Cálculo 1 - capitulo 18 Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos Quaisquer - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 18
Problemas de Ma´ximo e Mı´nimos em
Intervalos quaisquer
18.1 Introduc¸a˜o
No Cap. 15 estudamos o problema de determinar ma´ximos e mı´nimos globais para func¸o˜es cont´ınuas definidas em
intervalos fechados. Visto que o teorema dos valores extremos para func¸o˜es cont´ınuas garante, para estas func¸o˜es, a ex-
isteˆncia de extremos globais, e como tais extremos so´ podem ocorrer nos pontos cr´ıticos da func¸a˜o ou nas extremidades
do intervalo onde esta func¸a˜o esta´ definida, o crite´rio empregado foi o de comparar os valores da func¸a˜o f calculados
nos extremos do intervalo com os valores de f nos seus pontos cr´ıticos. No entanto, em va´rios problemas a func¸a˜o f
que descreve a grandeza a ser maximizada e´ definida em um intervalo aberto (a, b) e ate´ mesmo em um intervalo na˜o
limitado, por exemplo, (0,∞). Neste caso, na˜o podemos empregar a te´cnica descrita acima. Na˜o podemos nem sequer
garantir, a priori, a existeˆncia de ma´ximos e mı´nimos globais. O teste da derivada segunda e´ u´til nestes casos.
Suponhamos que queiramos maximizar, ou minimizar, uma func¸a˜o deriva´vel f num intervalo aberto I, e constate-
mos que f tem apenas um ponto cr´ıtico em I, isto e´, um nu´mero c para o qual f ′(c) = 0. Se f ′′(x) tiver o mesmo
sinal em todos os pontos de I, o teste da derivada segunda nos diz que o ponto c e´ um extremo absoluto de f em I.
Este extremo sera´ um mı´nimo se f ′′(c) > 0 e, um ma´ximo se f ′′(c) < 0.
Os exemplos a seguir ilustram o uso deste teste.
18.2 Exemplos
Exemplo 1
Um fabricante de latas cil´ındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado volume
V0. Quais as dimenso˜es que minimizara˜o a a´rea lateral da superf´ıcie de uma lata como esta e, portanto, a quantidade
de metal necessa´rio para fabrica´-la?
Soluc¸a˜o
Sendo r e h, respectivamente, o raio da base e a altura de uma lata cil´ındrica, seu volume sera´ dado por
(1) V0 = pi r
2 h
e a a´rea lateral por
(2) A = 2pi r2 + 2pi r h.
Queremos minimizar A, que e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis relacionadas pela equac¸a˜o (1). Resolvendo (1) para h
e substituindo em (2),
> h:=solve(V[0]=Pi*r^2*h,h);
h =
V0
pi r2
> subs(h=V[0]/(Pi*r^2),A=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h);
A = 2pi r2 + 2
V0
r
,
onde r pertence ao intervalo (0,∞). Como sabemos, os extremos desta func¸a˜o, caso existam, estara˜o localizados em
um de seus pontos cr´ıticos. Assim, derivamos a equac¸a˜o acima e resolvemos a equac¸a˜o resultante ao igualarmos esta
derivada a zero:
> diff(2*Pi*r^2+2*V[0]/r,r);
241
242 Cap. 18. Problemas de Ma´ximo e Mı´nimos em Intervalos quaisquer
A′ := 4pi r − 2 V0
r2
Mas, 4pi r − 2V0r2 = 0 se r = ( V02pi )
1
3 . A derivada segunda desta func¸a˜o e´ dada por
> diff(2*Pi*r^2+2*V[0]/r,r,r);
A′′ = 4pi + 4
V0
r3
que e´ sempre positiva, pois r e´ positivo.
Assim, a func¸a˜o A(r) e´ coˆncava para cima em todo o seu domı´nio e o ponto cr´ıtico 4pi + 4V0r3 e´ um mı´nimo absoluto
para esta func¸a˜o. Veja o gra´fico de A para V0 = 500 ml
0
200
400
600
800
1000
y
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
r
As dimenso˜es da lata de custo mı´nimo podem ser obtidas, a partir da equac¸a˜o (1), calculando-se o valor de h,
correspondente ao valor de r, onde a func¸a˜o A atinge o seu mı´nimo. Assim,
h =
V0
pi r2
= 2 (
V0
2pi
)
1
3 .
Note que h = 2 r.
