Cálculo I - capitulo 03 Alguns Problemas do Cálculo - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 3
Alguns Problemas do Ca´lculo
3.1 Introduc¸a˜o
As origens de alguns dos principais conceitos matema´ticos – aqueles que lidam com nu´meros, grandezas e formas –
remontam a`s mais antigas civilizac¸o˜es.
As tentativas feitas por eg´ıpcios, babiloˆnios e gregos de resolver problemas pra´ticos (Como reduzir as taxas cobradas
aos agricultores do vale do Nilo tendo em vista a a´rea alagada e tomada pelo rio a cada ano? Como calcular o volume
de um silo de forma coˆnica? Como dobrar o volume do pedestal da esta´tua em homenagem ao deus Apolo?) levou-os
a` resoluc¸a˜o de algumas equac¸o˜es, ao ca´lculo de a´reas e volumes de figuras simples como retaˆngulos, trape´zios, cones,
cilindros e ao desenvolvimento de um sistema de numerac¸a˜o.
Embora eg´ıpcios e babiloˆnios tivessem conseguido resolver muitos problemas matema´ticos envolvendo inclusive
equac¸o˜es quadra´ticas e sistemas de equac¸o˜es e conhecessem muitos resultados de geometria, inclusive o famoso Teorema
de Pita´goras, tanto eg´ıpcios quanto babiloˆnios resolviam os problemas propostos por meio de prescric¸o˜es - cada
problema era resolvido em termos de casos particulares e sua soluc¸a˜o era uma espe´cie de receita pra´tica, que na˜o
especificava nem a sua fo´rmula geral (se houvesse) nem o modo como a soluc¸a˜o tinha sido obtida.
Os resultados obtidos por eg´ıpcios e babiloˆnios foram assimilados pelos gregos, que tiveram o me´rito de contribuir
para o estabelecimento da matema´tica da forma como a entendemos hoje: como um sistema lo´gico-dedutivo, com
valor intr´ınseco, independente de aplicac¸o˜es pra´ticas ou de fenoˆmenos naturais.
Na Gre´cia surgiu o primeiro livro de matema´tica – Os Elementos de Euclides –, que se constituiu na primeira
tentativa de sistematizac¸a˜o dos conhecimentos adquiridos ate´ enta˜o e na construc¸a˜o de uma teoria matema´tica baseada
em poucos postulados e numa cadeia de deduc¸o˜es (teoremas) logicamente deduzidos e, portanto, irrefuta´veis. A`
matema´tica emp´ırica de babiloˆnios e eg´ıpicios se contrapo˜e enta˜o, a matema´tica dedutiva da escola grega.
Eram esses os problemas e era esse o esta´gio de desenvolvimento da matema´tica desde a` Gre´cia ate´ os se´culos XVI
e comec¸o do se´culo XVII.
As grandes navegac¸o˜es do se´culo XVI, o surgimento da indu´stria e os interesses do grande come´rcio que surgia
na e´poca exigiam conhecimentos novos, principalmente os ligados aos movimentos dos corpos e particularmente ao
movimento planeta´rio.
O se´culo XVII e´ o se´culo mais importante e revoluciona´rio de toda a matema´tica. De especial importaˆncia neste
se´culo e´ o surgimento, com Newton e Leibniz, do Ca´lculo Diferencial e Integral, que desde enta˜o passou a ser a principal
ferramenta de observac¸a˜o e modelagem dos fenoˆmenos da natureza.
Apo´s o estabelecimento dos fundamentos do Ca´lculo, torna-se poss´ıvel a ana´lise de problemas f´ısicos de real
importaˆncia, com precisa˜o e rigor jamais experimentados. Sa˜o estabelecidos os fundamentos da Mecaˆnica dos So´lidos
e dos Fluidos e tem in´ıcio o estudo das Equac¸o˜es Diferenciais e Integrais.
A seguir sa˜o apresentados alguns problemas que confrontam a matema´tica anterior ao Ca´lculo, em que se procu-
ravam resolver certas equac¸o˜es e onde se estudavam figuras e so´lidos geome´tricos com lados retos e faces planas, com
a matema´tica que se comec¸ou a estudar a partir do se´culo XVII.
