Est_Sol_estrutura_cristalina_excelente

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Introdução à Física do 
Estado Sólido
Lucy Lucy Lucy Lucy V. C. V. C. V. C. V. C. AssaliAssaliAssaliAssali
2222oooo semestre/2012/2012/2012/2012
Estrutura Cristalina
Física do Estado Sólido: Estudo dos cristais e dos elétrons nos cristais
⇒ Cristais: Arranjo atômico regular
Repetição regular e uniforme de blocos elementares ou funda-
mentais, idênticos
⇒Blocos Elementares: constituídos por átomos ou grupo de átomos
Arranjo tridimensional periódico de átomos
Lucy V. C. Assali
Sólidos Ideais: 
Estruturas Cristalinas Periódicas
Estrutura Cristalina
Cristal ideal Repetição de uma estrutura elementar,
constituída por um grupo de átomos
Corpo sólido obtido por translações in-
finitas de um bloco elementar ou célu-
la primitiva (menor volume)
Arranjo periódico de células dá origem
ao cristal infinito
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Os cristais mais simples na sua unidade estrutural são representados por
um único átomo (Cu, Ag, Al, Li, Na, …). A densidade de tais sólidos é da
ordem de 1 g/cm3. Como 1g contém ≈1023 átomos, a dimensão linear
desses cristais é da ordem de ≈10−8 cm (1 Å =10−10 m).
Exemplos de cristais que contém dois átomos por célula são Si, GaAs,
NaCl, diamante, etc. Existem, também, cristais cuja unidade estrutural
elementar é representada por um conjunto de átomos que são de ≈100
átomos para cristais inorgânicos e de ≈10.000 para cristais de certas
proteínas.
Podemos descrever todos os cristais em termos de uma rede (conjunto de
pontos no espaço ⇒ abstração matemática) com um grupo de átomos
associado a cada ponto dessa rede, o qual chamamos de base. A repetição
dos conjuntos rede + base formam as estrutura cristalinas, as quais po-
dem ser obtidas a partir de uma mesma rede de pontos usando diferentes
tipos de átomos para compor a base.
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Estrutura cristalina = rede + base
Sólidos Ideais: 
Estruturas Cristalinas Periódicas
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Sólidos Ideais: Rede e vetores de translação
Rede = arranjo periódico regular de pontos no espaço 
Lucy V. C. Assali
→ Vetores primitivos:
→ Vetores de translação
da rede:
→ As posições de todos
os pontos da rede são
combinações lineares
dos vetores primitivos.
Por exemplo:
(N. W. Ashcroft, Solid State Physics)
Estrutura Cristalina
Sólidos Ideais: Rede e vetores de translação
Q
P
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Rede + Base
Quando associamos uma base de átomos, ligada a cada ponto da rede,
formamos a estrutura cristalina .
Exemplo: rede unidimensional:
Estrutura cristalina 
com 1 átomo/célula
Estrutura cristalina 
com 2 átomos/célula
Lucy V. C. Assali
a
x
a
x
Estrutura Cristalina
Rede + Base
O agrupamento dos átomos da base é definido pelo vetor
Estrutura cristalina 
com 1 átomo/célula
Estrutura cristalina 
com 2 átomos/célula
Estrutura Cristalina: Rede + Base
Lucy V. C. Assali
a
x
a
x
Estrutura Cristalina
A definição dos vetores primitivos de translação garante que não exis-
te nenhuma célula com volume menor que o definido por estes vetores, que
poderia servir como bloco elementar para a construção da rede. Em três
dimensões os vetores de translação primitivos formam um paralelepípedo
primitivo, chamado de célula primitiva. Uma translação da rede é definida
como uma operação que desloca o paralelepípedo paralelamente a si mes-
mo, através dos vetores de translação da rede, preenchendo todo o espaço:
a3
a1
a2
O volume da célula primitiva é definido pelos
vetores primitivos e vale
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Estrutura Cristalina
Existem várias maneiras de se escolher os vetores primitivos e, portanto, a
célula primitiva. Entretanto, para todas as escolhas, o volume deve ser o
menor possível e a densidade será de um ponto da rede por célula primitiva.
