LE5 1S2018

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Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais 
5ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
EES145 Resistência dos Materiais I - 1º Semestre de 2018 
Data: 25/04/2018 
Data Limite para Entrega: mesma data da 2ª PROVA 
 
 
EX.1 
Uma viga rígida AB com m 3 de comprimento 
é sustentada por barras verticais nas suas 
extremidades e suporta uma força vertical 
para baixo em C de kN P 60= , como 
mostrado na Figura 1. Os diâmetros das 
barras de sustentação são mm d 251 = e 
mm d 202 = , e ambos são feitos de aço 
( GPa E 210= ). Despreze o peso da viga AB . 
(a) A que distância x a partir de A deve ser 
aplicada a carga, tal que BA uu = ? (b) Qual é 
o deslocamento da viga? (c) Quais são as 
tensões axiais 1σ e 2σ nas duas barras de 
sustentação? 
 
EX. 2 
Uma coluna em uma construção de dois 
andares é fabricada em perfis tubulares 
quadrados de aço estrutural, tendo um 
módulo de elasticidade GPa E 210= . As 
dimensões da seção transversal dos dois 
segmentos estão mostradas na Figura 2b. 
Cargas axiais kN PA 200= e kN PB 300= são 
aplicadas à coluna nos níveis A e B , como 
mostrado na Figura 2a. (a) Determine a 
tensão axial 1σ no segmento AB da coluna e 
a tensão axial 2σ no segmento BC da 
coluna. (b) Determine o valor δ da redução 
da altura da coluna. 
 
 
 
EX.3 
Conforme ilustrado na Figura 3, a barra 
vertical CD , de comprimento m L 2= , área 
de seção transversal 2150 mm A = e módulo 
de elasticidade GPa E 70= , sustenta uma 
viga rígida AC de peso desprezível, que, por 
seu lado, suporta uma carga uniformemente 
distribuída sobre o segmento AB . Quando 
nenhuma carga for aplicada a viga 
permanecerá na posição vertical. Determine o 
valor da máxima ow ( mkN / ) que pode ser 
colocada na viga se a máxima tensão 
admissível na barra CD for MPa A 100=σ e 
a máxima deflexão admissível for 
mm A 10=δ . 
 
EX. 4 
Uma barra plana, com seção transversal 
retangular, tem uma espessura constante, t , 
e um comprimento inicial L . A largura da 
barra varia linearmente de 1b em uma 
extremidade até 2b na outra extremidade, e 
seu módulo de elasticidade é E . (a) Obtenha 
uma equação para o alongamento, δ , da 
barra quando ela estiver submetida a uma 
carga axial de tração P , conforme mostrado 
na Figura 4. (b) Calcule o alongamento para o 
seguinte caso: mm b 501 = , mm b 1002 = , 
mm t 25= , m L 2= , kN P 250= , 
e GPa E 70= . 
 
 
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EX. 5 
A barra da Figura 5 com comprimento original 
L e seção transversal A é feita de um 
material com módulo de elasticidade E e peso 
específico γ (peso por unidade de volume). 
(a) Determine o alongamento δ da barra 
devido à ação do seu próprio peso apenas (ou 
seja, com 0=P ), considerando-o como uma 
carga uniformemente distribuída ao longo do 
comprimento L . (b) Determine o 
alongamento δ da barra devido à ação do seu 
próprio peso apenas (ou seja, com 0=P ), 
considerando-o como uma carga concentrada 
aplicada no centro de gravidade da barra. 
Compare este resultado com aquele obtido 
para o item (a). (c) Determine a força axial 
compressiva P que seria necessária para 
retornar a barra ao seu comprimento original 
L . Dê sua resposta em termos de G , A , E 
e L . 
 
EX. 6 
Um tubo de aço ( GPaE 2001 = ) envolve uma 
barra sólida de liga de alumínio ( GPaE 702 = ) 
e juntos eles estão submetidos a uma força 
compressiva de kN 200 atuando em tampas 
rígidas, conforme mostrado na Figura 6. (a) 
Determine a redução δ no comprimento 
desse elemento bimetálico. (b) Determine as 
tensões normais 1σ e 2σ no tubo e na barra, 
respectivamente. 
 
 
EX. 7 
Um tubo de aço, com um diâmetro externo od 
e diâmetro interno id , e uma barra sólida de 
uma liga de alumínio, com diâmetro d , 
formam um sistema de três segmentos que 
sofre deformação axial devido à carga CP , 
atuando em um colar no ponto C , como 
mostrado na Figura 7. (a) Calcule as tensões 
normais 1σ , 2σ e 3σ nos três elementos. (b) 
Determine os deslocamentos Bu e Cu . Dados: 
GPaEEGPaE
kNPmLmLL
mmdmmdmmd
C
io
 70 , 210
 50 , 2 , 1
 20 , 36 , 50
321
321
===
====
===
 