Nestes problemas, as figuras passam a ter lados e faces curvos; passa-se a estudar grandezas que variam in-
stantaˆneamente com o tempo; ja´ na˜o se quer mais calcular a raiz de uma equac¸a˜o, mas encontrar o valor ma´ximo de
uma func¸a˜o; passa-se da visa˜o esta´tica da geometria euclidiana para o estudo do movimento e da variac¸a˜o.
3.2 Ca´lculo de a´reas
3.2.1 Da antiguidade ate´ o se´culo XVII
Ja´ eram bem conhecidas dos eg´ıpcios (2000 A.C.) as fo´rmulas para se calcular a´reas de triaˆngulos, retaˆngulos, trape´zios
e ate´ mesmo a a´rea aproximada do c´ırculo, onde o valor de pi era substitu´ıdo por 3 16 , uma aproximac¸a˜o nota´vel para
a e´poca. Figuras mais complexas eram decompostas em triaˆngulos ou retaˆngulos e sua a´rea calculada como a soma
31
32 Cap. 3. Alguns Problemas do Ca´lculo
das a´reas das regio˜es resultantes desta decomposic¸a˜o. Por exemplo, conhecendo-se somente a fo´rmula para a´reas de
triaˆngulos, como e´ poss´ıvel calcular a a´rea da seguinte figura?
0
1
2
3
4
5
–1 1 2 3 4
Provavelmente, o me´todo empregado por voceˆ para resolver este problema e´ o mesmo utilizado por eg´ıpicios e
gregos, apesar do tempo que nos separa destas civilizac¸o˜es e do grau de desenvolvimento da matema´tica desde enta˜o.
3.2.2 Apo´s o se´culo XVII
Apesar de va´rias fo´rmulas para o ca´lculo de a´reas de figuras planas serem conhecidas desde a antiguidade, e ate´ mesmo
problemas do ca´lculo de a´reas de regio˜es limitadas por segmentos de retas e algumas curvas, como a para´bola, terem
sido estudados e resolvidos, para casos particulares, ate´ o se´culo XVII, quando foram estabelecidos os fundamentos
do Ca´lculo Diferencial e Integral como uma teoria matema´tica digna de cre´dito, na˜o se conhecia nenhuma fo´rmula
ou me´todo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcular a´reas de regio˜es limitadas por curvas
quaisquer. Um exemplo desse tipo de problema e´ formulado abaixo.
Problema
Como calcular a a´rea da regia˜o limitada pelas retas x = 1, x = 2, y = 0 e a para´bola y = x2, mostrada na figura
abaixo.
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
Soluc¸o˜es aproximadas deste problema podem ser obtidas
dividindo-se o intervalo [0,1] em subintervalos e calculando-se a
soma das a´reas de retaˆngulos inscritos ou circunscritos a` figura,
como e´ mostrado nos seguintes gra´ficos:
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
Observe o que acontece quando aumentamos o nu´mero de subdiviso˜es do intervalo.
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
0
2
4
6
8
0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3
x
• O que acontece quando o nu´mero de retaˆngulos aumenta? O que se pode concluir?
• Como sera´ poss´ıvel obter a medida exata da a´rea?
Para responder a essas perguntas, observe as figuras abaixo com os valores das a´reas correspondentes:
W.Bianchini, A.R.Santos 33
2.29182.27362.24032.1688
Nomes como Descartes, Fermat, Newton, Leibniz e outros esta˜o ligados a problemas desse tipo. A passagem da
construc¸a˜o de soluc¸o˜es aproximadas para o ca´lculo da soluc¸a˜o exata e´ a base que fundamenta toda a matema´tica
moderna.
3.3 Velocidade instantaˆnea
Um outro problema que muito contribuiu para o desenvolvimento do Ca´lculo foi o da determinac¸a˜o da velocidade
instantaˆnea. Suponha, por exemplo, que o gra´fico abaixo nos fornece para cada instante de tempo t, dado em
segundos, o espac¸o s percorrido por um carro de Fo´rmula 1, na reta dos boxes, a partir da largada.
E´ fa´cil calcular a velocidade me´dia desenvolvida pelo piloto deste automo´vel no per´ıodo de 1 ate´ 4 segundos apo´s
a largada: basta dividir o espac¸o percorrido neste intervalo de tempo pelo tempo total decorrido, no caso 3s. Isto
equivale, no gra´fico dado, a calcular a declividade da reta secante a` curva que une os pontos (1, d(1)) a (4, d(4)):
A
C
B
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
m.
