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TEORIA DOS NÚMEROS
1
Conjuntos numéricos
A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registros numéricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair a natureza por meio de processos de determinação de quantidades.
E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntos numéricos
NÚMEROS NATURAIS
“São os números que usamos quando precisamos contar coisas.”
1
2
3
4
3
São todos os números inteiros não-negativos.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
4
NÚMEROS INTEIROS
Pelos Naturais é impossível!
Como efetuar a subtração de 3 – 4? 
5
“São todos os números que pertencem aos Naturais acrescido dos seus respectivos opostos.”
Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
6
Inteiros não Negativos (Z+):
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Inteiros não Positivos (Z-): 
Z- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
7
Inteiros não negativos e não nulos (Z*+):
Z*+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}
Inteiros não positivos e não nulos (Z*-): 
Z*- = {..., -6, -5, -4, -3, -2, -1}
SUBCONJUNTOS DOS INTEIROS
8
NÚMEROS RACIONAIS
Como dividir um osso para dois cachorros?
Os Inteiros não permitem a resolver este problema!
9
Q = Z  { números fracionários }
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}
“Para resolver isso foram criados os números fracionários.”
10
Racionais não Negativos e não nulos (Q*+):
Q*+ = {Z*+}  {Todos os números fracionários não negativos} 
Racionais não Positivos e não nulos (Q*-): 
Q*- = {Z*-}  {Todos os números fracionários não Positivos} 
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
11
Racionais não Negativos (Q+):
Q+ = {Z+}  {Todos os números fracionários não negativos} 
Racionais não Positivos (Q-): 
Q- = {Z-}  {Todos os números fracionários não Positivos} 
SUBCONJUNTOS DOS RACIONAIS
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2,252
Número Racional.
Finitos algarismos após a vírgula.
2,252525...
Número Racional.
Infinitos algarismos periódicos após a vírgula (dízima periódica).
3,1415926...
Não é um número Racional.
Infinitos algarismos aleatórios após a vírgula
13
NÚMEROS IRRACIONAIS
Como descrever números que não são inteiros nem fracionários?
14
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. 
I = {Todos os números que Q não consegue descrever}
15
Raizesinexatas.
Inf. algarismos não periódicos após a vírgula.
3,1415926...
Número PI.
Supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais .
2,7182818...
NúmerodeEuler.
ComoPi, já foram calculadas bilhões de casas decimais.
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NÚMEROS REAIS
“Descreve todo o conjunto dos números racionais e irracionais”
R = { Q }  { I }
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R
 Números Reais
Q
 Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
 Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
 Números Irracionais
 
18
NÚMEROS IMAGINÁRIOS
“Descreve todo o conjunto dos números reais e números complexos”
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R
 Números Reais
Q
 Números Racionais
..., -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, ...
Z
 Números Inteiros
...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...
N 
Números naturais
0, 1, 2, 3, 4...
I
 Números Irracionais
 
