lineares 
 homogêneas é subespaço vetorial de 
)R(M 1 xn
, verifique se Wi é 
 subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir: 
 a)
 0zyx ; R)z,y,x(W, RV 3131 
 
 b)
 0zy e 01yx ; R)z,y,x(W, RV 3232 
 
 c)
















 02wz e 0yx ; V
w z
y x
W, )R(MV 3323
 
 d)
















 0wz e 0yx ;V
 wz
y x
W, )R(MV 4424
 
 e)
 0zyx ; V wztytxtW, )R(PV 523535 
 
 f)
 0zx ; V zytxtW, )R(PV 62626 
 
 
 
20) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 a)
 0y2x e 0zx ; R)z,y,x(W 31 
 
 b)
 0z3y2x ; R)z,y,x(W 32 
 
 c)
















 0d e 0ca ; )R(M
d c
b a
W 23
 
 d)
 0x e zy ;)R(P wztytxtW 3234 
 
 e) W1  W2 
21) Considere os subespaços de R 3 : 
 
 yx ; R)z,y,x(V 31 
 ; 
 zyx ; R)z,y,x(V 32 
 e 
 I. Determine: a)
21 VV 
 b)
31 VV 
 
 II. Verifique que: a)
21 VV 
 é subespaço de 3
R
 b)
31 VV 
 não é subespaço de 3
R
 
22) Em cada item a seguir, faça o que se pede: 
 I. Determine um conjunto de geradores de U+W. 
 II. Verifique se: U+W é soma direta. 
 ( i ) 4
RV 
 ,
 0zwyx ; R)w,z,y,x(U 4 
 e 
 w0z ; R)w,z,y,x(W 4 
 
 ( ii )
)R(PV 2
, 
   1t, 1tW e 0yx ; )R(P zytxtU 222 
 
 ( iii )
)R(MV 2
, 











































0 0
1 0
= We 
0 1
1 0 
,
0 1
0 1 
U
 
 ( iv ) 3
RV 
, 
   )1,1,1(W e zyx ; R)z,y,x(U 3 
 
 ( v )
)R(MV 2
, 



























































1 1
0 0
,
0 0
1 1
W e 
0 1
0 0 
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
U
 
23) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo: 
a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro. 
b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D. 
c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D. 
d) Se 
.D.L é }w,w,w{ então ]w,w[w 321321 
 
e) Se 
.D.L é }w,w,w{ então ]w,w,w[]w,w[ 32132121 
 
f) Se 
 então .I.L é }w,w,w{ 321
 
]w,w,w[]w,w[ 32121 
 
24) Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D. 
 a) V = 
=S,R 1
4
 
      0,-5,8,5,2,1,0,-3,1,-2,4,1
 
 b) V = 
(R)M 3x2
, S2 =











4 2- 3
1- 1 2
,








7- 0 2-
1 2- 2 
,











3- 2- 1
0 1- 4
 
 c) V = 
32 S(R),P
= {t3-4t2+2t+3, t3+2t2+4t-1, 2t3-t2-3t+5}. 
 
25) Considere os vetores de 
(R)M 2
 dados a seguir: 
 
1v
=








0 0
2 1
,
2v
 = 








0 1-
 x2 
,
3v
 = 








2 y 
2- 1-
,
4v
 = 








z2y 
4 2
 
 Determine se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro. 
 a)
 41 v,v
 é L.I. b)
 21 v,v
 é L.I c)
 321 v,v,v
 é L.I. 
26) Verifique se os conjuntos dados a seguir são bases para os respectivos espaços. 
 Caso não sejam bases, justifique o porquê. 
 a)
    2,2-,1,-1=S,R=V 1
2
1
 b)
    0,0,1,1,1,0=S,R=V 2
3
2
 
 c) 
 2,5+t1,-t=S(R),P=V 2323
 d)
43x24 S(R),M=V
 = {








1 0 0
1 0 1
,








0 0 0
1 1 0
,








2 1 0
0 0 0
} 
27) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
 a)
         ,23,,7,0,2,0,5,-2,1,0,0=W 1 
 b)
      1,-1,5,0,-1,2,1,0,3=W 2
 
 c)
W
3
 = 











 wz
x y 
 
 