Vamos supor uma rede bidimensional e escolher vetores primitivos para
definir a célula primitiva. Existem diferentes possíveis escolhas de pares
de vetores primitivos para descrever a rede bidimensional, mas todas elas
devem definir uma área que é a mínima possível, de modo que as opera-
ções de translação preencham todo o plano.
Essas escolhas le-
vam à uma mesma
área primitiva A
A base primitiva, associada à célula primitiva, deve conter o menor
número de átomos, ou seja, nenhuma base pode conter um número de
átomos menor do que o número de átomos contido na base primitiva
Lucy V. C. Assali
Célula de Wigner-Seitz: Outra maneira de escolher uma célula
primitiva. Construção: linhas perperdiculares (rede bidimensional) ou planos
perpendiculares (rede tridimensional), passando no ponto médio dos
segmentos de reta que unem um dos pontos da rede aos pontos primeiros
vizinhos na rede. Com isso delimita-se uma área geométrica plana ou um
volume poliédrico. O volume (área) obtido(a) com esta construção é
mínimo(a) e a repetição desta figura geométrica, no espaço, compõe a rede.
Estrutura Cristalina
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
As redes matemáticas definidas pelos vetores
Tipos de Redes
são chamadas Redes de Bravais.
Além das operações de simetria de translação, que transformam as redes
nelas mesmas, existem também operações de simetria pontuais, as quais
compreendem rotações, inversões e reflexões. Em torno de certos pontos
especiais, no interior da célula primitiva, é possível a aplicação de opera-
ções de simetria pontuais que transformam o cristal nele mesmo. Exami-
nando os ângulos possíveis de rotação entre os vetores primitivos de uma
célula primitiva, obrigando que essa simetria rotacional esteja associada
com a simetria translacional da rede, podemos obter as possíveis rotações
que são compatíveis com as translações, passíveis, portanto, de pertencer
às redes cristalinas (exercício da lista).
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Da análise das possíveis operações pontuais, chegamos à conclusão que
só rotações de 2pi, 2pi/2, 2pi/3, 2pi/4 e 2pi/6 são compatíveis com as
operações de translação do cristal (2pi/n com n=1,2,3,4 e 6) . Elas dão
origem a figuras geométricas como triângulos, quadrados, retângulos e
hexágonos. Simetrias de 5a e 7a ordens não podem ser combinadas com
a periodicidade translacional.
Tipos de Redes
Um eixo de simetria de 5a ordem não pode
existir em uma rede porque não é possível
preencher todo o espaço da rede mediante
uma arrumação contínua de pentágonos
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Estrutura Cristalina
Existem cinco tipos de redes de Bravais bidimensionais: quadrada, retangular,
hexagonal, retangular centrada e oblíqua.
Redes de Bravais em duas dimensões
ϕ
Retangular Hexagonal
ϕ
Quadrada
ϕ
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Redes de Bravais em duas dimensões
Na categoria de rede oblíqua, existe um número ilimitado de redes de
Bravais, pois não existe nenhuma restrição sobre os comprimentos a ( )
e b ( ) dos vetores de translação da rede, ou sobre os ângulos ϕ entre
estes vetores. Elas são invariantes somente por rotações de pi e de 2pi em
torno de qualquer ponto da rede ( ).
esta rede bidimensional não é uma célula primitiva. No entanto, ela é assim
classificada pois possui uma relação mais óbvia com elementos de simetria e
com os eixos cartesianos. Ela contém 4 vértices e cada vértice é
compartilhado com 4 células primitivas vizinhas, além do ponto central.
