Prova_1_Resek

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
1a PROVA DE FIS403 - F´ısica Geral II 1o Semestre de 2011.
1a QUESTA˜O) (20 pontos) Duas esferas condutoras de raios a e 2a encontram-se separadas por
uma distaˆncia 104a. Nessa situac¸a˜o elas se atraem com uma forc¸a de mo´dulo F0. A seguir, elas
sa˜o colocadas brevemente em contato e enta˜o separadas novamente a` mesma distaˆncia inicial uma
da outra, e passam a se repelir com uma forc¸a F0/2. Determine as cargas originais das esferas,
considerando a = 2,0 cm e F0 = 9,0.10
−4 N.
2a QUESTA˜O) (30 pontos) Um disco vazado de raio interno a e externo 2a e´ carregado com carga
total Q distribu´ıda de maneira inversamente proporcional a` distaˆncia ao seu centro.
a) Determine o campo ~E e o potencial V eletrosta´ticos num ponto qualquer de seu eixo de simetria.
b) Uma part´ıcula de massa m e carga Q/2 e´ solta a partir do repouso a uma distaˆncia 2a do disco,
no seu eixo de simetria. Determine a velocidade com que a carga atingira´ o infinito.
3a QUESTA˜O) (35 pontos) O potencial numa regia˜o do espac¸o e´ dado por
V (r) = −V0
a
r e−
r
a .
Determine:
a) O campo ele´trico num ponto qualquer do espc¸o.
b) A densidade de cargas no ponto P (a, pi/2, 0) em coordenadas esfe´ricas.
c) A carga total contida numa esfera com centro na origem e raio 2a.
4a QUESTA˜O) (35 pontos) Uma esfera meta´lica oca de raios interno e externo respectivamen-
te iguais a a e 2a possui um excesso de carga igual a −2q, sendo q > 0. Exatamente no centro da
esfera e´ colocada uma carga puntiforme q. Determine:
a) As densidades de carga nas superf´ıcies interna e externa da esfera.
b) O trabalho necessa´rio para se transportar uma carga 3q do ponto
A ao ponto B, atrave´s da trajeto´ria mostrada na figura.
c) O vetor campo ele´trico nos pontos r = a/2, r =
3a
2
, e r = 4a.
FORMULA´RIO
Algumas Integrais
∫
un du =
un+1
n+ 1
, n 6= −1,
∫ 1
u
du = lnu∫ du√
a2 + u2
= ln
u+
√
a2 + u2
a
,
∫ u du√
a2 + u2
=
√
a2 + u2∫ du
(a2 + u2)3/2
=
1
a2
u√
a2 + u2
,
∫ u du
(a2 + u2)3/2
= − 1√
a2 + u2∫
sen au du = −1
a
cosu,
∫
cos au du =
1
a
senu∫
eau du =
1
a
eau
Vetor posic¸a˜o Cil´ındricas: ~r = ρ ρˆ+ z zˆ = ρ cosϕ xˆ + ρ senϕ yˆ + z zˆ
Esfe´ricas: ~r = r rˆ = r sen θ cosϕ xˆ + r sen θ senϕ yˆ + r cos θ zˆ
Elemento de linha Cartesianas: d~r = d~l = dx xˆ + dy yˆ + dz zˆ
Cil´ındricas: d~r = d~l = dρ ρˆ+ ρ dϕ ϕˆ+ dz zˆ
Esfe´ricas: d~r = d~l = dr rˆ + r dθ θˆ + r sen θ dϕ ϕˆ
Elemento de superf´ıcie Cil´ındricas: dS ′b = ρ
′ dρ′ dϕ′ dS ′l = ρ
′ dϕ′ dz′
Esfe´ricas: dS ′ = r′2 sen θ′ dθ′ dϕ′
Elemento de volume Cil´ındricas: dV ′ = ρ′ dρ′ dϕ′ dz′
Esfe´ricas: dV ′ = r′2 sen θ′ dr′ dθ′ dϕ′
Gradiente Cartesianas: ∇V = ∂V
∂x
xˆ +
∂V
∂y
yˆ +
∂V
∂z
zˆ
Cil´ındricas: ∇V = ∂V
∂ρ
ρˆ+
1
ρ
∂V
∂ϕ
ϕˆ+
∂V
∂z
zˆ
Esfe´ricas: ∇V = ∂V
∂r
rˆ +
1
r sen θ
∂V
∂ϕ
ϕˆ+
1
r
∂V
∂θ
θˆ
Divergente Cartesianas: ∇. ~A = ∂Ax
∂x
+
∂Ay
∂y
+
∂Az
∂z
Cil´ındricas: ∇· ~A = 1
ρ
∂
∂ρ
(ρAρ) +
1
ρ
∂Aϕ
∂ϕ
+
∂Az
∂z
Esfe´ricas: ∇· ~A = 1
r2
∂
∂r
(r2Ar) +
1
r sen θ
∂
∂θ
( sen θAθ) +
1
r sen θ
∂Aϕ
∂ϕ
Distribuic¸o˜es cont´ınuas
de cargas
Volume´trica: ρ(~r′) =
dQ
dV ′
dQ = ρ(~r′) dV ′
Superficial: σ(~r′) =
dQ
dS ′
dQ = σ(~r′) dS ′
Linear: λ(~r′) =
dQ
dl′
dQ = λ(~r′) dl′
Campo ele´trico de dis-
tribuic¸o˜es cont´ınuas de
cargas
~E =
1
4piε0
∫ (~r − ~r′) dQ
|~r − ~r′|3
Lei de Gauss
∮
S
~E·nˆ dS = Qi
ε0
, onde Qi e´ a carga total contida dentro da su-
perf´ıcie gaussiana S.
ou ∇. ~E = ρ
ε0
Potencial ele´trico Distribuic¸o˜es cont´ınuas: V =
1
4piε0
∫ dQ
|~r − ~r′|
Diferenc¸a de potencial
entre dois pontos
V (B)− V (A) = −
∫ B
A
~E· d~r = −
∫ ~rB
~rA
~E· d~r
dV =∇V · d~l = − ~E· d~l, ~E = −∇V
Energia potencial ele´tri-
ca:
Distribuic¸o˜es cont´ınuas: U =
1
2
∫
V dQ
Energia armazenada no campo ~E: U =
ε0
2
∫
V
E2dV
Trabalho realizado con-
tra o campo ele´trico
dW = −q ~E· d~l = q dV
WA→B = q[V (B)− V (A)] = q∆V = ∆U