 
(R)M 2
; x + z – y = 0



 d)
 2t,1-t,t+t=W 2234
 
 e)
  x2y ew =z;Rwz,y,x,=W 45 
 
28) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos 
 conjuntos de vetores 
      1-1,2t+t=S(R),P=b)V 0,1,-1,1,2,0=S,R=a)V 2221
3
1
 
29) Sejam 
21 W e W
 subespaços de 
5
R
. Determine, justificando a dim(
2W
), sabendo que 
       1,2,1,0,0,2,1,-1,0,0,01,-1,-2,0,=WW 21  , dim( W1+W2 ) = 4 e 
 
    0,1,1,0,0,1,2,1,0,0
 é uma base de 
W
1
. 
30) Sabendo que 
    3,6,9,12,1,2,3,4= VW,V=R 4 
,determine a dimensão de 
W
. 
31) Sejam U eV subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6 
 I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que U

W 


 
 II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para U

W. 
32) Dê, se possível, exemplos de: 
 a) Um conjunto L.I. de três vetores do 
3
R
 que não geram o 
3
R
. 
 b) Um conjunto L.D. de três vetores de 
(R)M 2
. 
 c) Um subespaço 
U
 de 
4
R
tal que, 
4=(U) m i d e RU
4

. 
 d) Dois subespaços 
5
R de W e U
 , tais que dim (U) = dim (W) = 3 e U

W. 
Caso seja impossível, justifique sua resposta. 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
 
1) a) X = ( B
t 
)
-1
 A
-1
C ; b) X = C
-1
( I – AB ) ; c) X = A
-1
CB ; d) X = [(AB
t
]
-1
 C
-1
 
2) 






a 0 
b a 
, a, b 

 R. 
3) A.B = A 
 A
-1
.A.B = A
-1
.A 
 B = I 
 B.A = B 
 B
-1
.B.A = B
-1
.B 
 A = I 
 Como A = B = I, então A e B são idempotentes. 
4) 










1 0 0 0
0 1/6- 1 0
0 2/3 0 1 ; 










0 0 0
0 1 0
0 0 1 ; 






0 2/5- 1 0
1- 4/5 0 1
 ; 










1 0 0
0 1 0
0 0 1 ; 










0 0
1 0
0 1 
 
5) 
Rk ;
00
k1
 e 
10
01
 ;
00
10
 ;
00
00
































; 
 
6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; 
 p ( D ) = 2 e N( D ) = 0, p( E ) = 3 e N( E ) = 0 
 
7) a) B = 








010
001
 ; b) impossível; c) impossível; d) F= 








000
001
; 
 
 e) G = 














000
100
010
001
; f) H = 










100
010
001 ; g) J = 










000
010
001 
8) a) S = { ( 2, 1, 3 ) }; b) 





 



2
3 z
 ye 
2
z35
 x;R) z y, x,(S
3
; 
 c)S = { ( x, y, z )  R
3
; x = y + 3 e z =  1 } ; d) Impossível. 
 
9) 
















 Cz ,z ,
3
5
iz
3
2
 ,
3
5i8
z
3
i1
 S
 
 
10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma 
das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido. 
11) 
a) Se k = 6, então o sistema é possível determinado e S = { (8, 10)}.Se k  6, o sistema 
é impossível. 
b) Se k  1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível. 
c) Se k  2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, 2 ) }. Se k = 2, o sistema é 
indeterminado. 
d) Se k 1 e k  4 então o sistema é possível e determinado. Se k = 4, o sistema é 
impossível . 
 Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) R
3
; x = z2 e 
 y = 3z3 ) }. 
 
12) a = 2 e b = 4. 
13) a) X = A
-1
B
-1
C; b) 















2/312/1
210
2/512/1
X
1
 
14) a)























 

3/13/11
3/13/21
011
2100
3010
4001
 M e N
; 
 b) 

























26
i5
2.6
2i3
0
2
1
M e 
100
0
2
i
11
N
. 
15) a) 










2/11
11
; b) Não é inversível; c) 


















1222
1227
3333
1272
9
1 
16) a) a  1; b ) 
4a
 e 
2a
. 
17) a) 
V
1
 não é espaço vetorial (0 + v ≠ v). 
 b) 
V
2
 não é espaço vetorial 
  v.bv.av.)ba( 
. 
18) I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) 

W. 
 b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) 

 W. 
 c)Sim. 
 d)Não. Contra-exemplo: 
2
.(1,2,3) 
 Q
3
. 
 e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) 

W. 
 f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) 

W. 
 