Do ponto de vista de diminuir custos de mate´ria-prima, esse resultado revela que a “melhor” proporc¸a˜o para uma
lata cil´ındrica e´ aquela em que a altura e´ igual ao diaˆmetro da base. Esta e´ a proporc¸a˜o usada em latas de leite em po´,
salsichas, extrato de tomate, etc. Voceˆ e´ capaz de explicar por que esta na˜o e´ a proporc¸a˜o empregada na fabricac¸a˜o
de latas de o´leo de cozinha?
Exemplo 2
Determine a raza˜o entre a altura e o diaˆmetro da base do cilindro de volume ma´ximo que pode ser inscrito numa
esfera de raio R.
Soluc¸a˜o As figuras mostram um cilindro inscrito numa esfera juntamente com um corte transversal do mesmo:
x
Ry
O volume do cilindro sera´ dado, enta˜o, por V = 2pi x2 y. Ale´m disso, pelo teorema de Pita´goras podemos concluir
que as varia´veis x e y esta˜o relacionadas pela equac¸a˜o x2 + y2 = R2.
Podemos perceber, tambe´m, que V e´ pequeno quando x esta´ perto de zero ou quando x esta´ perto de R, portanto,
entre estes extremos existe uma posic¸a˜o de volume ma´ximo. Para acha´-la, substitu´ımos o valor de x2 na equac¸a˜o que
define V e obtemos a equac¸a˜o V = 2pi y (R2 − y2). Derivando esta equac¸a˜o em relac¸a˜o a y, temos
> diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y);
V ′ = 2pi (R2 − y2)− 4pi y2
> simplify(%);
V ′ = 2pi R2 − 6pi y2
Resolvendo a equac¸a˜o V ′(y) = 0, obtemos
> solve({diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y)=0},{y});
W.Bianchini, A.R.Santos 243
{y = 1
3
√
3R}, {y = −1
3
√
3R}
Aplicando o teste da derivada segunda, comprovamos que o ponto y =
√
3R
3 e´ realmente um ponto de ma´ximo para
a func¸a˜o, pois
> derivada_segunda=diff(2*Pi*y*(R^2-y^2),y,y);
derivada segunda = −12pi y
e esta derivada e´ negativa para valores positivos de y. Substituindo o valor positivo encontrado para y na igualdade
x2 + y2 = R2, obtemos x =
√
2R√
3
. Conclu´ımos, enta˜o que a raza˜o entre a altura e o diaˆmetro da base do cilindro de
maior volume inscrito numa esfera de raio R e´
y
x
=
√
2
2
Exemplo 3
Determinar o comprimento da maior vara que pode ser transportada horizontalmente, atrave´s da quina de um
corredor de 2 m de largura para outro de 4 m de largura, conforme e´ esquematizado no desenho a seguir.
Soluc¸a˜o:
Conforme mostra a figura, o comprimento desejado e´ o compri-
mento mı´nimo L = L1 + L2 da vara. Pelos dois triaˆngulos semel-
hantes da figura, vemos que
4
L1
= sen(θ) e
2
L2
= cos(θ)
de modo que
L1 = 4 csc(θ) e L2 = 2 sec(θ) .
θ
θ
L2
L1
Portanto, o comprimento L = L1 + L2 da vara e´ uma func¸a˜o de θ, dada por
L(θ) = 4 csc(θ) + 2 sec(θ) ,
onde θ varia no intervalo aberto (0, pi2 ). Note que L→∞ quando θ → 0 pela direita ou quando θ → pi2 pela esquerda.
(Por queˆ?) Calculando a derivada de L(θ) e igualando a expressa˜o resultante a zero, temos
> diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta);
−4 csc(θ) cot(θ) + 2 sec(θ) tan(θ)
> solve(-4*csc(theta)*cot(theta)+2*sec(theta)*tan(theta)=0,theta);
arctan(21/3), arctan(−1
2
21/3 +
1
2
I
√
3 21/3), arctan(−1
2
21/3 − 1
2
I
√
3 21/3)
Logo, θ = arctg(2
1
3 ) e´ a raiz que nos interessa. Este valor e´ aproximadamente igual a
> evalf(arctan(2^(1/3)));
.8999083481
Vamos agora calcular a derivada segunda da func¸a˜o L, para comprovar que o ponto que achamos e´, de fato, o mı´nimo
da func¸a˜o L.