1 2 3 4 5seg.
A velocidade me´dia neste exemplo sera´ dada enta˜o, pela medida do segmento CB dividida pela medida de BA. No
caso, vm = 5
Mas, como calcular a velocidade que o piloto alcanc¸ou exatamente 1s apo´s a largada?
Essa velocidade, que corresponde a` leitura do veloc´ımetro do carro em cada instante do percurso, e´ chamada de
velocidade instantaˆnea.
A ide´ia e´ encontrar um valor aproximadopara a velocidade instantaˆnea calculando-se a velocidade me´dia em um
intervalo pequeno, isto e´, no gra´fico acima, considerar o ponto B bem pro´ximo do ponto A.
Assim, no exemplo acima, a velocidade me´dia desenvolvida pelo piloto do automo´vel para
(a) t variando de 1s a 2s e´ de 3m/s;
(b) t variando de 1s a 1,5s e´ de 2,5m/s;
(c) t variando de 1s a 1,2s e´ de 2,2m/s;
(d) t variando de 1s a 1,01s e´ de 2,01m/s;
O que voceˆ pode concluir? E´ poss´ıvel calcular o valor exato da velocidade para t=1s?
O que acontece com a reta secante quando o intervalo de tempo se torna pequeno?
Para ajuda´-lo nas suas concluso˜es, observe a animac¸a˜o a seguir.
34 Cap. 3. Alguns Problemas do Ca´lculo
2.2727
3.50005.
2.5000
2.3333 2.3000
2.3750
3. 2.7500
2.4286
2.2500
2.6000
Como no caso do ca´lculo de a´reas, o problema fundamental esta´ em como obter o valor exato da velocidade a
partir da construc¸a˜o de soluc¸o˜es aproximadas que parecem “melhorar” a cada passo. Neste caso espec´ıfico, a soluc¸a˜o
esta´ intimamente ligada ao problema de determinar a declividade da reta tangente a uma curva, descrito na pro´xima
sec¸a˜o. Voceˆ e´ capaz de deduzir, a partir desse exemplo, qual o significado f´ısico da declividade da reta tangente a uma
curva ?
3.4 Retas tangentes
Na sec¸a˜o anterior, foi visto que a declividade da reta tangente a uma curva tem um importante significado f´ısico no
estudo do movimento de corpos. Este fato motivou a necessidade de definir precisamente o que se entende por reta
tangente a uma dada curva e de determinar a sua equac¸a˜o.
Desde que se saiba um pouco de geometria anal´ıtica, o que
ja´ era bem conhecido no se´culo XVII, pode-se determinar a
equac¸a˜o da reta tangente a uma circunfereˆncia num ponto
dado e defini-la como a reta que intercepta a circunfereˆncia
em um u´nico ponto, chamado ponto de tangeˆncia. Veja a
figura ao lado.
A circunfereˆncia na˜o e´ a u´nica curva para a qual a reta tangente pode ser definida dessa maneira. A mesma
definic¸a˜o pode ser usada, por exemplo, no caso de elipses. Mas como se pode definir reta tangente a uma curva
qualquer em um ponto dado? A definic¸a˜o empregada no caso da circunfereˆncia pode ser generalizada para uma curva
qualquer? Considere, por exemplo, a para´bola:
–80
–60
–40
–20
20
40
60
80
100
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
Embora a ide´ia geome´trica de reta tangente seja bastante o´bvia, como ilustrado no gra´fico anterior, a definic¸a˜o
empregada no caso de circunfereˆncias e´ bastante especial e na˜o se aplica ao caso geral. No exemplo a seguir, a reta
vertical intercepta a para´bola em apenas um ponto, mas certamente na˜o e´ tangente a` para´bola.
0
1
2
3
4
–2 –1 1 2
x
W.Bianchini, A.R.Santos 35
Poder´ıamos eliminar o caso acima definindo tangente como a reta que apenas ”toca”na curva, sem corta´-la. Mas,
para muitas curvas simples, essa definic¸a˜o ainda na˜o se aplica. Veja os gra´ficos da func¸a˜o y = x3
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
–2 –1 1 2
x
No primeiro caso, a tangente, como a entendemos geometricamente, corta a curva em um outro ponto, diferente
do ponto de tangeˆncia, no segundo, a tangente corta a curva precisamente no ponto de tangeˆncia.
