RESUMO P3 MAT2456 V2013

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MAT	
  2456	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
1	
  
	
  
EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
	
  
§ Soluções	
  constantes	
  de	
  equações	
  de	
  variáveis	
  separáveis:	
  
dy
dx
= g(x).h(y) 	
   se	
  y(x)	
  =	
  a	
  
Solução	
  constante:	
  h(y) = 0 	
  
§ Soluções	
  não	
  constantes	
  de	
  equações	
  de	
  variáveis	
  separáveis:	
  
y ' = dy
dx
= g(x).h(y) ⇒ dy
h(y)
= g(x).dx 	
  
dy
h(y)∫ = g(x).dx∫ ⇒ H(y) = G(x) +K 	
  
Onde:	
  	
   H(y)	
  e	
  G(x)	
  são	
  as	
  respectivas	
  primitivas	
  de	
  h(y)	
  e	
  g(x).	
  	
  
K:	
  cte	
  real.	
  
	
  
§ Seja	
  uma	
  equação	
  diferencial	
  de	
  primeira	
  ordem:	
  	
  
	
   dy
dx
 + p(x).y = g(x) 	
  	
  	
  	
  	
  ou	
  
dy
dx
 = -p(x).y + g(x) 	
  	
  ou	
  
+p(x).y - g(x)!" #$dx + 1dy = 0 	
  
	
  
Método	
  prático	
  para	
  resolução	
  de	
  equação	
  diferencial	
  de	
  primeira	
  ordem:	
  
1-­‐	
  Colocar	
  a	
  equação	
  na	
  forma	
  padrão:	
  
dy
dx
 + p(x).y = g(x) 	
  
2-­‐	
  Calcular	
  o	
  “fator	
  integrante“:	
  
∂P
∂y
−
∂Q
∂x
#
$
%
&
'
(
P
= p(x) ⇒ e p(x)dx∫ 	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
2	
  
	
  
	
  
3-­‐	
   Multiplicar	
   todos	
   os	
   termos	
   da	
   equação	
   na	
   forma	
   padrão	
   pelo	
   “fator	
  
integrante”:	
  	
  
e p(x)dx∫ . dy
dx
 + e p(x)dx∫ .p(x).y = e p(x)dx∫ .g(x) 	
  
Utilizando	
  a	
  Regra	
  do	
  Produto	
  (derivada	
  do	
  primeiro	
  vezes	
  o	
  Segundo	
  mais	
  a	
  
derivada	
  do	
  Segundo	
  vezes	
  o	
  primeiro)	
  temos:	
  
d
dx
e p(x)dx∫ .y( ) = e p(x)dx∫ .g(x) 	
  
4-­‐	
  Integra-­‐se	
  a	
  equação:	
  
d
dx
e p(x)dx∫ .y( )∫ = e p(x)dx∫ .g(x)∫ dx 	
  
	
  
5-­‐	
  Isola-­‐se	
  o	
  y	
  e	
  a	
  solução	
  da	
  equação	
  é:	
  
	
  
y = e − p(x)dx∫ . g(x).e p(x)dx∫ dx + C∫#$%
&
'(
, C ∈ R 	
  
	
  
§ Seja	
  um	
  equação	
  de	
  Bernoulli:	
  
dy
dx
 = f (x).y + g(x).yα ,α (cte) ≠0 	
  
§ Soluções	
  da	
  equação	
  de	
  Bernoulli	
  são	
  dadas	
  por:	
  
Se	
  	
   α	
  >	
  0:	
  	
  	
  	
  	
  	
  solução	
  constante:	
   	
  y(x)	
  =	
  0	
  
§ Soluções	
  não	
  constantes:	
  
1-­‐	
  multiplicar	
  os	
  dois	
  membros	
  por:	
  y	
  –α	
  
2-­‐	
  mudança	
  de	
  variável:	
  u	
  =	
  y	
  1-­‐α	
  
	
  
Resolver	
  como	
  uma	
  equação	
  linear	
  de	
  primeira	
  ordem.	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
3	
  
	
  
§ Transformando	
  uma	
  equação	
   y
x
	
  em	
  uma	
  equação	
  de	
  variáveis	
  separáveis:	
  
	
  
dy
dx
= f y
x
!
"
#
$
%
& , u =
y
x
⇒ y = x.u 	
   derivando:	
  	
   	
   dy
dx
= u + x.du
dx
	
  
substituindo,	
  tem-­‐se:	
   	
   u + x.du
dx
= f (u) 	
  
	
  
§ Redução	
  de	
  2a	
  ordem	
  para	
  1a	
  ordem:	
  
	
  
d2y
dx2
= F y, dy
dx
!
"
#
$
%
& 	
   utilizando:	
   v = dy
dx
, v ≠ 0 	
   obtém-­‐se:	
   v dv
dy
=
d2y
dx2
	
  
substituindo,	
  tem-­‐se:	
  	
   	
   v dv
dy
= F(y,v) 	
   que	
  é	
  de	
  1a	
  ordem.	
  
