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LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 1 Centro Universitário UNA Instituto Politécnico Estatística/ Probabilidade Aluno: Prof. Luiz Marcos R.A.: Turma: data: ____/10/2014 LISTA DE PROBABILIDADE UM Curso: 2014 – 2º semestre Exercício 1 As amostras abaixo representam uma amostra relativa a análise estatística sobre o tempo de atendimento do setor de pronto atendimento 3 centros regionais, regional 1,2 e 3, sendo que a amostra da regional 3 é representada por um gráfico probabilístico. Nesta análise a variável observada foi o tempo de atendimento dos pacientes , dado em minutos, tal que: Regional 1 = 12311524192330 3210252522255,24 8,27142523251725 T1 Regional 2 = 3127241913 1833273923 1425272333 T2 Regional 3 As amostras das regionais 1 e 2 representam respectivamente 0,4%, 0,5 % dos atendimentos em um mês, ao passo que 150 pessoas compuseram a amostra da regional 3 representando 5% dos atendimentos de um mês. Analise os dados e preencha o relatório abaixo. Uma análise do setor de pronto atendimento de 3 centros regionais foi realizada tal que os dados avaliados são apresentados acima. Estima-se que em um mês na regional 1 foram atendidos um total aproximado de _____________pacientes , enquanto que na regional 2 aproximadamente ____________ pacientes. Na regional 2 foram atendidos um total de ____________ pacientes em um tempo superior a 30 minutos, enquanto que na regional 1 aproximadamente ____________ pacientes foram atendidos em tempo superior a 30 minutos. Na regional 3 verifica-se que __________% dos pacientes foram atendidos com tempo superior 15 minutos. Verificou- se que o menor tempo médio de atendimento foi o da regional __________ que foi de aproximadamente _______minutos. Observando-se o tipo de atendimento da regional 3 pode-se afirmar que um número total aproximado de_________ pacientes apresentavam atendimento tipo 1 (fraturas) ao se encaminharem ao setor de pronto atendimento. Finalmente verifica-se que a amostra que apresenta menor grau de oscilação é a relativa à amostra da regional ________ ( 1-2-3) que foi de aproximadamente igual a _________% . Gráfico 1 – Tipo de atendimento regional 3. tipo 1 26% tipo 2 17% tipo 3 8% tipo 4 21% tipo 5 28% LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 2 Exercício 2 Dada a distribuição de probabilidade representada na tabela abaixo: Xi 13 18 25 34 45 58 75 P(Xi) 0,05 0,125 0,175 0,225 0,200 0,150 0,075 a) Afirme justificando se a tabela apresentada de fato representa uma distribuição de probabilidades. b) Construa o gráfico c) Calcule a dif% entre o valor modal e a esperança matemática. Respostas: a) sim, Σ P(Xi) = 1 b) O valor modal é 7,17% superior à esperança matemática tendo-se E[x] como referência. Exercício 3 No lançamento simultâneo de dois dados, considere a seguinte variável aleatória. X = número de pontos obtidos no primeiro dado. Y = número de pontos obtidos no segundo dado Construir a distribuição de probabilidades através de uma tabela da seguinte variável: A = 4X – 3Y. Determine: a) Calcule o valor médio, o valor modal e o desvio padrão. b) Calcule P(A>5), P(5 ≤ A ≤ 10) Exercício 4 Verifica-se que uma região apresenta um perfil de doenças infantis, para crianças com menos de um ano, mostrado no gráfico, ao lado, em que: X = 1 – anemia crônica X = 2 – óbitos X = 3 – problemas respiratórios. X = 4 – disfunções neurológicas. X = 5 – problemas cardíacos. O restante das crianças ( X = 0) não apresentou problemas neste período inicial de vida, sendo consideradas saudáveis. LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 3 Respostas: a) 1/8 b) 2600 crianças c) Provavelmente gastar-se-á algo em torno de R$ 125905,00 para um programa conjuntural de infraestrutura básica alimentar para o total provável de crianças com caso de anemia crônica. Exercício 5 O levantamento probabilístico sobre o nível salarial dos profissionais que atuam no setor de inteligência estratégica das empresas de duas regiões. 