> derivada_segunda:=diff(4*csc(theta)+2*sec(theta),theta,theta);
derivada segunda :=
4 csc(θ) cot(θ)2 − 4 csc(θ) (−1− cot(θ)2) + 2 sec(θ) tan(θ)2 + 2 sec(θ) (1 + tan(θ)2)
> evalf(subs(theta=0.9,derivada_segunda));
24.97376536
Como a derivada segunda no ponto cr´ıtico e´ positiva e este e´ o u´nico ponto cr´ıtico da func¸a˜o (as demais ra´ızes da
equac¸a˜o L′(θ) = 0 sa˜o complexas), vemos que o mı´nimo absoluto de L e, portanto, o comprimento ma´ximo da vara, e´
cerca de
> evalf(4*csc(0.9)+2*sec(0.9));
8.323876472
244 Cap. 18. Problemas de Ma´ximo e Mı´nimos em Intervalos quaisquer
ou seja, aproximadamente 8,32 metros.
Exemplo 4: Reflexa˜o da luz
Um raio de luz parte de um ponto A, atinge um ponto P sobre
um espelho plano, sendo enta˜o refletido e passando por um ponto
B, como mostra a figura abaixo. Medidas acuradas mostram que
o raio incidente e o raio refletido formam aˆngulos iguais com o
espelho, isto e´ α = β. Suponha que o raio de luz siga o caminho
mais curto de A a B, passando pelo ponto P no espelho. Prove
a lei de reflexa˜o, mostrando que o caminho APB e´ mais curto
quando α = β.
βα
c-xx
b
a
B
A
P
c
Soluc¸a˜o Repare que o ponto P podeassumir va´rias posic¸o˜es no espelho e cada uma destas posic¸o˜es e´ determinada
por um valor de x. Vamos considerar, portanto, o comprimento L do caminho percorrido pelo raio de luz como uma
func¸a˜o de x. A partir da figura, podemos concluir que
L =
√
a2 + x2 +
√
b2 + (c− x)2.
Derivando esta func¸a˜o, temos
> L:=x->sqrt(a^2+x^2)+sqrt(b^2+(c-x)^2):
> diff(L(x),x);
L′(x) =
x√
a2 + x2
+
1
2
−2 c+ 2x√
b2 + c2 − 2 c x+ x2
Minimizamos L ao igualar esta derivada a zero, obtendo:
x√
a2 + x2
=
c− x√
b2 + c2 − 2 c x+ x2
e da´ı, podemos concluir que cos(α) = cos(β). Como α e β esta˜o no primeiro quadrante, segue que α = β.
Para verificar que realmente minimizamos L, basta calcular a derivada segunda de L e observar que esta derivada
e´ sempre positiva para qualquer valor de x. De fato,
d2 L
dx 2
=
a2
(a2 + x2)(
3
2 )
+
b2
(b2 + (c− x)2)( 32 ) .
Exemplo 5: Refrac¸a˜o da luz
O raio de luz refletido que acabamos de discutir no exemplo anterior mante´m a velocidade constante quando
atravessa um u´nico meio. No entanto, em meios diferentes (ar, a´gua, vidro) a luz tem velocidades diferentes. Se um
raio de luz passa do ar para a a´gua, e´ refratado passando a ter uma direc¸a˜o mais pro´xima da perpendicular a` interface.
Veja a figura:
′ β
α
β
α
Agua
Ar
va
vw
c-xx
b
a
B
A
P
c
O percurso APB, nitidamente, na˜o e´ mais o caminho mais curto de A ate´ B. Em 1621, o cientista holandeˆs Snell
descobriu, empiricamente, que o caminho real do raio de luz e´ o que satisfaz a relac¸a˜o sen(α)sen(β) = constante, onde esta
constante e´ independente das posic¸o˜es de A e de B. Esse fato e´ chamado lei de refrac¸a˜o de Snell.
Prove a lei de Snell, partindo do pressuposto de que o raio percorre um caminho de A a B de modo a minimizar o
tempo total de percurso.
W.Bianchini, A.R.Santos 245
Soluc¸a˜o Se a velocidade da luz no ar e´ va e na a´gua e´ vw, enta˜o o tempo total de percurso T e´ a soma do tempo
que a luz gasta atravessando o ar com o tempo gasto para atravessar a a´gua e e´ dado por
T =
√
a2 + x2
va
+
√
b2 + (c− x)2
vw
.