Portanto, o número de pontos da rede na célula é 1/4 x 4 + 1 = 2 ∴∴∴∴
convencional ≠≠≠≠ primitiva
ϕ
Retangular
Centrada ∗
Primitiva φ
Lucy V. C. Assali
Estrutura Cristalina
Redes de Bravais em três dimensões
Existem 7 sistemas cristalinos e 14 tipos de redes de Bravais
tridimensionais, classificadasde acordo com as células unitárias ou
convencionais, que nem sempre são células primitivas. Isto porque uma
célula não primitiva possui uma relação mais óbvia com elementos de
simetria e com os eixos cartesianos. Os sete sistemas são: triclínico (1),
monoclínico (2), ortorrômbico (4), tetragonal (2), cúbico (3), trigonal (1) e
hexagonal (1). As relações entre os vetores primitivos e os ân-
gulos α, β e γ são:
α
β
γ
Os módulos dos vetores primitivos são chamados 
de parâmetros de rede tal que
Lucy V. C. Assali
Sistema 
Cristalino
Relação 
Axial
Ângulos 
Interaxiais
Geometria da 
Célula Convencional
Cúbico (3) 
Hexagonal (1)
Tetragonal (2)
Romboedral
(1) (Trigonal)
Redes de Bravais em três dimensões
Lucy V. C. Assali
Redes de Bravais em três dimensões
Sistema 
Cristalino
Relação 
Axial
Ângulos 
Interaxiais
Geometria da 
Célula Convencional
Ortorrômbico (4) 
Monoclínico (2)
Triclínico (1)
Lucy V. C. Assali(W. D. Callister, Fundamentals of materials science and engineering)
Cúbica Simples
CS (P)
Cúbica de Corpo
Centrado
CCC (I)
Cúbica de Faces
Centradas
CFC (F)
Redes de Bravais Cúbicas (3)
Todas elas apresentam 
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
1 ponto em cada 
vértice do cubo
1/8 de ponto em cada um dos 8
vértices do cubo está na célula
primitiva: 1/8 x 8 = 1 ponto por
célula∴∴∴∴ convencional = primitiva
Rede de Bravais Cúbica Simples: 
contando pontos na célula primitiva
Vetores primitivos
Lucy V. C. Assali
1/8 de ponto em cada um dos 8 vértices do cubo está
na célula: 1/8 x 8=1 ponto. 1 ponto central, totalmente
contido na célula ∴∴∴∴ 1+1=2 pontos/célula ⇒⇒⇒⇒ célula
convencional ≠≠≠≠ célula primitiva
Rede de Bravais CCC
Vetores primitivos
a2
→→→→
a3
→→→→
→→→→
a1
/2
109°28′
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
1/8 de ponto em cada um dos 8 vértices do cubo está
na célula: 1/8 x 8 = 1 ponto. 1/2 ponto em cada uma
das faces do cubo está na célula: 1/2 x 6=3 pontos
na célula ∴∴∴∴ 1 + 3 = 4 pontos/célula ⇒⇒⇒⇒ célula
convencional ≠≠≠≠ célula primitiva
Rede de Bravais CFC
Vetores primitivos
/4
→→→→
→→→→
a3
→→→→
a1
a2
60°
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Características das Células Cúbicas
Lucy V. C. Assali
Elementos monoatômicos com 
estrutura cristalina CCC
Lucy V. C. Assali
Elementos monoatômicos com 
estrutura cristalina CFC
Lucy V. C. Assali
Tetragonal 
Simples (P)
Tetragonal de Corpo
Centrado (I)
Redes de Bravais Tetragonais (2)
Todas elas apresentam 
Lucy V. C. Assali
Ortorrômbica 
Simples (P)
Ortorrômbica 
de Corpo
Centrado (I)
Redes de Bravais Ortorrômbicas (4)
Todas elas apresentam 
Ortorrômbica 
de Faces
Centradas (F)
Ortorrômbica 
de bases 
Centradas (C)
Lucy V. C. Assali
ββ
Monoclínica 
Simples (P)
Redes de Bravais Monoclínicas (2)
Todas elas apresentam 
Monoclínica
de bases 
Centradas (C)
Lucy V. C. Assali
Rede de Bravais Hexagonal 
Vetores primitivos
→→→→
120°
→→→→
a1
a3
→→→→
a2
j^
Apresenta 
Relação entre a célula primitiva no sis-
tema hexagonal (linhas cheias) com o
prisma de simetria hexagonal
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Fator de agrupamento ou empilhamento
atômico (FEA) de uma estrutura cristalina:
O fator de empilhamento ou empacotamento atômico (f) de uma estrutura
cristalina dá uma indicação de quão densa é a estrutura considerada. Ele
fornece a fração máxima disponível na estrutura cristalina, preenchida pelos
átomos, considerando-os como esferas rígidas. Assim, o FEA é a razão
entre o volume ocupado pelas esferas rígidas e o volume da célula:
Assim, quanto maior o FEA f (mais próximo de 1) maior é o empacotamento
e menor o espaço vazio da estrutura cristalina.