1-Baseando-se na relação percentual entre µ(sal) e σ(sal) sobre tal informação, determine e justifique qual região seria ideal para um grupo de profissionais com grande experiência. 2- Construa os gráficos relativos à cada região Região A Salários 2 4 6 8 10 12 14 16 P(Sal=x) 1/28 6/28 5/28 5/28 4/28 5/28 1/28 1/28 Região B Salários 2 4 6 8 10 12 14 16 P(Sal=x) 1/25 3/25 6/25 6/25 5/25 2/25 1/25 1/25 Respostas: Região B: E[sal] = 7,84 salários mínimos, VAR[X] = 14,2144 salários mínimos 2, σ(sal) =3,7702 salários mínimos, % = 48,09 % Exercício 6 Três torradas são lançadas ao ar. Tais torradas tem um lado com um ponto de manteiga e outro completamente sem, LM e LS. Definindo-se a variável aleatória como x = número de torradas com lado da manteiga ao chão, faça: a) construa o o espaço amostral b) calcule a probabilidade de duas torradas caírem com lado com manteiga virado para o chão. Exercício 7 Uma urna contém 15 esferas, das quais 6 são verdes e o restante brancas. São retiradas duas bolas, uma pós a outra, tendo-se reposição. Calcular a probabilidade de: a) ambas serem brancas b) uma branca e a outra verde. Respostas: a) 9/25 b) 6/25 Exercício 8 A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 5/7 e a de seu marido é 5/9. Calcule a probabilidade de daqui a 30 anos a) Ambos estrem vivos. b) Somente a mulher estar viva. c) Somente o homem estar vivo. d) Nenhum dos dois estar vivos. Respostas: a) 25/63 b) 20/63 c) 10/63 d) 8/63 Exercício 9 A probabilidade de você resolver um exercício é 4/9 e a probabilidade de seu colega ao seu lado resolver é 3/7. Qual a probabilidade de que: LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 4 a) só você resolva o exercício. b) o problema não seja resolvido por nenhum de vocês. c) somente um de vocês resolva o problema Respostas: a) 16/63 b) 29/63 c) 31/63 Exercício 10 Uma pesquisa é realizada com certo número de pessoas sobre a preferência na escolha de candidatos em uma eleição resultando no quadro abaixo: Grau de Instrução Candidato Até 1º grau Até 2º grau Superior Total A 90 75 50 B 30 50 60 C 40 30 20 D 30 35 60 Total Um eleitor é escolhido ao acaso, calcule: a) a probabilidade do escolhido ser eleitor do candidato C. b) a probabilidade do escolhido ser eleitor do candidato A, com curso superior. c) a probabilidade do escolhido ter segundo completo. d) a probabilidade do eleitor ser eleitor do candidato B. e) Sabendo-se que o escolhido tem 2º grau completo, qual a probabilidades de ser eleitor do candidato D? f) Dado que o escolhido tem curso superior completo, qual a probabilidade de ser eleitor docandidato A? Respostas: a) 3/19 b) 5/57 c) 38/57 d) 14/57 e) ¼ f) 5/19 Exercício 11 Deseja-se formar um número com 5 dígitos com os algarismos; 7, 5, 6, 0, 4, 9 e 2, escolhido ao acaso: a) qual a probabilidade do número ser par. b) qual a probabilidade do número ser maior que 25000. Exercício 12 Dada a distribuição de probabilidades abaixo: Xi 1,5 1,7 1,9 2,5 2,8 3,1 3,4 3,9 4,1 4,4 P(Xi) 0,05 0,07 0,08 0,20 0,25 0,18 0,1 0,04 0,02 0,01 Determine: a) O valor de P(1,5 ≤ X ≤ 2,5) b) A variância e o desvio padrão, explique o resultado obtido. c) O valor da relação percentual entre o desvio padrão e o valor médio de X, tendo-se o valor médio como referência. Exercício 13 Dada a distribuição de probabilidade abaixo: X=x 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 5 P(x) 4p 8p 13p 15p 12p 10p 9p 5p 3p p a) considerando-se que a tabela acima represente de fato uma distribuição de probabilidade calcule o valor de p que valide tal consideração. b) Calcule a probabilidade de P(26 ≤ X < 45) c) Calcule a probabilidade de P(X > 40) d) Calcule a probabilidade de P(X ≤ 55) e) Determine o valor de E[X] (ou µ(X)) f) Determine o valor de Mo(X). g) Determine o valor de VAR[X] (ou σ2(X)) h) Determine