prova de calculo 3

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InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Sistemas e Sinais
Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Inversão da Transformada de Laplace
A determinação da transformada de Laplace inversa
será realizada empregando a relação biunívoca entre
um sinal no tempo e sua transformada unilateral.
Considerando a função que se pretende obter a trans-
formada inversa representada na forma
, . 
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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A função pode ser representada também na forma
.
Se todos os pólos forem distintos, pode-se escrever
como soma de termos simples usando a expan-
são em frações parciais, da seguinte forma:
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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sendo
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Se o pólo for repetido r vezes, então haverão r termos
na expansão em frações parciais associadas a este pólo, 
na forma
.
A transformada de Laplace inversa de cada termo é obtida
usando-se o par
.
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Para o caso em que apresenta pólos complexos
conjugados na forma . , é conveniente re-
presentar estes termos por pares transformados já co-
nhecidos, por exemplo:
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Exemplo: 
Inversão da Transformada de Laplace
5.02)4)(1( 0 =Þ+=++ = AsssA s
3/12)4)(( 1 -=Þ+=+ -= BsssB s
6/12)1)(( 4 -=Þ+=+ -= CsssC s
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Resposta temporal:
Inversão da Transformada de Laplace
Inversão da Transformada de Laplace 8
f(t) para t³0 F(s)
î
í
ì
=®¥
¹®
d
0t
0t 0
)t(
1
î
í
ì
³®
<®
0t1
0t 0
)t(u
s
1
t
2
1
s
atket -
( ) 1kas
!k
++
( ) tsen w
22 w+
w
s
( ) tcos w
22 w+s
s
( )t sene ta w-
( ) 22as w++
w
( )t cose ta w-
 
( ) 22as
as
w++
+
Inversão da Transformada de Laplace 9
Gráfico Nome f(t) F(s)
Degrau )t(u s
1
Rampa )t(ut × 2s
1
Parábola )t(u2
 t2
3s
1
Senoidal
)t(u)tωsen(
w: freqüência [rad/s] 22s w+
w
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Exemplo 6.6: Determinar a transformada de Laplace 
inversa de 
Confira o resultado encontrado utilizando os Teoremas 
do Valor Final e Inicial.
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Exercício 6.6: Determinar a transformada de Laplace 
inversa de 
Confira o resultado encontrado utilizando os Teoremas 
do Valor Final e Inicial.
Inversão da Transformada de Laplace
InversInversão da ão da Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
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Exemplo 6.7: Determinar a transformada de Laplace 
inversa de 
.
Exercício 6.7: Obter a transformada de Laplace inversa
de 
. 
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
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Uma das aplicações da transformada unilateral de Laplace
em análise de sistemas é resolver equações diferenciais
com condições iniciais diferentes de zero. Para isto é uti-
lizado a propriedade da diferenciação.
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Exemplo 6.8: Obter a resposta temporal do siste-
ma descrito por
considerando como entrada , sendo a
condição inicial .
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Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
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Dado um sistema LTI descrito na forma de equações
diferenciais, a resposta temporal do sistema pode ser
obtida de forma sistemática utilizando as transformadas
de Laplace da resposta forçada e da resposta natural do 
sistema.
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Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
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É obtido considerando condições iniciais nulas;
É obtido considerando entrada nula.
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CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
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Exemplo 6.9: Obter a saída do sistema conside-
rando
sendo , assumindo condições iniciais 
e 
.
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais
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Exemplo 6.10: Considere o sistema massa, mola, amor-
tecedor
Com , 
com entrada .
Inversão da Transformada de Laplace
Resolvendo EquaResolvendo Equaçções Diferenciais comões Diferenciais com
CondiCondiçções Iniciaisões Iniciais