C
 Números Imaginários
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Raízes inexatas;
Decimais infinitos e não periódicos;
 = 3,14...;
e = 2,72...
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. São eles:
Irracionais (I).
Reais (R).
	o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:
Q  I = R.
REPRESENTAÇÃO NA RETA NUMÉRICA
Os números relativos – positivos, negativos ou o zero – podem ser representados numa recta por meio de pontos.
Consideremos uma recta r e marquemos sobre ela um ponto O, a que chamamos origem.
Escolhemos uma unidade de medida e um sentido positivo (por exemplo da esquerda para a direita).
Desta maneira obtemos um eixo ou reta numérica.
O
 r
1
+
-
24
REPRESENTAÇÃO NA RETA
Se quisermos marcar o ponto A correspondente ao número +5, contamos 5 unidades para a direita de O.
Se quisermos marcar o ponto B correspondente ao número -3, contamos 3 unidades para a esquerda de O.
+
-
O
+1
+5
A
+
-
O
+1
-3
B
25
REPRESENTAÇÃO NA RETA
O número que corresponde a um ponto do eixo chamamos abcissa desse ponto.
+5
A
+
-
O
+1
-3
B
A abcissa de A é +5
A abcissa de B é -3
A origem tem abcissa zero.
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ORDENAÇÃO
Quando dispostos sobre um eixo, os números relativos encontram-se ordenados.
Se o eixo é horizontal e orientado da esquerda para a direita, um número é tanto maior quanto mais para a direita se encontrar.
2
3
4
5
0
1
-1
-2
-3
Cada vez maior
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ORDENAÇÃO
Vemos, por exemplo, que +5 é maior que +2 e para indicar este facto escrevemos:
2
3
4
5
0
1
-1
-2
-3
+ 5 > + 2
Também se pode dizer que + 2 é menor que + 5 e escrever:
+ 2 < + 5
Isto é, se
a > b
então
b < a
•
•
28
ORDENAÇÃO
Da observação da posição relativa de dois números num eixo resultam algumas regras para comparar dois números diferentes:
Qualquer número positivo é maior do que zero.
Qualquer número positivo é maior do que qualquer negativo.
+ 0,012 > 0
0 > - 35
+1 > - 35
+ 0,5 > - 100
;
Zero é maior que qualquer número negativo.
29
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Consideremos agora os pontos A e B, sendo que A tem abcissa + 3 e B tem abcissa – 2.
A distância do ponto B à origem é 2.
A distância do ponto A à origem é 3.
2
3
A
4
5
0
1
-1
-2
B
-3
2
3
A essa distância chamamos valor absoluto ou módulo.
30
VALOR ABSOLUTO (OU MÓDULO)
Assim dizemos que o valor absoluto (ou módulo) de +3 é igual a 3 e escrevemos:
Valor absoluto (ou módulo) de um número é a distância à origem do ponto que representa esse número.
Portanto, temos ainda que
+3 = 3
 -2 = 2
 0 = 0
Naturalmente, temos que o valor absoluto de zero é igual a zero:
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NÚMEROS SIMÉTRICOS
Relativamente à origem da reta, é sempre possível encontrar dois pontos que se encontram à mesma distância.
1
2
3
4
-1
0
-2
-3
-4
Por exemplo, os pontos de abcissas – 4 e 4 têm a mesma distância à origem, ou seja,
 - 4 = 4
Dizemos então que – 4 e 4 são números simétricos.
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NÚMEROS SIMÉTRICOS
Dois números dizem-se simétricos se tiverem sinais contrários e o mesmo valor absoluto.
Exemplos de números simétricos:
 - 0,3 = 0,3
- 0,3 e 0,3 porque
1 e - 1 porque
 1 = -1
Nota que o simétrico do número zero é o próprio número zero:
 0 = 0
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NÚMEROS SIMÉTRICOS
Observação
1. De dois números positivos o maior é o que tem maior valor absoluto (está mais longe da origem).
Exemplos:
+ 100 > + 40
+ 0,5 > + 0,1
2. De dois números negativos o maior é o que tem menor valor absoluto (está mais perto da origem).
Exemplos:
- 0,01 > - 10
- 3 > - 50
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Números Simétricos
Simplificação da escrita
Na reta também se escreve 1, 2, 3,..., em vez de +1,+2,+3,...
+ (- 8) = - 8
+ (+ 8) = + 8
Também:
1
2
3
4
-1
0
-2
-3
-4
Não é obrigatório escrever o sinal +
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NÚMEROS SIMÉTRICOS
Na reta numérica o maior dos números encontra-se à direita do menor.
1
2
3
4
-1
0
-2
-3
-4
-2 é maior que - 4
- 2 > - 4 
2 é maior que - 1
- 1 é menor que 2
2 > - 1
- 1 < 2 
> maior
< menor
ou
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AGORA RESPONDA...
 