Calculando a derivada dessa func¸a˜o e observando o seu significado geome´trico em termos da figura, obtemos:
> T:=x->sqrt(a^2+x^2)/v[a]+sqrt(b^2+(c-x)^2)/v[w];
T := x→
√
a2 + x2
va
+
√
b2 + (c− x)2
vw
> diff(T(x),x)=sen(alpha)/v[a]-sen(beta)/v[w];
T ′(x) =
x√
a2 + x2 va
+
1
2
−2 c+ 2x√
b2 + c2 − 2 c x+ x2 vw
=
sen(α)
va
− sen(β)
vw
Para conseguir o tempo mı´nimo de percurso, igualamos essa derivada a zero, obtendo
sen(α)
va
=
sen(β)
vw
ou
sen(α)
sen(β)
=
va
vw
= constante
Esta e´ a forma mais reveladora da lei de Snell, porque nos da´ o significado f´ısico da constante que aparece na
equac¸a˜o. Esta constante e´ a raza˜o entre a velocidade da luz no ar e a velocidade (menor) da luz na a´gua. Essa
constante chama-se ı´ndice de refrac¸a˜o da a´gua. Se, nesse exemplo, a a´gua for substitu´ıda por qualquer outro meio
translu´cido, tal com a´lcool, glicerina ou vidro, enta˜o a constante tera´ um valor nume´rico diferente que sera´ dado pelo
ı´ndice de refrac¸a˜o do meio em questa˜o.
Como no exemplo anterior, podemos verificar que a resposta obtida realmente minimiza T , calculando a segunda
derivada e observando que esta e´ positiva. De fato,
d2 T
dx 2
=
a2
va (a2 + x2)(
3
2 )
+
b2
vw (b2 + (c− x)2)( 32 )
> 0 .
18.3 Problemas propostos
1. Determine a constante a de modo que a func¸a˜o f(x) = x2 + ax , para x 6= 0, tenha um mı´nimo relativo em x = 2.
2. Uma grande vara deve passar por um canto retangular de um corredor, seguindo de uma parte de largura a para
outra de largura b. Se o comprimento da vara e´ L, qual a largura mı´nima b para que a manobra seja poss´ıvel?
3. Uma caixa retangular com base quadrada deve ser feita de madeira compensada. Sendo dado o seu volume, ache
a forma (raza˜o entre a altura e o lado da base) que minimiza a quantidade de madeira compensada necessa´ria.
Resolva este problema supondo, agora, que a caixa e´ aberta em cima.
4. Ache o raio do cilindro de volume ma´ximo que pode ser inscrito num cone de altura H e raio da base R.
5. Ache a altura do cone de ma´ximo volume que pode ser inscrito numa esfera de raio R.
6. Um tanque cil´ındrico sem tampa deve ter um volume especificado. Se o custo do material usado para a base e´
treˆs vezes maior que o custo daquele usado para a lateral encurvada, ache a raza˜o entre a altura e o diaˆmetro
da base para a qual o custo total e´ mı´nimo.
7. (a) Calcule as coordenadas do ponto do gra´fico da func¸a˜o y =
√
x mais pro´ximo do ponto (32 , 0).
Sugesta˜o: Minimize o quadrado da distaˆncia do ponto dado ao ponto (x,
√
x).
(b) Generalize o item anterior: ache o ponto sobre o gra´fico de y =
√
x que esta´ mais pro´ximo do ponto (a, 0)
para a > 0, qualquer.
(c) Determine o ponto da para´bola y = x2 mais pro´ximo do ponto (6, 3).
246 Cap. 18. Problemas de Ma´ximo e Mı´nimos em Intervalos quaisquer
8. (a) Suponha que f seja uma func¸a˜o deriva´vel definida em toda a reta, e que o gra´fico de f contenha um ponto
Q(x, y) que esta´ mais perto do ponto P (x0, y0) que na˜o esta´ no gra´fico. Mostre que f
′(x) = −x−x0y−y0 , em Q.
Conclua que o segmento PQ e´ perpendicular a` reta tangente a` curva em Q.
(b) Use o resultado acima para mostrar que a distaˆncia mı´nima do ponto (x0, y0) a um ponto da reta
Ax+B y + C = 0 e´ |Ax0+B y0+C|√
A2+B2
.
9. Duas discotecas, uma delas quatro vezes mais barulhenta do que a outra, esta˜o situadas em extremidades opostas
de um quarteira˜o de 1000 m de comprimento. Qual e´ o ponto menos barulhento entre as discotecas? A intensidade
do ru´ıdo em um ponto distante da fonte e´ diretamente proporcional ao ru´ıdo e inversamente proporcional ao
quadrado da distaˆncia a` fonte.
