Resumo - Derivada e Integral [CALCULO]

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Resuma˜o de Ca´lculo 1
Everson Fernando Santos Feitosa
Universidade Federal Rural de Pernambuco / Unidade Acadeˆmica de Garanhuns
1. Limites
Definic¸a˜o 1 Escrevemos
lim
x→a f (x) = L
e dizemos ”o limite de f (x), quando x tende a a, e´ igual a
L”se pudermos tornar os valores de f (x) ta˜o pro´ximos de
L quanto quisermos, bastando para isso tomar x suficien-
temente pro´ximo de a(por ambos os lados de a) mas na˜o
igual a a.
Definic¸o˜es ana´logas existem para
lim
x→a−
f (x) = L e lim
x→a+
f (x) = L
onde os valores de x sa˜o tomados a` esquerda e a` direita
de a respectivamente.
Teorema 1
lim
x→a f (x) = L⇔ limx→a− f (x) = L e limx→a+ f (x) = L
Definic¸a˜o 2
lim
x→a f (x) = ±∞
significa que podemos fazer os valores de f (x) ficarem ta˜o
grandes quanto quisermos (em valor absoluto) tomando x
suficientemente pro´ximo de a mas na˜o igual a a.
Definic¸a˜o 3 A reta x = a e´ dita assı´ntota vertical da curva
y = f (x) se pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es es-
tiver satisfeita:
lim
x→a(±)
f (x) = ±∞.
Limites Fundamentais
lim
x→a c = c e limx→ax = a
Leis do Limite Seja c uma constante e suponha que
lim
x→a f (x) = L e limx→a g(x) =M
enta˜o
1. lim
x→a[f (x)± g(x)] = L±M
2. lim
x→a cf (x) = cL
3. lim
x→a f (x)g(x) = LM
4. lim
x→a
f (x)
g(x)
= LM se M 6= 0
5. lim
x→a[f (x)]
n = Ln, onde n ∈ N
6. lim
x→a
n
√
f (x) = n
√
L, onde n ∈ N
Teorema 2 (do Sanduı´che) Se f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) nas
proximidades de a e
lim
x→a f (x) = limx→ah(x) = L,
enta˜o lim
x→a g(x) = L.
1.1 Continuidade
Definic¸a˜o 4 Uma func¸a˜o f e´ contı´nua em um nu´mero a
se
lim
x→a f (x) = f (a).
Uma func¸a˜o e´ contı´nua em um intervalo se for contı´nua
em todos os nu´meros do intervalo.
Teorema 3 Se f e g forem contı´nuas em a e se c for uma
constante, enta˜o sa˜o contı´nuas tambe´m em a: f ± g, cf,
fg e f/g, se g(a) 6= 0.
Teorema 4 As func¸o˜es polinomiais, racionais, raı´zes,
trigonome´tricas, exponenciais e logarı´tmicas sa˜o
contı´nuas em todo o seu domı´nio.
Teorema 5 Se f e´ contı´nua em b e lim
x→a g(x) = b, enta˜o
lim
x→a f (g(x)) = f
(
lim
x→a g(x)
)
.
Teorema 6 A composic¸a˜o de func¸o˜es contı´nuas e´ uma
func¸a˜o contı´nua.
Teorema 7 (TVI) Seja f contı´nua em [a, b] e seja N um
nu´mero qualquer tal que f (a) ≤ N ≤ f (b), com f (a) 6= f (b).
Enta˜o existe um c ∈ (a, b) tal que f (c) = N.
Definic¸a˜o 5 A reta y = L e´ dita assı´ntota horizontaal da
curva y = f (x) se ou
lim
x→∞ f (x) = L ou limx→−∞ f (x) = L
2. Derivadas
Definic¸a˜o 6 A derivada de uma func¸a˜o f em um nu´mero
a, denotada por f ′(a), e´
f ′(a) = lim
h→0
f (a + h)− f (a)
h
= lim
x→a
f (x)− f (a)
x− a .
A reta tangente ao gra´fico da curva y = f (x) em (a, f (a))
e´ a reta que passa em (a, f (a)) cuja inclinac¸a˜o e´ f ′(a). Sua
equac¸a˜o e´ dada por
y − f (a) = f ′(a)(x− a).
A derivada f ′(a) e´ a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de
y = f (x) em relac¸a˜o a x quando x = a.
Seja y = f (x) uma func¸a˜o deriva´vel em todos os pontos
de um intervalo aberto I, denotamos por f ′(x) a func¸a˜o
derivada da func¸a˜o f. Assim
f ′ : I −→ R
x 7−→ f ′(x) = lim
h→0
f (x+h)−f (x)
h .