 II. a) Sim. 
 b) Não. Contra-exemplo: 
W
0 0
0 0
1 0 
0 1
1 0
0 1


























. 
 c) Não. Contra-exemplo: 
W
1 0
0 1
1 0
0 0
0 0
0 1
























 . 
 d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B 
 pertencerá a W, visto que: 
222
BA.BB.AA)BA( 
 . 
 
 III. a) Sim 
 b) Sim. 
 IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy) . A 

 W, para x e y 

R, com y 

0. 
 V) Sim. 
 VI) Sim. 
 
19) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam 
 formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços, 
 porque as equações que os caracterizam formam sistemas lineares não homogêneos. 
20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = 























 
0 0
1 0
,
0 1 
0 1
 d)
 1,ttW 2 
 
21) I. a)
 21 VV
[(1,1,1)] b)
 0z e yx;R)z,y,x(VV 321 
 
 II. a) Como 
12 VV 
 ,então 
121 VVV 
, logo 
21 VV 
 é subespaço de 3
R
 
 b) Observe que 
 z-y= xou yx;R)z,y,x(VV 331 
. Sejam v =(1,1,3) e u =(2,3,1) 
22) ( i )
   )0,0,1,1(WU ,zw;R)w,z,y,x(WU 4 
 ,assim 
WU 
não é soma direta e 
4
RWU 
. 
 ( ii )
 ttWU ,)R(PWU 22 
, daí 
WU 
 não é soma direta. 
 ( iii )


































0 0
0 0
WU e 0w;)R(M
w z
y x
WU 2
 , 
 daí 
WU 
 não é soma direta pois 
)R(MWU 2
. 
 ( iv )
 )0,0,0(WU , RWU 3 
 , daí U 

 W = 
3
R
. 
 ( v )

















0 0
1 1
WU , )R(MWU 2
 , daí 
WU 
 não é direta. 
 
23) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F. 
24) a) L.D. b) L.D. c) L.I. 
25) a) y

0 ou z

0. b) x

R. c) x, y

R 
26) a) 
S
1
 não é base de R 2 porque os vetores são L.D. 
 b) 
S
2
 não é base de R 3 porque não geram o R 3 . 
 c) 
S
3
 é base de 
(R)P2
. 
 d) 
S
4
 não é base de 
(R)M 3x2
 porque não geram o 
(R)M 3x2
. 
27) 
      
    
 
     .2)( dim,0,0,1,1,1,2,0,0= e)
3)( dim,2t,1-tt,+t= d)
3=).( dim,
1 0
0 0
,
0 1 
0 1-
,
0 0
1 1
= c)
2=).( dim,0,-1,2,1,0,3= b)
3)( m,7,0,2,0,5,-2,1,0,0= a)
55
4
23
4
33
22
11



























W
W
W
W
Wdi





 
28) 
      
0 e d n o ,
2
1,-1,2t+t=2α ) b 
02 e d n o ,zy,x,,0,1,-1,1,2,0=1α a) 









xzytxt
xyz
 29) Observe que: 
  )WW( dim)W( dim)W( dim=WW dim 212121 
. 
Como 
4 )W( dim daí 4,=)WW( dim e 2)WW( m i d , 2)W( dim 221211 
 
30) dim (
W
) = 3. 
31) I. Observe inicialmente que: dim(U+W)

 dim (V) = 6. 
 Então: dim (U

W) = dim (U) + dim (W) – dim(U+W)

 4 + 5 – 6. 
 Daí, dim (U

W) 

3, logo U 

 W 

 {0}. 
 II. É verdade que: U 

 U+W 

 V. Assim, 4

 dim (U+W) 

 6. 
 Então pelo fato de dim (U 

 W) = dim (U) + dim (W) – dim (U+W), temos que: 
 dim(U 

 W) pode ser: 4, 3 ou 2. 
32) a) Impossível, pois... 
 b) 
S
= 
































0 0
1 1
,
0 0
1 0
,
0 0
0 1
; 
 c) Impossível, pois... 
 d) Impossível, pois se 
5
R=WU 
, temos que: 
  ,R=WU e 0=WU 5
 
 então, dim 
 W+U
= dim (
U
) + dim (
W
)– dim (
WU 
); 5 = 3 + 3 – 0 (absurdo). 
 
 
	RESPOSTAS