10. (a) Um triaˆngulo iso´sceles esta´ circunscrito a um c´ırculo de raio R. Se x e´ a altura do triaˆngulo, mostre que
sua a´rea e´ mı´nima quando x = 3R.
Sugesta˜o: Minimize A2.
(b) Se a figura descrita em (a) for girada ao redor da altura do triaˆngulo, o resultado e´ um cone inscrito numa
esfera de raio R. Mostre que o volume do cone e´ mı´nimo quando x = 4R e que esse volume e´ o dobro do
volume da esfera.
11. (a) Um silo tem parede cil´ındrica, piso plano circular e teto hemisfe´rico. Para um dado volume, ache a raza˜o
entre a altura total e o diaˆmetro da base que minimiza a a´rea da superf´ıcie total.
(b) No item anterior, se o custo de construc¸a˜o por metro quadrado do teto hemisfe´rico e´ o dobro do custo da
parede e do piso, ache a raza˜o entre a altura total e o diaˆmetro da base que minimiza o custo total de
construc¸a˜o.
12. Qual o menor valor da constante a para o qual a desigualdade 2
√
2 ≤ a x+ 1x seja va´lida para todos os nu´meros
positivos x?
13. Um espia˜o e´ deixado por um submarino para ser embarcado em um bote a 2 km de um ponto P numa praia reta
com direc¸a˜o norte-sul. Ele precisa chegar a uma casa na praia a 6 km ao norte de P. Remando, ele percorre 3
km/h e, andando, 5 km/h. Sua intenc¸a˜o e´ remar em direc¸a˜o a um certo ponto ao norte de P e depois andar o
resto do caminho.
(a) A que distaˆncia ao norte de P ele deve desembarcar para chegar a` casa no menor tempo poss´ıvel?
(b) Qual a durac¸a˜o da viagem?
(c) Quanto tempo a mais ele gastara´ se remar diretamente a P e depois andar ate´ a casa?
(d) Mostre que a resposta do item (a) deste problema na˜o se altera se a casa estiver a 8 km ao norte de P.
(e) Se o bote do espia˜o estiver munido de um pequeno motor que desenvolve uma velocidade de 5 km/h, enta˜o,
utilizando apenas o nosso bom senso, e´ o´bvio que a rota mais ra´pida sera´ a que for percorrida exclusivamente
de bote. Qual a menor velocidade em que tal rota continua sendo a mais ra´pida?
18.4 Um poucode histo´ria: Princ´ıpio do tempo mı´nimo de Fermat
As ide´ias do Exemplo 5 foram descobertas em 1657 pelo grande matema´tico franceˆs Pierre Fermat, e por essa raza˜o
a afirmac¸a˜o de que um raio de luz atravessa um sistema o´tico percorrendo o caminho que minimiza o tempo total de
percurso chama-se princ´ıpio do tempo mı´nimo de Fermat. E´ importante ressaltar que quando um raio de luz percorre
um u´nico meio uniforme, “caminho mais curto” e´ equivalente a “tempo mı´nimo”, e assim o Exemplo 4 recai tambe´m
neste mesmo princ´ıpio.
Durante os dois se´culos seguintes, as ide´ias de Fermat estimularam um amplo desenvolvimento da teoria geral de
ma´ximos e mı´nimos, levando primeiro a` criac¸a˜o por Euler (1701-1783) do Ca´lculo Variacional – um ramo da matema´tica
que procura achar os extremos de func¸o˜es em um contexto mais geral do que aquele estudado no Ca´lculo Diferencial
– e depois, ao princ´ıpio da mı´nima ac¸a˜o, de Hamilton (1805-1865), que se tornou um dos princ´ıpios unificadores mais
profundos da F´ısica. Euler expressou seu entusiasmo com as seguintes palavras memora´veis: “Como a estrutura do
mundo e´ a mais perfeita e foi estabelecida pelo mais sa´bio Criador, tudo que ocorre nesse mundo obedece a algum
princ´ıpio de ma´ximo ou mı´nimo”.
W.Bianchini, A.R.Santos 247
18.5 Para voceˆ meditar: Como os gregos eram espertos ou uma demon-
strac¸a˜o sem palavras
A lei de reflexa˜o discutida no Exemplo 4 ja´ era conhecida pelos gregos da Antiguidade. No entanto, o fato de que um
raio de luz refletido segue o caminho mais curto foi descoberto muito mais tarde por Heron de Alexandria, no se´culo
I D.C. A demonstrac¸a˜o geome´trica de Heron e´ simples, pore´m engenhosa. O desenho a seguir ilustra o argumento
empregado por ele.