Outras Notac¸o˜es
f ′(x) = y′ = dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f (x) = Df (x) = Dxf (x)
Teorema 8 Se f for diferencia´vel em a, enta˜o f e´ contı´nua
em a.
Nota A recı´proca desse teorema e´ falsa.
2.1 Regras de Derivac¸a˜o
d
dx(c) = 0
d
dx(x) = 1
d
dx(x
n) = nxn−1, ∀n ∈ R (cf )′ = cf ′, onde c e´ constante
(f ± g)′ = f ′ ± g′ ddx(ex) = ex
(fg)′ = fg′ + gf ′
(
f
g
)′
= gf
′−fg′
g2
2.2 Derivadas das Func¸o˜es Trigonome´tricas
(sen x)′ = cos x (cos x)′ = −sen x
(tg x)′ = sec2 x (cossec x)′ = −cossec x cotg x
(sec x)′ = sec x tg x (cotg x)′ = −cossec2 x
2.3 A Regra de Cadeia
Teorema 9 (Regra da Cadeia) Se a func¸a˜o g for deriva´vel
em x e a func¸a˜o f for diferencia´vel em g(x), enta˜o a func¸a˜o
composta f ◦g sera´ deriva´vel em x, e (f ◦g)′ = f ′(g(x))g′(x).
Em particular, temos ddx(a
x) = ax ln a.
Usando Diferenciac¸a˜o Implı´cita, provamos que
d
dx
(loga x) =
1
x ln a
em particular
d
dx
(lnx) =
1
x
.
Passos na Diferenciac¸a˜o Logarı´tmica
1. Tome o ln em ambos os lados de y = f (x) e use as Leis
dos Logarı´tmos para simplificar.
2. Diferencie implicitamente em relac¸a˜o a x.
3. Resolva a equac¸a˜o resultante para y′.
2.4 Taxas Relacionada
Estrate´gias
1. Leia cuidadosamente o problema, e se possı´vel fac¸a um
diagrama.
2. Introduza uma notac¸a˜o.
3. Expresse a informac¸a˜o dada e taxa requerida em termos
das derivadas.
4. Escreva uma equac¸a˜o que relacione as va´rias grandezas
do problema.
5. Use a Regra da Cadeia para diferenciar ambos os lados
da equac¸a˜o em relac¸a˜o a t.
6. Substitua a informac¸a˜o dada dentro da equac¸a˜o resul-
tante e resolva-a para a taxa desconhecida.
2.5 Aplicac¸o˜es da Diferenciac¸a˜o
Definic¸a˜o 7 A func¸a˜of tem ma´ximo absoluto em c se
f (c) ≥ f (x) ∀x ∈ D{f}. Se f (c) ≤ f (x) ∀x ∈ D{f}, f
tem um mı´nimo absoluto.
Definic¸a˜o 8 A func¸a˜of tem ma´ximo local em c se f (c) ≥
f (x) quando x estiver nas proxmidades de c. Analoga-
mente, se f (c) ≤ f (x) nas proxmidades de c, f tem um
mı´nimo local.
Definic¸a˜o 9 Um nu´mero crı´tico de uma func¸a˜o f e´ um
nu´mero c ∈ D{f} onde f ′(c) = 0 ou f ′(c) na˜o existe.
Teorema 10 Se f tiver um ma´ximo ou mı´nimo local em c,
enta˜o c e´ um nu´mero crı´tico de f.
O Me´todo do Intervalo Fechado
1. Encontre os valores de f nos seus nu´meros crı´ticos;
2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo;
3. O maior desses valores e´ o ma´x. absol. e o menor deles
e´ o mı´n. absol.
Teorema 11 (TVM) Se f e´ contı´nua em [a, b] e diferencia´vel
em (a, b). Enta˜o ∃c ∈ (a, b); f (b)− f (a) = f ′(c)(b− a).
Teorema 12
f ′(x) = 0 ∀x ∈ (a, b)⇒ f e´ constante em(a, b).
Teste Crescente/Decrescente
(a) Se f ′(x) > 0 ∀x ∈ (a, b)⇒ f e´ crescente em(a, b).
(b) Se f ′(x) < 0 ∀x ∈ (a, b)⇒ f e´ decrescente em(a, b).
Teste da Derivada Primeira Seja c um nro crı´tico de f.
(i) Se o sinal de f ′ mudar de positivo para negativo em c,
enta˜o f tem ma´x. local em c.
(ii) Se o sinal de f ′ mudar de negativo para positivo em c,
enta˜o f tem mı´n. local em c.
