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Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Departamento de Matema´tica
MAT 040 – Estudo Dirigido de Ca´lculo I – 2017/I
Teste 9 - Entrega dia 25/05/2017:
Nome: Matr´ıcula: Turma:
Exerc´ıcio:
Seja f : R→ R deriva´vel. Os gra´ficos de f ′ e f ′′ sa˜o apresentados abaixo.
Com base nos gra´ficos acima e justificando cada uma das suas respostas, determine:
(a) O(s) intervalo(s) onde f e´ crescente e onde f e´ decrescente;
(b) Os pontos cr´ıticos de f. Classifique-os (ma´ximo ou mı´nimo relativo ou nenhum dos dois anteriores);
(c) O(s) intervalo(s) onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo e onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima;
(d) Os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f.
Soluc¸a˜o:
(a) . f e´ uma func¸a˜o crescente quando f ′(x) > 0, o que ocorre quando o gra´fico de f ′ esta´ acima do eixo
x. Assim, f e´ crescente em [2,∞).
. f e´ uma func¸a˜o decrescente quando f ′(x) < 0, o que ocorre quando o gra´fico de f ′ esta´ abaixo do
eixo x. Assim, f e´ decrescente em (−∞, 1] e [1, 2].
(b) . Os numeros cr´ıticos de f sa˜o os elementos de seu domı´nio onde a primeira derivada na˜o existe ou
onde a primeira derivada se anula. Notemos que f e´ deriva´vel em todo o seu domı´nio. Ale´m disso,
f ′ e´ nula em x = 1 e x = 2. Logo, (1, f(1)) e (2, f(2)) sa˜o pontos cr´ıticos de f.
. Pelo Teste da Primeira Derivada, como f ′(x) < 0 para x ∈ (1, 2) e f ′(x) > 0 para x ∈ (2,+∞), f
tem um mı´nimo relativo em x = 2. Assim, (2, f(2)) e´ ponto de mı´nimo relativo de f. (1, f(1)) na˜o e´
ma´ximo nem mı´nimo relativo de f.
(c) . f e´ uma func¸a˜o coˆncava para cima quando f ′′(x) > 0, o que ocorre quando o gra´fico de f ′′ esta´ acima
do eixo x. Assim, f e´ coˆncava para cima em (−∞, 1) e
(
5
3
,+∞
)
.
. f e´ uma func¸a˜o coˆncava para baixo quando f ′′(x) < 0, o que ocorre quando o gra´fico de f ′′ esta´
abaixo do eixo x.. Assim, f e´ coˆncava para baixo em
(
1,
5
3
)
.
(d) Um ponto (x0, f(x0)) e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f se existe reta tangente em x0 e existe um
intervalo aberto (a, b) contendo x0 tal que uma das seguintes condic¸o˜es e´ satisfeita:
(i) f ′′(x) > 0 para x ∈ (a, x0) e f ′′(x) < 0 para x ∈ (x0, b)
ou
(ii) f ′′(x) < 0 para x ∈ (a, x0) e f ′′(x) > 0 para x ∈ (x0, b).
Notemos que existe reta tangente em x = 1 (f ′(1) esta´ definida) e f ′′(x) > 0 para x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) < 0
para x ∈
(
1,
5
3
)
. Ale´m disso, tambe´m existe reta tangente em x =
5
3
(f ′
(
5
3
)
esta´ definida) e f ′′(x) < 0
para x ∈
(
1,
5
3
)
e f ′′(x) > 0 para x ∈
(
5
3
,+∞
)
. Portanto, (1, f(1)) e
(
5
3
, f
(
5
3
))
sa˜o pontos de
inflexa˜o do gra´fico de f.