• Demonstre a lei da reflexa˜o usando a figura abaixo para justificar seu racioc´ınio. Nesta figura B′ e´ a imagem
especular de B.
γ
βα
B’
B
A
P’ P
18.6 Projetos
18.6.1 Um problema de otimizac¸a˜o
Otimizar e´ uma das mais importantes aplicac¸o˜es de derivada. Os problemas aplicados que usualmente sa˜o estudados
num curso de Ca´lculo sa˜o, necessariamente, muito simples para que a aplicac¸a˜o dos conceitos matema´ticos na˜o sejam
sobrepujadas por ca´lculos longos e cansativos. O objetivo deste projeto e´ apresentar um problema um pouco mais
real. Nele, voceˆ e´ o gerente de planejamento de uma companhia ele´trica e a voceˆ e´ designada a seguinte tarefa:
A Companhia deve estender um cabo de alta tensa˜o partindo de uma usina localizada dentro de uma reserva florestal
ate´ uma fa´brica em construc¸a˜o. A fa´brica esta´ a 2, 3 km ao norte e a 5, 2 km a leste da usina, junto a uma a´rea de
propriedade particular de 1, 3 km de largura (direc¸a˜o leste-oeste) entre a usina e a fa´brica. O cabo de alta tensa˜o deve
passar pela propriedade particular. Veja o mapa:
–10
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
10
y
–3 –2 –1 1 2 3x
O custo de instalac¸a˜o do cabo e´ de R$ 0,75 por metro atrave´s da reserva florestal e R$2,25 por metro na propriedade
privada.
Sua tarefa e´ achar o tamanho (diaˆmetro) o´timo do cabo, determinar a rota de menor custo e, finalmente, determinar
o custo total mı´nimo do projeto.
Etapa I: Minimizar o custo por metro relacionado ao tamanho do cabo.
O custo por metro de aquisic¸a˜o do cabo Ca, e´ diretamente proporcional a` espessura do fio, isto e´, varia de acordo
com a quantidade de cobre usada por unidade de a´rea da sua sec¸a˜o reta A. O departamento de compras providenciou
a`s seguintes cifras:
Ca (R$) A (mcm
2)
0,25 167
248 Cap. 18. Problemas de Ma´ximo e Mı´nimos em Intervalos quaisquer
(a) Usando os dados da tabela, ache uma equac¸a˜o para Ca.
De acordo com a teoria da eletricidade, a resisteˆncia do material do cabo causa uma perda de poteˆncia resultante
da dissipac¸a˜o de energia em forma de calor. O custo por metro desta perda, Cp, e´ inversamente proporcional a`
a´rea da sec¸a˜o reta, A, do fio. Depois de alguns testes o departamento de engenharia, chegou aos seguintes dados:
Cp (R$) A (mcm
2)
0,2385 105
(b) Usando estes dados, ache uma equac¸a˜o para Cp.
(c) Defina o custo por metro de cabo adquirido, como func¸a˜o da sua sec¸a˜o reta A. Ache a sec¸a˜o reta Amin , em
mcm2, que minimiza o custo. Determine este custo mı´nimo C(Amin)
Etapa II: Determinar o caminho de custo mı´nimo e o seu comprimento
O custo total de instalac¸a˜o do cabo, Ci e´ dado por Ci = 0, 75w + 2, 25x, onde w e´ a distaˆncia percorrida na
reserva florestal e x a distaˆncia atrave´s da propriedade particular.
(d) Usando os dados fornecidos, expresse w como uma func¸a˜o de x.
(e) Minimize Ci em relac¸a˜o a` x, especificando o intervalo de variac¸a˜o de x.
(f) Com o valor de x, que fornece o menor custo de instalac¸a˜o, ache w e o comprimento total L = w + x do cabo.
Etapa III: Calcular o custo total do projeto
(g) Combine os resultados das Etapas I e II e ache o custo total mı´nimo do projeto.
Etapa Final: Relato´rio
(h) Envie um relato´rio com as suas concluso˜es e o custo mı´nimo estimado do projeto ao diretor da companhia.
Observac¸a˜o: Um relato´rio mı´nimo deve incluir respostas justificadas a`s questo˜es propostas e um gra´fico mostrando
o percurso mı´nimo que voceˆ encontrou.