 
EX. 8 
Uma viga rígida AD é sustentada por um pino 
liso em D e por barras verticais de aço 
ligadas à viga nos pontos A e C , conforme 
mostrado na Figura 8. Despreze o peso da 
viga e considere que as barras de sustentação 
estejam livres de tensão quando 0=P . (a) 
Determine as forças 1F e 2F nas barras de 
sustentação após a carga P ter sido aplicada. 
(b) Determine os alongamentos 1δ e 2δ nas 
barras de suporte (1) e (2), respectivamente. 
(c) Determine a rotação correspondente, θ , 
da viga AD . Considere que a rotação da viga 
seja muito pequena, logo 11 L<<δ e 22 L<<δ . 
Dados: 
mbma
kNPGPaEE
mLmLmmAA
 5,1 , 50,0
 50 , 210
 2 , 1 , 500
21
2121
==
===
====
 
 
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EX. 9 
Duas barras uniformes e linear elásticas são 
unidas em B , e a barra bissegmentada 
resultante é presa a suportes rígidos em A e 
C conforme mostrado na Figura 9. O 
elemento (1) é de aço, com módulo 
GPaE 2101 = , área 
2
1 1000 mmA = , 
comprimento mL 21 = e coeficiente de 
dilatação térmica 161 )(1012
−− °×= Cα . O 
elemento (2) é de liga de titânio com 
GPaE 1202 = , área 
2
2 1500 mmA = , 
comprimento mL 5,12 = e coeficiente de 
dilatação térmica 162 )(108
−− °×= Cα . 
Determine as tensões axiais 1σ e 2σ nas 
barras se a temperatura de ambas for 
aumentada de CTT °=∆=∆ 3021 . 
 
EX. 10 
O sistema mecânico mostrado na Figura 10 
consiste em duas barras idênticas de aço 
( 2 40 mmA = , GPaE 200= , 161012 −− °×= C α ) 
e em uma viga rígida AC . A viga é 
sustentada por um pino liso em B . As porcas 
A e C são inicialmente apertadas o suficiente 
para tirar folgas, deixando as barras livres de 
tensão. (a) Determine as tensões axiais 
induzidas nas barras (1) e (2), se a 
temperatura de ambas as barras for reduzida 
por C°50 . (b) Determine o ângulo θ 
(pequeno) pelo qual a viga AC deveria girar 
devido a essa variação de temperatura. 
 
 
Figura 1 – EX. 1 
 
Figura 2 – EX. 2 
 
 
Figura 3 – EX. 3 
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Figura 4 – EX. 4 
 
 
 
 
Figura 5 – EX. 5 
 
 
 
 
Figura 6 – EX. 6 
 
 
 
 
Figura 7 – EX. 7 
 
 
 
 
Figura 8 – EX. 8 
 
 
 
 
Figura 9 – EX. 9 
 
 
 
 
Figura 10 – EX. 10 
 
 
 
 
 
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5ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
EES145 Resistência dos Materiais I - 1º Semestre de 2018 
Data: 25/04/2018 
Data Limite para Entrega: mesma data da 2ª PROVA 
 
RESPOSTAS 
 
EX.1 
 
MPa MPa (c)
mm uu (b)
 m x (a)
BA
54,93|36,62
891,0
469,1
21 ==
==
=
σσ
 
 
EX. 2 
 
mm (b)
MPa MPa (a) BCAB
421,1
41,55|01,44
=
==
δ
σσ
 
 
EX. 3 
 
( ) mkN w máxo /5,7= 
 
EX. 4 
 
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( )
mm (b)
b
b 
bb t E
PLbb 
bb t E
PL (a)
bax 
abax
DICA
961,3
lnlnln
ln11:
1
2
12
12
12
=






−
=−
−
=
+=
+∫
δ
δ 
 
 
EX. 5 
 
)A L W ( barra da total peso o é W onde
WA L P (c)
!!! (b) item do à igual é (a) item do resposta:Comentário
E
L (b)
E
L (a)
totaltotal
total
γ
γ
γδ
γδ
=
==
=
=
22
2
2
2
2
 
 
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EX. 6 
 
(C) MPa (C) MPa (b)
(redução) mm (a)
kN kN, P,P
77,16,91,47
120,0
53,6447135
21
21
==
=
==
σσ
δ 
 
 
EX. 7 
 
)(624,1),(1619,0
)(83,56),(33,102),(0,34
)(85,17)(15,32
321
→=→=
===
←=←=
 mm u mm u (b)
C MPa T MPa T MPa (a)
 kN , R kNR
CB
DA
σσσ 
 
 
EX. 8 
 
horário)-(anti rad (c)
 mm mm (b)
T kN F T kN F (a)
4
21
21
10291,1
)(194,0),(323,0
)(17,10),(9,33
−×=
↓=↓=
==
θ
δδ 
 
 
EX. 9 
 
)(32,40),(48,60
4806048060
21 C MPa C MPa 
) N (.), R N (.R CA
==
←=→=
σσ
 
 
 
EX. 10 
 
horário)-(anti rad (c)
T MPa T MPa (a)
T N F T N F
4
21
21
10879,3
)(83,144),(93,57
)(10,793.5),(24,317.2
−×=
==
==
θ
σσ