Lucy V. C. Assali
Fator de empacotamento atômico de um 
elemento monoatômico com estrutura CCC 
a
a 4R
Neste caso, o volume de cada uma das esferas será:
O volume da célula primitiva é a3/2 e tem um átomo, ou o volume da célula
convencional é a3 e tem dois átomos. Assim, o FEA é
Lucy V. C. Assali(W. D. Callister, Fundamentals of materials science and engineering)
Fator de empacotamento atômico de um 
elemento monoatômico com estrutura CFC 
4R
a
a
Neste caso, o volume de cada uma
das esferas será:
O volume da célula primitiva é a3/4 e tem um
átomo, ou o volume da célula convencional é
a3 e tem quatro átomos. Assim, o FEA é
maior valor encontrado ∴ esta estrutura é a mais empacotada
Lucy V. C. Assali(W. D. Callister, Fundamentals of materials science and engineering)
Sistema de Índices para os Planos Cristalinos
Os pontos de uma rede podem ser visualizados como dispostos em uma série de
planos paralelos e espaçados de um distância d. A escolha desses planos pode ser
feita de várias maneiras escolhendo-se 3 pontos quaisquer não colineares. Devido à
simetria translacional da rede, cada plano conterá, obrigatoriamente, infinitos pontos. O
deslocamento destes planos, em uma direção perpendicular a si mesmo, da distância
d, reproduzirá toda a distribuição de pontos da rede. Definimos uma família de planos
como sendo um conjunto de planos paralelos contendo todos os pontos da rede.
d1
d2
d3
d4
d5
Lucy V. C. Assali
a3
→→→→
a1
→→→→
→→→→
a2
2
Para se obter os índices que determinam uma certa família de planos, chamados
índices de Miller, toma-se, em unidades dos vetores primitivos, a que distância da ori-
gem um particular plano corta os eixos. Chamando essas distâncias de s1, s2 e s3,
tomamos os seus inversos (1/s1, 1/s2, 1/s3) e reduzimos as frações ao mínimo deno-
minador comum, abandonando o denominador (obs. se o plano for paralelo à um eixo,
supomos que o corta no infinito e o índice referente à esse eixo é zero). Assim, os ín-
dices de Miller (hkℓ ) são números inteiros, sem fator comum, que são obtidos
multiplicando-se (1/s1, 1/s2, 1/s3) por um mesmo número. Para ilustrar esse procedi-
mento, vamos calcular os índices de Miller do plano da figura abaixo, que corta os eixos
nos pontos s1=3, s2=2 e s3=2. Assim
Sistema de Índices para os Planos Cristalinos
(1/s1, 1/s2, 1/s3) = (1/3, 1/2, 1/2) 
(2/6, 3/6, 3/6) 
(233) 
mínimo denominador comum
índices de Miller
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
(110)
(120)
(010)
(310)
(140)
(100)
Diversos tipos de planos numa rede cristalina CS de parâmetro de rede a. Os planos
estão indicados pelos seus respectivos índices. A distância entre dois planos paralelos
consecutivos tende a diminuir à medida que os índices aumentam.