o valor da relação percentual entre σ(X) Respostas: a) p = 1/80 b) 0,45 c) 0,5 d) 0,8875 e) 43,69 f) 40 g) 112,96 h) 24,33% Exercício 14 Verifique se a função abaixo é uma função de probabilidade. P(x) = (x2 + 5)/10 , para x = 0, 1, 2, 3, 4 Exercício 15 Verifique se a função abaixo é uma função de probabilidade. R(x) = 0,2 , para x = 0, 1, 2, 3, 4 a) Se representa uma função de probabilidade construa uma tabela representando tal distribuição b) No mesmo contexto da letra a, construa um histograma representativo da distribuição de probabilidade. Distribuição Geométrica 1) A probabilidade de acertar um número na loteria de 100 números, com um único jogo, é de 1%. Qual a probabilidade de que seja necessário jogar 20 vezes para acertar um número pela primeira vez? Resposta: 0,083 2) A probabilidade de se encontrar o sinal de trânsito aberto em uma esquina é de 2 a cada 10 vezes. Qual a probabilidade de que seja necessário chegar ao local pela quinta vez, para se encontrar pela primeira vez o sinal aberto? Resposta: 0,0819 3) Um individuo retira de uma urna fichas iguais de cores distintas que lhe darão ou não um premio especial. Sabe-se que há nesta urna 120 fichas, 5 são verdes, referentes ao prêmio especial; 15 são azuis referentes à um prêmio de consolação; 40 são brancas referentes a uma nova tentativa de retirada de ficha as restantes são rochas referentes ao pagamento de uma prenda, declamar um poesia ou contar uma piada. Em cada retirada a ficha é verificada e em seguida recolocada na urna. Calcule; a) a probabilidade de que na sexta tentativa o cidadão ganhe premio de consolação. b) a probabilidade de que na quarta tentativa o cidadão tenha que pagar uma prenda. c) a probabilidade de que na segunda tentativa o cidadão ganhe o prêmio especial. Respostas: a) 0,000171 b) 0,00617 c) 0,0139 LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 6 4) A probabilidade de se encontrar o sinal de trânsito aberto em um cruzamento é igual a 0,2. Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo cruzamento 5 vezes, para encontra-lo aberto pela primeira vez? Resp.: 0,08192 5) Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de 0,4 , qual é a probabilidade de P (2 ≤ X < 4). Resp.: 0,2304 6) Um pesquisador está realizando um experimentos químico independentes e sabe que a probabilidade de que cada experimento apresente uma reação positiva é 0,3. Qual é a probabilidade de que menos de 5 reações negativas ocorram antes da primeira positiva? Resp.: 0,8319 Distribuição Binomial 1) Se x for uma variável aleatória binomial, utilize a tabela disponibilizada e determine a probabilidade de ocorrência de x em cada uma das situações abaixo; a) n = 10, x = 8, p = 0,3 b) n = 8 , x = 7, p = 0,95 c) n = 15, x = 3, p = 0,05 resp.: P(x) =0,0307 d) n = 9, x = , p =0,5 e) n = 6, x =1, p =0,01 2) O fabricante de uma máquina, integrante da linha de produção de parafusos, afirma que 10% da produção apresentam algum tipo de imperfeição. Calcular a probabilidade de, em um lote de 18 parafusos produzidos por essa máquina, apresentarem defeituosos: a) Exatamente 5 parafusos. b) Pelo menos 3 parafusos. c) Entre 3 e 5 parafusos. d) No máximo 3 parafusos. Respostas: a) 0,0218 b) 0,2662 c) 0,2598 d) 0,9018 3) A probabilidade de que um paciente se recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas contraíram essa doença, qual é a probabilidade de que: a) Exatamente 5 sobrevivam. b) De três a oito pessoas sobrevivam c) Pelo menos 10 sobrevivam Respostas: a) 0,1859 b) 0,8779 c) 0,0339 4) Um exame de múltipla escolha apresenta 20 questões. Cada questão tem quatro respostas possíveis, com apenas uma correta. Um “estudante” tentará realizar o exame por palpites. Qual a probabilidade de: a) Acertar 10 questões b) Acertar mais de 11 questões. Respostas: a) 0,009 b) 0,007 5) Suponha que a probabilidade de um individuo do sexo masculino, com mais de 60 anos, com