Limite Parcial

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Limites
PROF. DR. LUCIANO VENELLI COSTA
VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Conteúdo
Limites:
• Noção intuitiva. Limites laterais.
• Definição
• Propriedades
• Limites indeterminados
• Limites no infinito
• Limites infinitos
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Novo livro base
FLEMMING, D. M.; Gonçalves, M. B. 
Cálculo A: funções, limite, derivação 
e integração. 6ª edição revisada e 
ampliada, São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2006.
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Noção intuitiva de limite
Onde vão resultar as sequências?
• (A) 1, 2, 3, 4, 5, ...
• (B) ½, 2/3, ¾, 4/5, 5/6, ...
• (C) 1, 0, -1, -2, -3, ...
No limite, x tende a:
(A) 𝑥 → +∞
(B) ...39/40, ..., 499/500,... 𝑥 → 1
(C) 𝑥 → −∞
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Exemplo da vida real
retirado de TAN, S. T. Matemática aplicada à Administração e Economia. 9ª ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2015. 
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522116485/cfi/0!/4/6@0:0
Com base em dados obtidos em um teste de um protótipo
de um maglev (trem de levi- tação magnética), que se move
ao longo de um monotrilho retilíneo, engenheiros de-
terminaram que a posição do maglev (em pés) a partir da
origem no instante t (em segundos) é dada por
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Qual a velocidade em t=2s?
Por exemplo, a velocidade média do trem ao 
longo do intervalo de tempo [2, 4] é dada por
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Reduzindo o intervalo a partir 
de t = 2s
Seja t > 2. Então, a velocidade média do maglev no 
intervalo de tempo [2, t] é dada por
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Graficamente, 
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Limite de uma função
• Seja 𝑦 = 1 −
1
𝑥
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VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Analise os limites quando x 
tende ao infinito para y = f(x)
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Resposta:
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Mais um:
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Qual é o limite de y 
quando x tende a -1?
VENELLI-COSTA, Luciano. Cálculo diferencial I, 2018
Limite quando x tende 
a 0
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O gráfico oscila entre -1 
e +1 enquanto x se 
aproxima de 0, sem 
tender para um limite.
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Limites laterais
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x – 1 se x < 0 
x + 1 se x ≥ 0
f (x) = 
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥 = −1
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥 = 1
𝑥 → 0− significa: x tende a 0 pela esquerda
𝑥 → 0+ significa: x tende a 0 pela direita
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Limites laterais
• Qual o limite quando x tende a 4 para:
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Definição:
• À medida que x se torna cada vez mais 
próximo de 4 𝑥 → 4 , y se torna cada vez 
mais próximo de 5 𝑦 → 5 .
• Podemos tornar o valor de y cada vez mais 
próximo de 5 quanto desejarmos...
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Definição:
... desde que tornemos x suficientemente 
próximo de 4 𝑥 ≠ 4
• Significa que deve existir um intervalo aberto 
de raio  > 0 e centro a = 4 tal que se x variar 
neste intervalo
• Deve valer a desigualdade 
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Graficamente:
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Definição de Limite
Dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende 
para a, se é possível tornar f(x) arbitrariamente próximo 
de L, desde que tomemos valores de x, 𝑥 ≠ 𝑎
suficientemente próximos de a.
De maneira formal:
Seja f(x) definida num intervalo aberto I, contendo a, 
exceto, possivelmente, no próprio a, dizemos que o limite 
de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos 
lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = 𝐿
se, para todo 𝜀 > 0, existe um 𝛿 > 0, tal que
𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 sempre 0 < 𝑥 − 𝑎 < 𝛿.
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Exemplo: provar que:
lim
𝑥→1
3𝑥 − 1 = 2
Temos que mostrar que, para todo 𝜀 > 0, 
existe um 𝛿 > 0, tal que:
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Na verdade, qualquer 𝛿 entre 0 e 𝜀/3 
satisfaz as condições. 
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IMPORTANTE
• Só existe um limite, se ambos os limites 
laterais apontarem para um mesmo valor:
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lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = 𝐿 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
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Propriedades dos limites
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Mais propriedades
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Exemplos:
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A) R: 15
B) R: -1/10
C) R: 2
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0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,5 1 1,5 2
f(x)
Substituição simples: 
12−1
1−1
=
0
0
?
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x f(x)
0 1
0,5 1,5
0,6 1,6
0,7 1,7
0,8 1,8
0,9 1,9
0,95 1,95
0,98 1,98
0,99 1,99
1 #DIV/0!
1,01 2,01
1,02 2,02
1,05 2,05
1,1 2,1
1,2 2,2
1,5 2,5
1,85
1,9
1,95
2
2,05
2,1
2,15
0,88 0,93 0,98 1,03 1,08 1,13
f(x)
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𝑓 𝑥 =
𝑥2−1
𝑥−1
=
𝑥+1 𝑥−1
(𝑥−1)
= 𝑥 + 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 ≠ 1
A diferença entre o limite lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) e a função f(1) é que, 
no limite, não é preciso que haja uma definição no valor 
de x=1, somente que haja uma aproximação de um valor 
y quando x tende a 1, tanto pela esquerda quanto pela 
direita.
Assim: lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2
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Atividade 1.5
• Noção intuitiva de limites. Limites laterais.
• Definição
• Propriedades
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Continuando com Limites
• Limites indeterminados
• Limites no infinito
• Limites infinitos
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