d110 = 0,71a
d310 = 0,32a
d010 = a
d100 = a
d120 = 0,45a
d140 = 0,26a
Lucy V. C. Assali
Sistema de Índices para os Planos Cristalinos
Sistema de Índices para os Planos Cristalinos
A figura abaixo mostra os índices de Miller de planos importantes para uma rede
cúbica. O plano (200) é paralelo aos planos (100) e (100). OBS. Em cristais cúbicos,
a direção [hkℓ] é perpendicular aos planos (hkℓ) e uma família de planos equivalentes
é designada por {hkℓ}. Assim, as seis faces de um cubo são {100}. A distância entre
dois planos consecutivos, para um cristal CS de parâmetro de rede a é dada por
Lucy V. C. Assali
este plano só
existe nas re-
des CCC e
CFC
(100) (110) (111)
(200) (100) 
(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Cl−
Cs+
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
1.Estrutura Cristalina do Cloreto de Césio (CsCl)
É umarede de Bravais CS com uma base de dois átomos:
um íon Cl− na posição (0, 0, 0) e um íon Cs+ na posição
(1/2, 1/2, 1/2). A rede de Bravais do cloreto de césio é CS
pois o vetor a/2(1, 1, 1), que leva o Cl− noCs+, não é um
vetor de translação da rede, pois Cl− ≠ Cs+. Cada átomo de
uma espécie se encontra no centro de um cubo formado por
átomos da espécie oposta. Esta estrutura pode ser imagina-
da como duas redes CS, de parâmetro de rede a, desloca-
das de metade da diagonal do cubo, cada uma delas com átomos de uma espécie em
seus vértices. Cada Cs+ está rodeado de 8 primeiros vizinhos de Cl− e vice-versa.
Assim, temos:
Vetores primitivos
Coordenadas dos 
átomos da base
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Cristais que apresentam estrutura 
cristalina do cloreto de césio
Lucy V. C. Assali
Cl−
Na+
2.Estrutura Cristalina do Cloreto de Sódio (NaCl)
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
É uma rede de Bravais CFC com uma base de dois
átomos: um íon Cl− na posição (0, 0, 0) e um íon Na+
na posição (1/2, 1/2, 1/2). A rede de Bravais do cloreto
de sódio não é CS, pois Cl− ≠ Na+. Cada íon de Na+
tem como primeiros vizinhos, na rede, 6 íons de Cl− e
vice-versa. Esta estrutura pode ser imaginada como
duas redes CFC, de parâmetro de rede a, deslocadas
de metade da diagonal do cubo, cada uma delas com
átomos de uma espécie em seus pontos de rede. A cé-
lula convencional possui 8 átomos na base. Assim, temos:
Vetores primitivos
Coordenadas dos 
átomos da base
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
Cristais que apresentam estrutura 
cristalina do cloreto de sódio
Lucy V. C. Assali
3.Estrutura Cristalina Hexagonal com Agrupamento
Compacto: hcp (hexagonal close-packed)
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
Existem dois modos de agrupar esferas rígidas em camadas regulares e alinhadas a
fim de se minimizar o volume do espaço vazio (intersticial). Um dos modos conduz à
uma estrutura que já descrevemos: estrutura CFC, também conhecida como estrutura
cúbica com agrupamento compacto (f = 0,74). O outro modo conduz à simetria hexa-
gonal, denominada estrutura hexagonal com agrupamento compacto (hcp), que tam-
bém tem f = 0,74. A figura mostra uma camada com agrupamento compacto de esfe-
ras rígidas, com seus centros nos pontos A. Uma segunda e idêntica camada de esfe-
feras pode ser superposta a esta, com os
seus centros colocados nas posições
marcadas pelos pontos B. Existem, então,
duas possibilidades, não equivalentes, de
se empilhar uma terceira camada de esfe-
ras: centradas nos pontos A ou centradas
nos pontos C. Se centradas em A, a se-
quência será ABABAB.... e a estrutura
será hexagonal com agrupamento compacto (hcp). Se os centros estiverem em C, a
sequência será ABCABCABC.... e a estrutura será CFC (planos (111)). Em ambos
tipos de empilhamento, cada esfera tem 6 esferas como vizinhas mais próximas.