Examine tambe´m o caso a seguir. A reta vertical e´ tangente a` curva dada?
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
–1 0 1 2
x
Mais um problema surge quando observamos o gra´fico da func¸a˜o y = |x|. Qualquer reta passando pela origem
“encosta” no gra´fico dessa func¸a˜o nesse u´nico ponto. Essas retas sa˜o tangentes ao gra´fico da func¸a˜o?
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
Ale´m disso, como poder´ıamos definir reta tangente ao gra´fico de uma curva no caso em que essa curva e´, ela pro´pria,
uma reta? Nesse caso, e´ razoa´vel e intuitivo esperar que a reta dada seja sua pro´pria reta tangente em qualquer ponto.
Veja a figura:
–2
–1
1
2
–2 –1 1 2
x
Dos exemplos acima podemos concluir que precisamos de uma nova e (melhor!) definic¸a˜o para reta tangente a uma
curva em um ponto qualquer da mesma. Uma vez estabelecida essa definic¸a˜o, devemos ser capazes de determinar a
sua equac¸a˜o. Existem, portanto, dois problemas a serem considerados:
• Como definir a reta tangente a uma curva por um ponto da mesma?
• Conhecendo-se o ponto de tangeˆncia como determinar a sua equac¸a˜o?
3.5 Determinac¸a˜o de ma´ximos e mı´nimos
Problemas de determinac¸a˜o de ma´ximos e mı´nimos de func¸o˜es, do tipo:
• Como determinar a velocidade inicial mı´nima para que um proje´til possa escapar da atrac¸a˜o gravitacional da
Terra?
36 Cap. 3. Alguns Problemas do Ca´lculo
• Como determinar o mı´nimo de material a ser gasto na fabricac¸a˜o de uma lata cil´ındrica de volume fixo?
• Como determinar as dimenso˜es da haste retangular mais r´ıgida que se pode fabricar de um tronco cil´ındrico de
raio dado?
que aparecem com frequ¨eˆncia na vida cotidiana, tambe´m desempenharam importante papel na histo´ria da evoluc¸a˜o
do Ca´lculo.
Embora aparentemente dissociados, esses problemas esta˜o intimamente associados com o problema da reta tangente.
A princ´ıpio, conhecendo-se o gra´fico da func¸a˜o que modela o fenoˆmeno que se quer estudar, e´ fa´cil localizar,
visualmente, os seus ma´ximos e mı´nimos, como mostra o gra´fico a seguir, a` esquerda. No entanto, o gra´fico de uma
func¸a˜o pode nos reservar algumas surpresas! Observe o gra´fico, a` direita:
Minimo
Maximo
–1.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
–3 –2 –1 1 2 3x
′
′
–40
–20
20
40
–6 –4 –2 2 4 6x
Aparentemente, a curva se comporta como a da func¸a˜o seno, trac¸ada anteriormente. Observe, no entanto, os
gra´ficos a seguir. Eles mostram o que acontece quando aumentamos a escala usada para o trac¸ado do gra´fico nas
proximidades de um de seus “extremos” (figura da esquerda) e perto do zero (figura da direita).
49.4
49.6
49.8
50
50.2
50.4
1.4 1.44 1.48 1.52 1.56 1.6 1.64 1.68
x
16
18
20
22
24
y
0.30.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5
x
Este exemplo mostra que nem sempre podemos confiar nos nossos olhos e que precisamos de algum crite´rio que nos
permita identificar os pontos extremos de uma func¸a˜o. Adiante, neste texto, veremos que a reta tangente nos fornece
meios de localizar e determinar esses extremos. Por ora, observe a animac¸a˜o abaixo e tente estabelecer um crite´rio
geome´trico que ajude a determinar os extremos de uma func¸a˜o.
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
xx
x
x x
x
x
x
x
3.6 Comprimento de arco
Embora, desde a Antiguidade, ja´ fosse conhecida a medida do comprimento de um arco de circunfereˆncia, por muito
tempo pensou-se que o problema de se retificar certas curvas, isto e´, de construir um segmento de reta de mesmo
comprimento de uma dada curva, tal como um arco de para´bola, era imposs´ıvel de ser resolvido para curvas alge´bricas.
