Terceira_lista

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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
3a Lista de Exerc´ıcios – FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL COMPLEXA
01. Mostre que:
a) |ez| > 0, para todo z ∈ C.
b) (ez) = ez¯, para todo z ∈ C.
c) ez1+z2 = ez1ez2 , para todo z1, z2 ∈ C.
d)
ez1
ez2
= ez1−z2 , para todo z1, z2 ∈ C.
02. Para que valores de z ∈ C vale que eiz¯ = eiz¯?
03. Calcule: e
5+ipi
4 ; e
7+i3pi
2 ; Ln (−i); Ln(1− i√3); ii; (1 + i√3)i; (iepi)i; 12−i.
04. Escreva na forma f(z) = u(x, y) + iv(x, y) a func¸a˜o f(z) = Ln z e calcule f ′(z).
05. Mostre que: a) Ln(z1z2) = Ln z1 + Ln z2; b) Ln
(
z1
z2
)
= Ln z1 − Ln z2; c) Ln(zm) =
mLn z, onde m ∈ N.
06. Mostre que zα+β = zαzβ, para todo z, α, β ∈ C com z 6= 0.
07. Para todo z, w, α, β ∈ C com z, w 6= 0, mostre que:
a) (zw)α = zαwα
b) (zα)β = zαβ.
08. Calcule todas as ra´ızes das equac¸o˜es: a) sen z = 0; b) cos z = 0.
09. Determine os domı´nios ma´ximos de definic¸a˜o das func¸o˜es tg z, cotg z, cosec z e sec z.
10. Mostre que as func¸o˜es sen z e cos z sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2pi, como no caso real.
Mostre que as func¸o˜es senh z e cosh z sa˜o perio´dicas de per´ıodo 2pii.
11. Prove as seguintes relac¸o˜es: sen2 z + cos2 z = 1; sen(−z) = − sen(z); cos(−z) =
cos(z); sen(z1 + z2) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2; cos(z1 + z2) = cos z1 cos z2 − sen z1 sen z2;
sen(iz) = i senh(z); cos(iz) = cosh(z); cosh2 z − senh2 z = 1; senh(z1 + z2) = senh z1 cosh z2 +
cosh z1 senh z2; cosh(z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + senh z1 senh z2.
12. Para quais valores de z valem as igualdades: a) cos(iz¯) = cos(iz); b) sen(iz¯) = sen(iz).
13. Calcule a derivada das func¸o˜es: arccos z; arccosh z; arcsen z; arcsenh z.
14. Mostre que arctg z =
i
2
Ln
i+ z
i− z , e que (arctg z)
′ =
1
1 + z2
.