Lucy V. C. Assali(C. Kittel, Introduction to Solid State Physics)
3.Estrutura Cristalina hcp
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
A estrutura hcp possui uma rede de Bravais hexagonal com uma base de dois
átomos: um na posição (0, 0, 0) e um na posição (2/3, 1/3, 1/2), como mostram os
pontos vermelhos na figura abaixo.
→→→→
a2
→→→→
a1
a3
→→→→
Vetores primitivos
Coordenadas dos 
átomos da base
Como
A relação ideal entre c
e a é
Lucy V. C. Assali
3.Estrutura Cristalina hcp: Fator f
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
Na estrutura hcp, a menor distância entre duas esferas rígidas é a. Assim, o
volume de cada uma das esferas será:
O volume da célula primitiva é
Assim, o FEA é
Lucy V. C. Assali
Relação ideal
Elementos com estrutura 
cristalina hcp
Lucy V. C. Assali
Exemplo: base com 2 átomos iguais:
Silício: a = 5,43 Å (estrutura do diamante)
Exemplo: base com 2 átomos diferentes: 
GaAs: a = 5,65 Å (estrutura blenda)
4. Estrutura Cristalina do Diamante e do ZnS
(blenda)
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
É uma rede de Bravais CFC com uma base de dois átomos: um átomo na posição
(0, 0, 0) e outro na posição (1/4, 1/4, 1/4). Esta estrutura pode ser imaginada co-
mo duas redes CFC, de parâmetro de rede a, deslocadas de ¼ da diagonal do cu-
bo, cada uma delas com átomos de uma mesma espécie (diamante) ou de espécies
diferentes (blenda), nos pontos da rede.
Vetores primitivos
Coordenadas dos 
átomos da base
Lucy V. C. Assali
Instituto de Física
Estrutura Cristalina do Diamante
Lucy V. C. Assali
O número de primeiros vizinhos na
rede é conhecido como número de
coordenação e, para a estrutura cris-
talina do diamante, o número de coor-
denação é 4. Cada átomo de Si é
tetraedricamente rodeado por 4 áto-
mos de Si primeiros vizinhos, como se
estivesse centrado em um tetraedro
regular e seus vizinhos nos vértices
desse tetraedro.
Estrutura cristalina ZnS
Lucy V. C. Assali
Na estrutura cristalina blenda, cada
átomo de uma espécie é rodeado por
4 átomos da espécie oposta, à igual
distância, dispostos nos vértices de
um tetraedro regular.
Densidade do cristal de Silício
Diamante
Lucy V. C. Assali
5.Estrutura Cristalina Hexagonal do ZnS (wurtzita)
Estruturas Cristalinas: Rede+Base
É uma rede hcp com uma base de dois átomos: um átomo na posição (0, 0, 0) e outro
na posição (0, 0, u), ou, é uma rede de Bravais hexagonal com 4 átomos na base:.
Coordenadas dos 
átomos da base
Vetores primitivos
Se a relação c/a for a ideal, então u=3c/8. Neste caso, como
no caso da estrutura blenda, cada átomo de uma espécie é
rodeado por 4 átomos da espécie oposta, à igual distância,
dispostos nos vértices de um tetraedro regular.
u
Lucy V. C. Assali
O Espaço Recíproco
Funções Periódicas e a Rede Recíproca
Como acabamos de ver, um cristal perfeito deve ser invariante sob qualquer translação
da rede. Como os átomos estão distribuídos no espaço de maneira periódica, qualquer
propriedade física do cristal também deve ser periódica, ou seja, a densidade de carga
eletrônica, a densidade de massa, a concentração de cargas, etc., são grandezas
invariantes sob qualquer translação do cristal. Como consequência, qualquer função no
espaço formado pelo arranjo periódico de átomos deve satisfazer
Vamos, inicialmente, tratar uma estrutura cristalina monoatômica unidimensional com
parâmetro de rede a, para rever alguns conceitos sobre propriedades de funções
periódicas. Neste caso, a é o parâmetro de rede e, ao mesmo tempo, o período da
função:
Se a função é periódica, ela pode ser expandida (desenvolvida) em uma série de
Fourier.