Foi por volta de 1650, usando te´cnicas do Ca´lculo Infinitesimal, que William Neil resolveu pela primeira vez o
problema de calcular o comprimento de um arco da para´bola semi-cu´bica y2 = x3. William Neil tinha na e´poca vinte
anos, e dele, aparentemente, nunca mais se ouviu falar.
Novamente, um ca´lculo aproximado para este problema pode ser feito tomando-se subdiviso˜es do arco da curva e
ligando-os por segmentos de reta, como no problema abaixo.
W.Bianchini, A.R.Santos 37
Problema: Calcular o comprimento do arco da para´bola y = x2, para x no intervalo [0, 5].
A ide´ia e´ aproximar o arco de para´bola por segmentos de reta, como vemos a seguir.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
–4 –2 2 4x
Neste caso, um valor aproximado para o arco de para´bola y = x2, para x variando no intervalo [−5, 5], pode ser
calculado somando-se oscomprimentos dos segmentos de reta que ligam os pontos A1, A2, A3, A4 e A5 que definem
a poligonal, dando o valor 30
√
2 + 4
√
5 = 51.370.
Aumentando-se o nu´mero de subdiviso˜es do arco, tem-se:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
–4 –2 2 4x
E da mesma forma como foi feito acima, o valor aproximado para o comprimento do arco e´ 51.39134193.
• O que e´ poss´ıvel concluir quando o nu´mero de sub-diviso˜es do arco aumenta? (Observe a animac¸a˜o na versa˜o
eletroˆnica para responder a essa pergunta.)
• Deduza uma fo´rmula que aproxima o comprimento de uma curva y = f(x) definida em um intervalo [0, 1],
subdividindo-o em n intervalos de igual comprimento.
• Como voceˆ pode melhorar essa aproximac¸a˜o?
• Qual o valor exato para o comprimento desse arco?
3.7 Concluso˜es
Em todos os problemas apresentados, pode-se determinar soluc¸o˜es aproximadas, ta˜o aproximadas quanto se queira.
Mas como e´ poss´ıvel determinar a soluc¸a˜o exata?
A passagem fundamental esta´ no processo de limite ou convergeˆncia dessas aproximac¸o˜es.
E´ este conceito, nas suas duas principais formas denominadas diferenciac¸a˜o e integrac¸a˜o, que estudaremos no
decorrer deste curso.
3.8 Atividades de laborato´rio
Fac¸a as atividades propostas no arquivo lab1 1.mws da versa˜o eletroˆnica.
3.9 Para voceˆ meditar: Enigmas, paradoxos e a incompletude dos sis-
temas matema´ticos
Na introduc¸a˜o deste cap´ıtulo dissemos que os gregos tiveram o me´rito de assimilar os resultados obtidos por eg´ıpcios
e babiloˆnios e estabelecer os fundamentos da matema´tica como um sistema lo´gico-dedutivo, baseado em poucas
afirmac¸o˜es (postulados), consideradas a priori como verdadeiras e numa cadeia de teoremas logicamente deduzidos e,
portanto, irrefuta´veis. Mas como e´ poss´ıvel chegar a uma conclusa˜o lo´gica a partir de uma afirmac¸a˜o verdadeira?
Enigmas lo´gicos aparecem em muitos livros e revistas como um desafio e uma forma de “medir” a inteligeˆncia ou a
perspica´cia dos leitores e ilustram tambe´m como o racioc´ınio lo´gico, base para o desenvolvimento de qualquer sistema
38 Cap. 3. Alguns Problemas do Ca´lculo
matema´tico, e´ usado para resolver problemas aparentemente misteriosos ou adivinhato´rios, esclarecer controve´rsias ou
provar a insolubilidade de determinados dilemas. Teste o seu racioc´ınio lo´gico tentando solucionar os enigmas abaixo.