vida sedentária e tabagista de desenvolver uma doença cardiovascular (DVC) nos próximos 8 anos é de 40%. A partir de um estudo controle com 10 indivíduos com essas características, determine: a) A probabilidade de menos de 3 indivíduos tenham DVC no período considerado. b) A probabilidade de que mais de 2 indivíduos tenham DVC no período considerado. LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 7 Resposta: a) 0,1672 b) 0,8328 6) Uma urna contém 15 bolas brancas, 18 pretas e 17 vermelhas. Retiram-se 20 bolas com reposição, qual a probabilidade de que: a) 2 sejam brancas b) Pelo menos 3 sejam vermelhas c) No máximo 2 sejam prestas. Respostas: a) 0,0278 b) 0,9848 c) 0,0096 (dica: em cada letra tem um valor de p diferente) 7) Sabe-se que 15% dos motores submetidos a um repara apresentam algum tipo de defeito logo em seguida. Se 40 motores forem submetidos a um reparo, e sendo X o número dos motores que apresentam algum tipo de defeito após o reparo, determine: a) a média e o desvio padrão da variável X. b) P(3 ≤ X < 6) c) P( X ≥ 2) d) P(5 < X < 8) e) P ( 2 < X < 5) f) P ( 3 ≤ X ≤ 5) g) P( x < 3) Respostas: a) 6, 2,26 b) 0,3839 c) 0,9879 d) 0,3234 e) 0,3839 f) 0,3839 g) 0,0486 8) Suponha que a probabilidade de um indivíduo do sexo masculino, com mais de 60 anos, vida sedentária e tabagista ativo de desenvolver uma doença cardiovascular (DVC) nos próximos oito anos é de aproximadamente 40%. A partir de um estudo de análise e controle com 10 indivíduos com tal perfil, qual a probabilidade de que menos de 3 desenvolvam DVC. Resp.: 0,1672 9) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de 10 tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% detubos defeituosos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? Resp.: 0,0678 10) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação que deve produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis? Resp.: 0,0449 Distribuição de Poisson 1) A probabilidade das peças produzidas por uma máquina apresentam padrões fora de especificações é de 0,5%. Para uma produção diária de 1000 peças, qual a probabilidade de apresentarem-se: a) 3 peças b) No máximo duas c) entre 3 e 6 peças, inclusive. Respostas: a) 0,1404 b) 0,1247 c) 0,6375 2) A experiência mostra que de cada 500 rojões (foguetes), 3 falham ao serem acesos. Qual a probabilidade de que: a) menos de 4 falhem ao ascender-se 600 foguetes. b) ao ascender 800 foguetes, exatamente 9 falhem. Repostas: a) 0,5152 b) 0,0307 3) O número de profissionais em uma região que recebem acima de 20 salários mínimos, SM, é de 3 para cada 75000. Qual a probabilidade de que em: LISTA DE EXERCÍCIOS DE PROBABILIDADES PARTE UM Estatística /Probabilidades – Lista de exercícios Probabilidade – PARTE 1 – 2014/DOIS 8 a) 300000 profissionais desta região, exatamente 10 ganhem mais 20 SM.? b) 137500 profissionais desta região, pelo menos 4 ganhem mais de 20 SM? Respostas: a) 0,1048 b) 0,7983 4) A probabilidade de uma pessoa sofre intoxicação alimentar na lanchonete de um parque de diversões é 0,1%. Com o auxílio da aproximação de Poisson, determine a probabilidade de que em 2000 pessoas dia no parque, no máximo três tenham intoxicação. Resposta: 0,8571 5) Se 2,5 % das lâmpadas fabricadas por uma indústria são imperfeitas, determine a probabilidade de que em uma mostra com 200 lâmpadas encontramos: a) Nenhuma defeituosa. b) Duas defeituosas. c) Mais de 3 defeituosas. d) Entre 2 e 5 defeituosas, inclusive. Repostas: a) 0,0067 b) 0,0842 c) 0,7350 d) 0,5755. 6) Suponha que uma em cada mil pessoas que utilizam determinada medicação sofre uma reação negativa (choque, urticária ou mal estomacal). Num total de 500 indicações prescritas por médicos qual a probabilidade de: a) De que uma pessoa sofra reação negativa b) De que mais de uma pessoa sofra reação negativa. Resposta.: a) 0,3033 b) 0,60065
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