Aula 4 As bases do dimensionamento estadios do concreto domínios e momento de fissuração

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As bases do dimensionamento: 
Estádios do Concreto, 
Momento de fissuração e 
Domínios de ruptura 
Disciplina: Concreto Estrutural I 
Prof. Daniel de Lima Araújo 
Escola de Engenharia Civil e Ambiental - UFG 
ESTÁDIOS DO CONCRETO 
2 
Estádios do Concreto 
 O acompanhamento e análise dos chamados "Ensaios de 
Stuttgart" constitui uma maneira simples de se entender os 
vários estados de tensões por que passa uma seção sujeita à 
flexão simples. 
3 
 
D. E. C.
D. M. F.
P
 a
P
 a
 L
P
 - P
P.a
Estádios do Concreto 
 "Ensaios de Stuttgart" 
4 
Estádios do Concreto 
 "Ensaios de Stuttgart" 
5 
Estádios do Concreto 
 "Ensaios de Stuttgart" 
6 
Estádios do Concreto 
 Estádio I 
7 
 
bw
dh
d’
c(Y)
s = c(Y)
(Y)
Y
Z
As
Estádios do Concreto 
 Estádio Ia 
8 
bw
dh
d’
c(Y)
s = c(Y)
(Y)
Y
Z
As
 
bw 
d h 
d’ 
c(Y) 
s = c(Y) 
(Y)=Ecc(Y) 
Y 
Z 
As 
Estádios do Concreto 
 Estádio II 
9 
cc
ct
bw
d
X
h
d’
c(X)
s = c(X)
(X)
Y
Z
As
Estádios do Concreto 
 Estádio III 
10 
Revisão 
MOMENTO DE FISSURAÇÃO 
11 
Teoria da flexão aplicada ao concreto 
armado 
12 
 
dA 
Seção transversal 
L.N 
c 
 
y 
Deformações 
dx 
Mo Mo 

 
Viga homogênea. 
Relação de compatibilidade de deformações e relação constitutiva 
  yy 
 (1) 
   yEy 
 (2) 
  yEy 
 (3) 
Teoria da flexão aplicada ao concreto 
armado 
13 
Por equilíbrio de forças, obtém-se a relação, 
  0dAy0dAyE0dAy0F
AAA
x  
 (4) 
que permite localizar a posição da linha neutra. 
 
Por equilíbrio de momentos tem-se, 
  oo
A
2
o
A
o MIEMdAyEMdAyyMM  
 (5) 
Obtém-se assim a curvatura da seção para uma viga fletida de material 
homogêneo, 
IE
Mo (6) 
Momento de fissuração 
 Fase I – seção não fissurada 
14 
compressão
Seção transversal
L.N
c
 = E  y
Deformações
tração
c
Tensões
y1
 
Tensões em uma seção de concreto armado no estádio I. 
Por equilíbrio de forças tem-se 
  0AEydAyE0F ss1
A
cx
c
 
 (7) 
Momento de fissuração 
15 
Se n for a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, 
c
s
E
E
n  (8) 
então 
0AnydAyE0AEnydAyE s1
A
csc1
A
c
cc









 
 
 (9) 
Lembrando que, 
sc AAA 
 
obtém-se então a relação, que fornece a posição da linha neutra. 
  0A1nydAyE s1
A
c 





  (10) 
Momento de fissuração 
16 
Por equilíbrio de momentos tem-se 
os
2
1s
A
2
co MAyEdAyEMM
c
 
os
2
1
A
2
c MAnydAyEM
c






  (11) 
A expressão (11) também pode ser escrita em termos dos dados da 
seção transversal bruta. 
   os21gc MA1nyIE  (12) 
De (12) vêm 
oTc MIE 
 (13) 
onde, 
  s
2
1gT A1nyII 
 (14) 
é a inércia da seção transformada ou homogeneizada. 
Momento de fissuração 
17 
Neste estágio, ainda não houve ruptura do concreto à tração, o que 
só se dará quando t  fctk. 
I
cM
máx 
 (15) 
onde c é a distância da linha neutra à fibra mais tracionada. 
Momento correspondente ao início da fissuração: 
c
fI
M ctkTfiss 
 (16) 
curvatura 
cE
f
IE
M
c
ctk
Tc
fiss
fiss 
 (17) 
Em geral Mfiss = 10% Mrupt, o que é um valor muito pequeno, atingido para 
cargas baixas. 
Momento de fissuração 
 Exemplo 
18 
d = 45 cm 
b = 30 cm 
h = 50 cm 
Dados: 
fctk = 1,7 MPa 
fyd = 435 Mpa 
Ec = 21200 MPa 
Es = 210000 MPa 
As = 15,2 cm
2 
 
Calcular: 
Momento de fissuração (Mfiss) 
Curvatura (fiss) 
Tensões no concreto e na armadura (c e s) 
 
DOMÍNIOS DE RUPTURA 
19 
Domínios de ruptura 
 Cinco situações de ruína por deformação 
plástica excessiva estabelecidas a partir dos 
limites estabelecidos para as deformações do 
aço e do concreto. 
20 
 
c 
c c2 = 0,2 % cu =0,35 % 
0,85 fcd 
A B 
O 
 
Concreto (até C50) 
s
s
f yd
1, 0 %O
A B
yd
 
Aço 
Domínios de ruptura 
 Tração uniforme 
21 
y
z
sd| = 1%
Nd
y
z
sd| = 1%
Nd
Md
0  |cd|  1%
Domínios de ruptura 
 Domínio 1: 
 Tração não uniforme, sem compressão 
22 
Domínios de ruptura 
 Domínio 2: 
 Flexão simples ou composta, sem ruptura à 
compressão do concreto e com máximo 
alongamento permitido 
23 
y 
z 
 sd | = 1% 
Nd 
Md 
0  |  cd |  cu 
 
y 
z 
yd  |sd|  1% 
Nd 
Md 
|cd| = cu 
Domínios de ruptura 
 Domínio 3: 
 Flexão simples ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento 
do aço 
24 
 
y 
z 
 |sd|  yd 
Nd 
Md 
|cd| = cu 
Domínios de ruptura 
 Domínio 4: 
 Flexão simples ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e aço tracionado sem 
escoamento 
25 
 
y 
z 
|sd|  0 
Nd 
Md 
|cd| = cu 
Domínios de ruptura 
 Domínio 4a: 
 Flexão composta com armaduras comprimidas 
26 
 
y 
z 
|sd|  0 
Nd 
Md 
|cd| = c2 
(cu - c2)h/cu 
Domínios de ruptura 
 Domínio 5: 
 Compressão não uniforme 
27 
 
y 
z 
|sd| = c2 
Nd 
|cd| = c2 
Domínios de ruptura 
 Compressão uniforme 
28 
Domínios de ruptura 
 Domínios de ruptura da NBR 6118 
29 
Revisão