(iii) Se f ′ na˜o mudar de sinal c, enta˜o f na˜o tem ma´x. nem
mı´n. locais em c.
Teste da Concavidade
(a) Se f ′′(x) > 0 ∀x ∈ I enta˜o o gra´fico de f e´ coˆncavo para
cima em I.
(b) Se f ′′(x) < 0 ∀x ∈ I enta˜o o gra´fico de f e´ coˆncavo para
baixo em I.
Definic¸a˜o 10 Um ponto P na curva y = f (x) e´ chamado
de ponto de inflexa˜o se f e´ contı´nua no ponto e a curva
mudar de concavidade em P.
Teste da Derivada Segunda Suponha que f ′′ seja
contı´nua nas proximidades de c.
(a) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) > 0 enta˜o f tem mı´n. local em c.
(b) Se f ′(c) = 0 e f ′′(c) < 0 enta˜o f tem ma´x. local em c.
Regra de L’Hoˆpital Suponha que f e g sejam difer-
encia´veis e g′(x) 6= 0 pro´ximo a a(exceto possivelmente
em a.) Suponha que lim
x→a f (x) = limx→a g(x) = 0 ou que
lim
x→a f (x) = ±∞ e limx→a g(x) = ±∞. Enta˜o limx→a
f (x)
g(x)
=
lim
x→a
f ′(x)
g′(x) .
3. Integrais
3.1 Antiderivadas
Definic¸a˜o 11 Uma func¸a˜o F e´ uma antiderivada de f so-
bre um intervalo I se F ′(x) = f (x) ∀ x ∈ I.
Teorema 13 Se F e´ uma antiderivada de f em I, enta˜o a
antiderivada mais geral de f em I e´ F (x)+C onde C e´ uma
constante arbitra´ria.
3.2 Propriedades da Integral Definida
(1)
∫ a
b f (x)dx = −
∫ b
a f (x)dx (2)
∫ a
a f (x)dx = 0
(3)
∫ b
a cdx = c(b− a), onde c e´ uma constante
(4)
∫ b
a [f (x)± g(x)]dx =
∫ b
a f (x)dx±
∫ b
a g(x)dx
(5)
∫ b
a cf (x)dx = c
∫ b
a f (x)dx
(6)
∫ b
a f (x)dx =
∫ k
a f (x)dx +
∫ b
k f (x)dx se k ∈ (a, b).
Teorema 14 (TFC) Seja f e´ contı´nua em [a, b].
1. Se g(x) =
∫ x
a f(t)dt, enta˜o g
′(x) = f (x).
2.
∫ b
a f (x)dx = F (b)−F (a) onde F e´ uma antiderivada de f.
3.3 Te´cnicas de Integrac¸a˜o
Teorema 15 (Regra da Substituic¸a˜o) Se u = g(x) e´ uma
func¸a˜o diferencia´vel cuja imagem e´ um intervalo I e f for
contı´nua em I, enta˜o
∫
f (g(x))g′(x)dx =
∫
f (u)du.
Teorema 16 (Integrac¸a˜o por Partes) Se u = f (x) e v =
g(x) enta˜o
∫
udv = uv − ∫ vdu.
Estrate´gia para avaliar
∫
senm xcosn xdx
1. Se n e´ ı´mpar (n = 2k + 1)∫
senm xcos2k+1 xdx =
∫
senm x(cos2 x)kcos xdx
=
∫
senm x(1− sen2 x)kcos xdx
Nesse caso, substitua u = sen x.
2. Se m e´ ı´mpar (m = 2k + 1). O procedimento e´ ana´logo,
mas nesse caso fazemos u = cos x.
3. Se ambas sa˜o pares, utilizamos as identidades
sen2 x =
1− cos 2x
2
ou cos2 x =
1 + cos 2x
2
Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
Espressa˜o Substituic¸a˜o Identidade√
a2 − x2 x = asen θ, −pi/2 ≤ θ ≤ pi/2 1− sen2 θ = cos2 θ√
a2 + x2 x = atg θ, −pi/2 < θ < pi/2 1− tg2 θ = sec2 θ√
x2 − a2 x = asec θ, θ ∈ [0, pi2) ou θ ∈ [pi, 3pi2 ) 1− tg2 θ = sec2 θ
Refereˆncias
[1] Ca´lculo Volume 1, James Stewart. -5. ed.- Sa˜o Paulo:
Pioneira Thomson Learning, 2006
[2] O Ca´lculo com Geometria Analı´tica - volume1 - 3. ed.
Sa˜o Paulo: Editora HARBRA ltda, 1994.
UAG/UFRPE eversonfeitosa@gmail.com