Qual a diferença entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros? Exemplifique.
 
 
Transcreva todos os números do QUADRO 1 para o QUADRO 2, obedecendo a organização de cada conjunto.
 
Para marcar o número , primeiro devemos escrevê-lo na forma de um numeral misto, . Então dividimoso segmento de extremos 3 e 4 em duas partes , contamos uma parte do 3 para a direita, e marcamos .
 
Baseando-se nesse exemplo localize na reta numérica as frações racionais a seguir:
Axiomas (auto evidente)
“Um axioma é uma  sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada, é considerada como óbvia, um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria!”
43
Axiomas para os números Reais
Toda e qualquer subtração, na verdade, é uma soma, ou seja: 
a – b = a + (– b)
Toda e qualquer divisão, na verdade, é uma multiplicação, ou seja:
 = a ÷ b = a· 
a
b
1
b
(
)
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Axiomas para os números Reais
Lei de Fechamento: A soma a+b e o produto a·b de dois números reais são únicos.
Lei Comutativa (significa trocar): 
 a + b = b + a
 a·b = b·a
“A ordem na adição e na multiplicação é irrelevante!”
45
Axiomas para os números Reais
Lei Associativa:
 a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c ) + b = a + b +c
 (a·b)·c = a·(b·c) = b·(a·c) = a·b·c
“A ordem em adições e multiplicações sucessivas é irrelevante!”
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Axiomas para os números Reais
Lei Distributiva:
 a·(b + c) = a·b + a·c
 b·(a + c) = b·a + b·c
 c·(a + b) = c·a + c·b
“A multiplicação é distributiva em relação a adição!”
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Axiomas para os números Reais
Lei de Identidade:
Existe apenas um número real na qual a soma dele com outro número qualquer X é igual a X, ou seja: 
X + 0 = 0 + X = X
Existe apenas um número real na qual a multiplicação dele com outro número qualquer x é igual a x, ou seja: 
1·X = X·1 = X
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Axiomas para os números Reais
Lei de Inverso:
Para qualquer número Real X existe um Real – X, tal que: 
X + (–X) = (–X) + X = 0
Para qualquer número Real X ≠ 0, existe um número real X-1 tal que:
X·(X-1) = (X-1)·X = 1
49
Axiomas para os números Reais
Lei do fator zero:
Para qualquer número Real X:
X·0 = 0
Se X e Y são dois números reais tal que X·Y = 0, então obrigatoriamente X = 0 ou Y = 0.
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Axiomas para os números Reais
Lei do número negativo:
 (–1)·a = – a
 (–1)·(–a) = – (–a) = a
 (–a)·(–b) = a·b
 –ab = (–a)·b = a·(–b) = – (–a)·(–b) 
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Axiomas para os números Reais
Lei dos Quocientes:
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Axiomas para os números Reais
Lei do número absoluto:
Qualquer número Real tem um número absoluto correspondente, tal que: 
Se a < 0, ou seja, o negativo de a, | – a | = a 
Se a > 0, ou seja, o positivo de a, | a | = a
| – a | = | a | = a
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Axiomas para os números Reais
Lei da ordem das operações:
“Em uma expressão, uma soma ou uma subtração só deve ser realizada após todas as operações de multiplicação e divisão já terem sido efetuadas, ao menos que elas apareçam isoladas por ( ), [ ] ou { }”.
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Lei da ordem das operações:
Observando-se a precedencia imposta pelos elementos dekimitadores de uma expressão por ( ), [ ] ou { }”. A prioridade na resolução de uma expressão é 1° os ( ) e 2° [ ] e 3° { }.
Quando não existirem esses elementos de precedencia, ou quando em parte da expressão houver duvida na ordem de qual operação aritmetica deve ser realizada primeiramente, a seguinte ordem deve ser respeitada 1° Radiciação ou Potenciação, 2° Multiplicação ou Divisão e 3° Adição ou subtração
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