	
  
§ Soluções	
  para	
  equação	
  diferencial	
  exata:	
  
	
  
Seja:	
  	
   P(x,	
  y)	
  dx	
  	
  +	
  	
  Q(x,	
  y)	
  dy	
  	
  =	
  	
  0	
  	
  	
  	
  ,	
  se	
  for	
  exata	
  ⇒	
  ∃	
  uma	
  função	
  	
  ϕ 	
  =	
  ϕ 	
  (x,y)	
  
tal	
  que:	
  	
   ∂ϕ
∂x
=P(x,y) 	
  	
  e	
  	
   ∂ϕ
∂y
=Q(x,y) 	
  	
  e	
  as	
  soluções	
  da	
  equação	
  serão	
  dadas	
  por:	
  
ϕ( x,y) = C ,C ∈R 	
  
	
  
Método	
  para	
  descobrir	
  a	
  função	
  ϕ =	
  ϕ 	
  (x,y):	
  
Seja:	
  
∂ϕ
∂x
=P(x,y)
∂ϕ
∂y
=Q(x,y)
#
$
%
%
&
%
%
	
   integra-­‐se	
  a	
  primeira	
  em	
  relação	
  a	
  x:	
  
ϕ = P ( x,y) dx∫ + K (y) 	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
4	
  
	
  
Para	
  obter-­‐se	
  a	
  constante	
  K	
  (y)	
  deriva-­‐se	
  o	
  segundo	
  membro	
  em	
  relação	
  a	
  y	
  e	
  
iguala-­‐se	
  a	
  Q	
  (x,y)	
  !!!	
  	
  
Obs:	
  pode-­‐se	
  começar	
  pela	
  segunda	
  equação	
  também	
  !!!	
  Vale	
   lembrar	
  que	
  a	
  
integração	
  é	
  em	
  relação	
  a	
  y	
  e	
  ao	
  derivar	
  o	
  segundo	
  membro	
  deve-­‐se	
  igualar	
  a	
  
P(x,y).	
  
	
  
§ Fator	
  integrante	
  (caso	
  a	
  equação	
  diferencial	
  não	
  seja	
  exata):	
  
Seja:	
   	
   P(x,	
  y)	
  dx	
  	
  +	
  	
  Q(x,	
  y)	
  dy	
  	
  =	
  	
  0	
  
	
  
Se:	
  	
  
∂Q(x,y)
∂x
−
∂P(x,y)
∂y
#
$
%
&
'
(
Q(x,y)
= h(x) ⇒ fator integrante : u(x) = e − h(x)dx∫ 	
  
Se:	
  	
  
∂Q(x,y)
∂x
−
∂P(x,y)
∂y
#
$
%
&
'
(
P(x,y)
= f (x) ⇒ fator integrante : u(y) = e + f (y)dy∫ 	
  
	
  
Após	
  o	
  cálculo	
  do	
   fator	
   integrante,	
  multiplica-­‐se	
  a	
  equação	
   inteira	
  pelo	
  valor	
  
encontrado:	
  
u(x).P(x,y)dx + u(x).Q(x,y)dy = 0 	
  
ou	
  
u(y).P(x,y)dx + u(y).Q(x,y)dy=0 	
  
Resolva	
   como	
   uma	
   equação	
   diferencial	
   exata	
   encontrando	
   a	
   função	
   ϕ 	
  e	
  
igualando	
  a	
  uma	
  constante	
  C	
  qualquer	
  pertencenteaos	
  R.	
  