Lucy V. C. Assali
O Espaço Recíproco
Funções Periódicas e a Rede Recíproca
garante que f(x) tenha período a
É fácil verificar que a função f (x) assim definida é periódica, com período a:
Os pontos g = (2pin)/a (dimensão m−1→ vetor de onda) são pontos no espaço de
Fourier ou pontos do espaço recíproco de x, espaçados de 2pi/a, definindo uma rede
de pontos, chamada rede recíproca.
Lucy V. C. Assali
O Espaço Recíproco
Funções Periódicas e a Rede Recíproca
Se tomarmos uma rede tridimensional, onde os vetores de translação da rede são
então, uma função periódica desenvolvida em uma série de Fourier fica
volume da célula primitiva
para que devemos ter que , ou seja,
Vamos escolher, então,
Esta escolha nos mostra que:
Lucy V. C. Assali
O Espaço Recíproco
Funções Periódicas e a Rede Recíproca
Vetores primitivos da 
rede recíproca
Lucy V. C. Assali
O Espaço Recíproco
Funções Periódicas e a Rede Recíproca
Propriedades da rede recíproca
1. O volume de uma célula primitiva da rede recíproca (VR) é
inversamente proporcional ao volume da célula primitiva da re-
de direta (VD):
2. A rede recíproca de uma rede recíproca é a rede direta
3. A rede recíprocaé uma rede de Bravais
4. Cada vetor de translação da rede recíproca é perpendicular à
uma família de planos da rede direta e o módulo do menor
deles (G0) é igual à distância entre dois planos consecutivos
Demonstração
Lucy V. C. Assali
d
ℓ
G0
θ
O Espaço Recíproco
Demonstração da propriedade 4. da rede recíproca
Lucy V. C. Assali
A Rede Recíproca
Exemplos:
1. Vamos encontrar a rede recíproca de uma rede de Bravais CS
de parâmetro de rede a
Vetores 
primitivos
(espaço direto)
Volume da 
célula primitiva 
(espaço direto)
Utilizando as expressões dos vetores primitivos no espaço recíproco temos:
Vetores 
primitivos
(espaço recíproco)
Volume da 
célula primitiva 
(espaço recíproco)
rede recíproca
de uma rede CS
é uma rede CS
com parâmetro
de rede 2pi/a
Lucy V. C. Assali
A Rede Recíproca
Exemplos:
2. Vamos encontrar a rede recíproca de uma rede de Bravais CFC
de parâmetro de rede a
Vetores 
primitivos
(espaço direto)
Volume da 
célula primitiva 
(espaço direto)
Utilizando as expressões dos vetores primitivos no espaço recíproco temos:
Vetores 
primitivos
(espaço recíproco)
Volume da 
célula primitiva 
(espaço recíproco)
rede recíproca
de uma rede CFC
é uma rede CCC
com parâmetro
de rede 4pi/a
/4
Lucy V. C. Assali
A célula primitiva no espaço recíproco, dife-
rentemente daquela definida no espaço direto
(rede de Bravais), é obtida através da construção
de Wigner-Seitz e é chamada 1a Zona de Brillouin.
O porquê desta escolha e o porquê do nome dado à
célula primitiva ficará claro depois de apresen-
tarmos o próximo tópico, que será sobre a difra-
ção de Raios-X por um cristal e a relação, do es-
pectro obtido, com a Rede Recíproca.
Lucy V. C. Assali
A Rede Recíproca: Célula primitiva