3.9.1 Enigmas
Enigma 1
Desejando escolher um marido entre seus muitos pretendentes, uma princesa de um antigo reino resolveu propor-
lhes um problema. Colocou um retrato seu dentro de um cofre e o apresentou, junto com outros dois, aos candidatos
a sua ma˜o. Aquele que, dentre os treˆs cofres apresentados, escolhesse o que contivesse o retrato da princesa, teria o
direito de desposa´-la. Para ajudar o candidato a escolher sabiamente, pois desejava um marido inteligente, a princesa
colocou na frente de cada cofre uma afirmac¸a˜o e explicou aos pretendentes que, das treˆs, somente uma era verdadeira.
- A afirmac¸a˜o do primeiro cofre era: O retrato esta´ nesse cofre.
- A do segundo: O retrato na˜o esta´ nesse cofre.
- E a do terceiro: O retrato na˜o esta´ no primeiro cofre.
Baseando a sua resposta num racioc´ınio lo´gico, voceˆ e´ capaz de deduzir em qual dos cofres esta´ o retrato da
princesa?
Enigma 2
Neste teste, cada cofre tem duas afirmac¸o˜es e nenhum deles conte´m mais do que uma afirmac¸a˜o falsa.
- As afirmac¸o˜es do primeiro cofre eram:
1. O retrato na˜o esta´ neste cofre.
2. O artista que pintou o retrato e´ de Veneza.
- As do segundo cofre:
1. O retrato na˜o esta´ no primeiro cofre.
2. O artista que pintou o retrato e´ de Florenc¸a.
- As do terceiro:
1. O retrato na˜o esta´ neste cofre.
2. O retrato esta´ no segundo cofre.
• Em que cofre esta´ o retrato?
Enigma 3
Neste teste cada cofre foi feito por Belini ou Celini. Toda vez que Belini fazia um cofre inscrevia nele uma afirmac¸a˜o
verdadeira, e toda vez que Celini fabricava um cofre colocava nele uma afirmac¸a˜o falsa.
- No primeiro cofre estava escrito: O retrato esta´ neste cofre.
- No segundo cofre estava escrito: O retrato esta´ neste cofre.
- A afirmac¸a˜o do terceiro cofre era: Pelo menos dois destes cofres foram feitos por Celini.
Em que cofre esta´ o retrato e qual o autor de cada cofre?
Enigma 4
Neste teste sa˜o usados somente dois cofres, um deles contendo um retrato e o outro vazio. Novamente cada um
deles foi feito ou por Belini ou por Celini.
- No primeiro cofre estava escrito: O retrato na˜o esta´ neste cofre.
- No segundo cofre estava escrito: Exatamente um desses dois cofres foi feito por Belini.
• Em que cofre esta´ o retrato?
• Quais as chances do pretendente acertar na sorte?
Enigma 5
Este teste e´ semelhante ao anterior. Sa˜o usados apenas dois cofres num dos quais ha´ um retrato e as inscric¸o˜es em
cada um deles sa˜o as seguintes:
- No primeiro cofre estava escrito: O retrato na˜o esta´ nesse cofre.
- No segundo cofre estava escrito: Exatamente uma dessas duas afirmac¸o˜es e´ verdadeira.
W.Bianchini, A.R.Santos 39
• Empregando, como da outras vezes, um racioc´ınio lo´gico, a que conclusa˜o voceˆ pode chegar a respeito do cofre
que conte´m o retrato?
• Se o retrato estiver no segundo cofre, havera´ alguma contradic¸a˜o com as hipo´teses do problema e a princesa tera´
mentido?
• Sabendo que o retrato esta´ no segundo cofre, o que se pode afirmar a respeito da veracidade ou na˜o da afirmac¸a˜o
nele escrita? Qual a diferenc¸a deste teste para o anterior?
• Se no enigma anterior o retrato estivesse no segundo cofre, a que concluso˜es poder´ıamos chegar?
3.9.2 Paradoxos
Em geral, paradoxos, como os que aparecem no Enigma 5, sa˜o baseados na questa˜o de se estabelecer o valor verdade
de afirmac¸o˜es que se referem ao seu pro´prio valor verdade, e este e´ um aspecto crucial da Lo´gica Moderna.
Um outro exemplo de paradoxo desse tipo surge quando tentamos decidir se a sentenc¸a seguinte e´ falsa ou ver-
dadeira:
Esta sentenc¸a e´ falsa.
Se esta sentenc¸a for falsa, enta˜o e´ verdadeira, e se ela for verdadeira, enta˜o e´ falsa, e obtemos um paradoxo.