Solução	
  final:	
  	
  
ϕ( x,y) = C ,C ∈R 	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
5	
  
	
  
§ Equações	
  Diferenciais	
  de	
  Ordem	
  Superior	
  
	
  
Seja	
  uma	
  equação	
  diferencial	
  da	
  forma:	
  
A d
4y
dx4
+ B d
3y
dx3
 + C d
2y
dx2
 + D dy
dx
 + Ey = 0 	
  
	
  
Para	
   resolver	
   uma	
   equação	
   diferencial	
   na	
   forma	
   acima,	
   vamos	
   usar	
   o	
  
polinômio	
  característico	
  abaixo:	
  
Aλ4 + Bλ3 + Cλ2 + Dλ + E = 0 	
  
As	
  raízes	
  do	
  polinômio	
  formarão	
  a	
  solução	
  da	
  equação	
  diferencial:	
  
CASO	
  1:	
  Se	
  as	
  raízes	
  forem	
  distintas	
  (λ1	
  ≠ 	
  λ2	
  ≠ 	
  λ3	
  ≠ 	
  λ4):	
  
	
  
y = C1e
λ1x +C2e
λ2x +C3e
λ3x +C4e
λ4x Cn ∈ R 	
  
	
  
CASO	
  2:	
  Se	
  uma	
  raiz	
  apresentar	
  multiplicidade	
  (2	
  ou	
  maior),	
  as	
  componentes	
  
da	
  solução	
  devem	
  ser	
  linearmente	
  independentes	
  (LI):	
  
Exemplo:	
  
Se	
   -­‐2	
   é	
   raiz	
   de	
   multiplicidade	
   4	
   (λ1	
   =	
   λ2	
   =	
   λ3	
   =	
   λ4	
   =	
   −2)	
   de	
   uma	
   equação	
  
diferencial	
  qualquer	
  então	
  a	
  solução	
  será:	
  
	
  
y = C1e
-2x +C2xe
-2x +C3x
2e-2x +C4x
3e-2x Cn ∈ R 	
  
	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
6	
  
	
  
Exemplo:	
  encontre	
  a	
  solução	
  da	
  equação	
  diferencial	
  a	
  seguir:	
  
y'''−	
  5y''+	
  3y'+	
  9y	
  =	
  0	
  
O	
  polinômio	
  característico	
  da	
  equação	
  associada	
  é:	
  
λ3 - 5λ2 + 3λ + 9 = 0 	
  
As	
  raízes	
  do	
  polinômio	
  são:	
   	
   (λ+ 1)(λ−3)2 = 0 ⇒ λ = −1 e λ = 3 	
  
A	
  solução	
  da	
  equação	
  diferencial	
  é:	
  
y = C1e
-x +C2e
3x +C3xe
3x Cn ∈ R 	
  
CASO	
  3:	
  Se	
  as	
  raízes	
  do	
  polinômio	
  característico	
  forem	
  complexas:	
  	
  
Se	
  um	
  número	
  complexo	
  na	
  forma	
  (	
  a	
  +	
  bi	
  )	
  for	
  raiz	
  do	
  polinômio	
  característico	
  
então	
  seu	
  conjugado	
  (	
  a	
  –	
  bi	
  )	
  também	
  o	
  será	
  !!!	
  A	
  solução	
  será	
  dada	
  por:	
  
y = C1 e
ax cos(bx) + C2 e
ax sen(bx) Cn ∈ R 	
  
	
  
Exemplo:	
  encontre	
  a	
  solução	
  da	
  equação	
  diferencial:	
  
y'''	
  +	
  4y''	
  +	
  4y	
  	
  =	
  0	
  
λ4 +4λ2 +4=0 ⇒ (λ2+2)2 =0 λ=±2i (m=2) 	
  
Primeiro	
  ponto	
  importante:	
  lembrar	
  que	
   	
  λ	
  =	
  ±	
  2i	
  =	
  0a	
  ±	
  2i	
  
Segundo	
  ponto	
  importante:	
  lembrar	
  que	
  a	
  multiplicidade	
  é	
  2	
  e	
  as	
  soluções	
  
devem	
  ser	
  LI.	
  Montando	
  a	
  solução:	
  
y = C1 e
0x cos(2x) + C2 e
0x sen(2x) + C3 e
0x xcos(2x) + C4 e
0x xsen(2x) 	
  
Podemos	
  simplificar	
  o	
  termo	
  da	
  exponencial	
  e	
  assim	
  a	
  solução	
  da	
  equação	
  
diferencial	
  é:	
  
y = C1cos(2x) + C2 sen(2x) + C3 xcos(2x) + C4 x sen(2x) Cn ∈ R 	
  
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  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
7	
  
	
  
§ Casos	
  Especiais	
  de	
  Equações	
  Diferenciais	
  de	
  Ordem	
  Superior	
  
CASO	
  A	
  
Seja	
   uma	
   equação	
   diferencial	
   qualquer	
   e	
   dada	
   uma	
   de	
   suas	
   soluções	
   como	
  
achar	
  a	
  solução	
  geral	
  ???	
  
Se	
  y1	
  for	
  a	
  solução,	
  então:	
   y2	
  	
  =	
  	
  u(x)	
  .	
  y1	
  
Calcular	
   com	
   y2	
   todas	
   as	
   derivadas	
   que	
   aparecem	
   na	
   equação	
   e	
   substituir.	
  
Simplificar	
  e	
  achar	
  a	
  u(x).	
  Com	
  a	
  u(x)	
  calcular	
  a	
  y2	
  e	
  montar	
  a	
  solução:	
  
y	
  =	
  C1y1	
  	
  +	
  C2y2	
  
CASO	
  B	
  
Seja	
  uma	
  equação	
  diferencial	
  qualquer	
  não	
  homagênea:	
  
A d
2y
dx2
 + B dy
dx
 + Cy = g(x) ou A y '' + By' + Cy = g(x) 	
  
Observação:	
  A,	
  B	
  e	
  C	
  podem,	
  ou	
  não,	
  ser	
  função	
  de	
  x	
  !!!	
  
A	
  solução	
  dessa	
  equação	
  será	
  uma	
  composição	
  da	
  homogênea	
  associada	
  mais	
  
a	
  solução	
  particular:	
  
y	
  =	
  yh	
  +	
  yp	
  
A	
  solução	
  homogênea	
  será	
  dada	
  por:	
  
yh	
  =	
  C1eλ1x	
  +	
  C2eλ2x	
  
Se	
  as	
  raízes	
  forem	
  distintas,	
  caso	
  contrário	
  verificar	
  os	
  outros	
  casos	
  !!!	
  
	
  
MAT	
  2456	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
8	
  
	
  
A	
  solução	
  particular	
  será	
  dada	
  pelo	
  Método	
  da	
  Variação	
  dos	
  Parâmetros	
  (MVP)	
  
que	
  é	
  descrito	
  a	
  seguir:	
  
Observação:	
  O	
  MVP	
  só	
  pode	
  ser	
  aplicado	
  se	
  o	
  coeficiente	
  da	
  maior	
  derivada	
  da	
  
equação	
  diferencial	
  não	
  homagênea	
  for	
  unitário	
  (no	
  exemplo:	
  se	
  A	
  é	
  igual	
  a	
  1).	
  
Observação	
   2:	
   Se	
   o	
   coeficiente	
   não	
   for	
   unitário	
   deve-­‐se	
   divider	
   os	
   dois	
  
membros	
  da	
  equação	
  por	
  ele,	
  de	
  forma	
  que	
  o	
  coeficiente	
  da	
  maior	
  derivada	
  da	
  
equação	
   seja	
   unitário.	
   (no	
   exemplo:	
   deve-­‐se	
   divider	
   os	
   dois	
   lados	
   por	
   A	
   e	
   a	
  
equação	
  resultante	
  é	
  mostrada	
  abaixo).d2y
dx2
 + B
A
dy
dx
 + C
A
y = g(x)
A
ou y '' + B
A
y' + C
A
y = g(x)
A
	
  
Passo	
  1:	
  montar	
  o	
  sistema	
  a	
  partir	
  da	
  solução:	
   yh	
  =	
  C1eλ1x	
  +	
  C2eλ2x	
  
C1
' .(eλ1x ) +C2
' .(eλ2x ) = 0
C1
' .(eλ1x ) +C2
' .(eλ2x ) = g(x)
"
#
$
%$
ou e
λ1x eλ2x
(eλ1x ) ' (eλ2x ) '
&
'
(
(
)
*
+
+
.
C1
'
C2
'
&
'
(
(
)
*
+
+
= 0
g(x)
&
'
((
)
*
++
	
  
Observação:	
  o	
  símbolo	
  ’	
  significa	
  a	
  derivada	
  em	
  relação	
  a	
  x.	
  
	
  
Passo	
  2:	
  resolver	
  o	
  sistema	
  e	
  achar	
  as	
  constantes	
  C1	
  e	
  C2.	
  