Sentenc¸as desse tipo, cujo valor verdade depende do seu pro´prio significado, sa˜o ditas mal fundamentadas e conduzem
a paradoxos, na˜o a contradic¸o˜es. Contradic¸o˜es surgem quando concluso˜es erradas sa˜o deduzidas a partir de hipo´tese
falsas. Este seria o caso se, num dos enigmas de 1 a 4 da sec¸a˜o anterior, o retrato na˜o estivesse no cofre que o racioc´ınio
lo´gico, corretamente empregado, nos houvesse indicado. Nesse caso, se as hipo´teses, corretamente empregadas, nos
levassem a uma conclusa˜o falsa, a princesa teria mentido e essa seria a u´nica conclusa˜o poss´ıvel. No enigma 5, a
princesa na˜o mentiu, pois na˜o fez nenhuma afirmac¸a˜o a respeito da veracidade ou na˜o das sentenc¸as escritas nos
cofres.
Um enigma bastante popular desse tipo e´ aquele que conta a histo´ria de um juiz que decidiria se um condenado a`
morte seria enforcado ou decapitado. Para tomar essa decisa˜o, o juiz pediria ao condenado para fazer uma afirmac¸a˜o.
Se essa afirmac¸a˜o fosse verdadeira ele seria enforcado. Se fosse falsa, decapitado.
Se voceˆ fosse o condenado, que afirmac¸a˜o faria para impedir a execuc¸a˜o da pena de morte?
3.9.3 O Teorema de Go¨del
Em 1931, Kurt Go¨del provou que, para uma grande variedade de sistemas matema´ticos – sistemas que fossem “suficien-
temente grandes para lidar com o infinito” – sempre existira˜o afirmac¸o˜es que na˜o podera˜o ser provadas nem negadas
a partir dos axiomas usados para construir esse sistema. Consequ¨entemente, nenhum sistema lo´gico-dedutivo, onde
certas sentenc¸as verdadeiras sa˜o tomadas como axiomas e regras precisas de infereˆncia sa˜o empregadas para provar
ou na˜o as demais, e´ adequado para provar todas as verdades matema´ticas. A sentenc¸a que na˜o pode ser provada deve
fazer uma afirmac¸a˜osobre a sua pro´pria na˜o-probabilidade. Se esta sentenc¸a for tomada como um axioma para o
sistema em questa˜o, mais afirmac¸o˜es podera˜o ser provadas nesse novo sistema ampliado, mas ainda assim existira˜o
sentenc¸as que na˜o podera˜o ser provadas nem negadas. Esse e´ o conteu´do do famoso Teorema da Incompletitude de
Go¨del.
Considere o seguinte paradoxo:
Esta sentenc¸a na˜o pode ser provada.
O paradoxo e´: se a sentenc¸a e´ falsa, enta˜o e´ falso que ela na˜o pode ser provada, e consequ¨entemente ela pode ser
provada, mas se ela pode ser provada, enta˜o ela e´ verdadeira. Assim, se ela e´ falsa enta˜o deve ser verdadeira. Por
outro lado, suponhamos que eu tenha provado a sentenc¸a e portanto que ela seja verdadeira. Mas se a sentenc¸a e´
verdadeira, o que ela afirma e´ verdade, e enta˜o ela na˜o pode ser provada, mas enta˜o, como eu a provei?
Seguindo o racioc´ınio do paradoxo acima, o que e´ necessa´rio fazer para concluir sobre a veracidade ou na˜o de uma
afirmac¸a˜o?
Um dos objetivos do ramo da matema´tica conhecido como Lo´gica e´ estabelecer a noc¸a˜o de prova ou demonstrac¸a˜o
de uma afirmac¸a˜o, de maneira precisa. Quando provamos um teorema matema´tico estamos simplesmente empregando
alguns postulados, o nosso racioc´ınio, as leis da lo´gica e resultados anteriormente provados para chegar a uma conclusa˜o
nova e verdadeira. Esta conclusa˜o sera´ tomada e usada, desde enta˜o, como um novo teorema para o sistema, a partir
do qual novos resultados podera˜o ser estabelecidos.
40 Cap. 3. Alguns Problemas do Ca´lculo