C1
' = −C2
' .(e
λ2x )
(eλ1x )
C1
' .(eλ1x ) ' +C2
' .(eλ2x ) ' = g(x)
#
$
%%
&
%
%
	
  
Substituir	
   a	
   primeira	
   equação	
   na	
   segunda	
   e	
   encontrar	
  C1
' e	
  C2
' ,	
   integrar	
   as	
  
duas	
  constantes	
  em	
  x.	
  Com	
  as	
  constantes	
  determinadas,	
   substituí-­‐las	
  na	
  yh	
  e	
  
encontrar	
  a	
  yp	
  do	
  problema.	
  
Passo	
  3:	
  Montar	
  a	
  solução	
  geral	
  dada	
  por:	
  	
   y	
  =	
  yh	
  +	
  yp	
  
y =C1.e
λ1x +C2 .e
λ2x + yp 	
  
MAT	
  2456	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
9	
  
	
  
CASO	
  C	
  
Seja	
  uma	
  equação	
  diferencial	
  qualquer	
  não	
  homogênea.	
  
A d
2y
dx2
 + B dy
dx
 + Cy = g(x) + h(x) ou A y '' + By' + Cy = g(x) + h(x) 	
  
Observação:	
  A,	
  B	
  e	
  C	
  quaisquer	
  podem	
  ou	
  não	
  ser	
  função	
  de	
  x	
  !!!	
  
Se	
   g(x)	
   e	
   h(x)	
   forem	
   funções	
   de	
   tipos	
   diferentes	
   (por	
   exemplo:	
   g(x)	
   for	
   um	
  
polinômio	
   dependente	
   de	
   x	
   e	
   h(x)	
   for	
   uma	
   exponencial	
   dependente	
   de	
   x)	
   a	
  
solução	
  geral	
  dessa	
  equação	
  será	
  dada	
  por:	
  
y	
  =	
  yh	
  +	
  yp1	
  	
  +	
  yp2	
  
Onde:	
  	
   yh:	
  equação	
  homogênea	
  associada	
  
	
   	
   yp1:	
  equação	
  particular	
  1,	
  referente	
  a	
  g(x)	
  
yp2:	
  equação	
  particular	
  2,	
  referente	
  a	
  h(x)	
  
	
  
Passo	
  1:	
  Encontrar	
  a	
  solução	
  homogênea	
  yh	
  como	
  descrito	
  anteriormente.	
  
Passo	
   2:	
   Se	
   g(x)	
   for	
   um	
  polinômio	
   de	
   grau	
   n	
   testar	
   um	
  polinômio	
   de	
   grau	
   n	
  
como	
  solução:	
  
y p1=Ax
n + Bxn-1 +...+Zx0 =Axn +Bxn-1 +...+Z 	
  
Calcular	
  as	
  derivadas	
  dessa	
  solução	
  que	
  aparecem	
  na	
  equação	
  e	
  substituir:	
  
A y''+By'+Cy= g(x) 	
  
Encontrar	
  as	
  constants	
  do	
  polinômio	
  testado	
  A,	
  B,	
  …	
  ,	
  Z	
  e	
  montar	
  a	
  solução	
  yp1.	
  
MAT	
  2456	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  RESUMO	
  -­‐	
  EQUAÇÕES	
  DIFERENCIAIS	
  
_______________________________________________________________________________	
  
1
0	
  
	
  
Passo	
  3:	
  Se	
  h(x)	
  for	
  uma	
  função	
  exponencial	
  testar	
  uma	
  exponencial	
  de	
  mesmo	
  
grau	
   multiplicada	
   por	
   uma	
   constant	
   e	
   por	
   x	
   elevado	
   a	
   maior	
   potência	
   do	
  
polinômio	
  característico:	
  
yp2 =A x
2 ex 	
  
Calcular	
  as	
  derivadas	
  dessa	
  solução	
  que	
  aparecem	
  na	
  equação	
  e,	
  em	
  seguida,	
  
substituí-­‐las	
  na	
  equação:	
  
A y''+By'+Cy= h(x) 	
  
Encontrar	
  a	
  constante	
  da	
  função	
  testada	
  e	
  montar	
  a	
  solução	
  yp2.	
  
Passo	
  4:	
  Montar	
  a	
  solução	
  final:	
  
y	
  =	
  yh	
  +	
  yp1	
  	
  +	
  yp2