Lista1 AMGA (matrizes)

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Universidade Federal de Uberlaˆndia
Lista 1- AMGA - Data: 20 de marc¸o de 2018
Curso: Engenharia Ele´trica - Turma : U
Professor: Dr. Adilson Lopes
Questo˜es-Matrizes
1. Dadas as matrizes A =
(
2 3 8
4 −1 −6
)
, B =
(
5 −7 −9
0 4 1
)
e C =
(
0 9 8
1 4 6
)
,
calcule:
(a) A+B.
(e) A−B.
(b) B + C.
(c) A+ C.
(d) A− C.
(f) B − C..
(h) 3B − 2A− 6C.
(g) 4A− 3B + 5C
(i) 4C + 2A− 6B.
(j) 3(A+B)− 4(B − C).
2. Dadas as matrizes A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
, B = (1 3 −5 −76 2 −8 3
)
, C =
(
2 4
−3 5
)
e D =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
.
(a) Calcular AB.
(b) Calcular (AB)D.
(c) Calcular A(BD).
(d) Calcular BA.
(e) Calcular (BA)C.
(f) Calcular B(AC).
3. Dadas as matrizes A =
(
y + 4 2
9 x2 + 4
)
e B =
(
12 2
9 53
)
, calcular x e y de modo
que A seja igual a B.
4. Seja A =
(
2 x2
2x− 1 0
)
. Se A e´ sime´trica, enta˜o qual o valor de x?
1
5. Em cada um dos itens abaixo, calcule os valores de m e n para que as matrizes A e
B sejam iguais.
(a) A =
(
8 15n
12 +m 3
)
e
(
8 75
6 3
)
(b) A =
(
m2 − 40 n2 + 4
6 3
)
e B =
(
41 13
6 3
)
(c) A =
(
7 8
4 m2
)
e B =
(
7 8
4 10m− 25
)
6. Assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso), justificando sua resposta.
( ) Se A e´ uma matriz sime´trica, enta˜o A− At e´ a matriz nula;
( ) Se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o At e´ uma matriz triangular inferior;
( ) Se A e´ uma matriz diagonal, enta˜o At na˜o e´ matriz diagonal.
7. Mostre que se A e´ uma matriz triangular superior, enta˜o A2 tambe´m e´ triangular
superior.
8. Ache x, y, z, t, se
(
x y
z t
)(
2 3
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
.
9. Dadas A =
1 −3 22 1 −3
4 −3 −1
, B =
1 4 1 02 1 1 1
1 −2 1 2
 e C =
2 1 −1 −23 −2 −1 −1
2 −5 −1 0
,
mostre que AB = AC.
10. Nos itens abaixo, verificar se a matriz B e´ a inversa da matriz A.
(a) A =
−12 −32 1−1
2
−5
2
1
2−1
2
−2 1
 e B =
−12 −4 142 0 −2
−2 −2 4
.
(b) A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2
 e B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8
.
(c) A =
 0 4 −22 8 −4
−2 −14 6
 e B =
−1 12 0−1
2
−1
2
−1
2−3
2
−1 −1
.
11. Dadas as matrizes A =
 4 −53 −7
−2 4
 , B = ( −4 6 −3
m− 3 5 8
)
, C =
(
4 −3
1 2
)
e D =1 −5 00 0 2
1 1 0
, calcule:
(a) (AB)t.
2
(b) BtC.
(c) (AB)tD.
12. Dada a matriz A =
2 5 94 7 1
3 6 2
, classifique a matriz S = A + At quanto a` sua
simetria (dizer se e´ sime´trica, assime´trica ou nenhuma das opc¸o˜es).
13. Nos itens abaixo classifique a matriz dada (sime´trica, antissime´trica, ortogonal,
triangular superior ou inferior, diagonal).
(a) Classifique a matriz AAt, onde A =
(
2 3
5 −7
)
.
(b) Classifique a matriz M =
cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0
0 0 1
, onde θ e´ um aˆngulo qualquer.
(c) Classifique a matriz A− At, onde A =
 6 1 4−3 8 −5
2 −6 7
.
(d) Classifique a matriz A+ At, onde A =
2 3 94 7 1
3 6 2
.
14. Dadas as matrizes A =
2 −7 13 4 2
5 −9 6
 , B =
0 −9 34 8 1
7 3 1
 e C =
 4 3 5−1 2 −7
8 1 −9
.
(a) Classificar A+ At.
(b) Classificar B +Bt.
(c) Classificar AAt.
(d) Classificar A− At.
(e) Classificar B −Bt.
(f) Classificar C − Ct.
15. Dadas as matrizes A =
(
0 1
1 0
)
, B =
(
1
3
2
√
2
3
2
√
2
3
−1
3
)
, C =
(
1
5
−2
√
6
5
2
√
6
5
1
5
)
, D =
(
sin θ − cos θ
cos θ − sin θ
)
, E =

√
3
3
√
3
3
√
3
3
−
√
6
6
√
6
6
√
6
6
0 −
√
2
2
√
2
2
 , F =
1 2 80 1 2
0 0 4
 , G =
2 −3 10 2 −1
0 0 3
 , H =
 1 0 0−1 3 0
−2 −1 2
 , J =
 4 0 01 −1 0
−1 −3 −2
 , K =
2 0 00 7 0
0 0 3
 , L =
4 0 00 5 0
0 0 6
, resolva
as seguintes questo˜es:
(a) Classifique as matrizes A,B,C,D,E, F,G,H, J,K e L.
3
(b) Verifique se as matrizes A,B,C,D e E sa˜o matrizes ortogonais.
(c) Baseado nos itens anteriores, e´ correto afirmar que toda matriz ortogonal
devera´ ser sime´trica ou antissime´trica? Justifique sua resposta.
(d) Classificar os produtos FG e HJ .
(e) Classificar o produto KL.
16. Sejam A =
 2 −3 −5−1 4 5
1 −3 −4
, B =
−1 3 51 −3 −5
−1 3 5
 e C =
 2 −2 −4−1 3 4
1 −2 −3
.
(a) Mostre que AB = BA, AC = A e CA = C.
(b) use os resultados de (a) para mostrar que ACB = CBA, A2 − B2 = (A −
B)(A+B) e (A±B)2 = A2 +B2.
17. Se A =
(
3 −2
−4 3
)
, ache B de modo que B2 = A.
18. Uma rede de comunicac¸a˜o tem cinco locais com transmissores de poteˆncias distin-
tas. Estabelecemos que aij = 1, na amtriz abaixo, significa que a estac¸a˜o i pode
transmitir diretamente a` estac¸a˜o j, aij = 0 significa que a transmissa˜o da estac¸a˜o i
na˜o alcanc¸a a estac¸a˜o j. Observe que a diagonal principal e´ nula, significando que
uma estac¸a˜o na˜o transmite diretamente para si mesma.
A =

0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

Seja A2 = [cij]. Calculemos o elemento c42 =
5∑
k=1
a4kak2 = 0 + 0 + 1 + 0 + 0 = 1.
Note que a u´nica parcela na˜o nula veio de a43 ·a32 = 1 ·1. Isto significa que a estac¸a˜o
4 transmite para a estac¸a˜o 2 atrave´s de uma retransmissa˜o pela estac¸a˜o 3, embora
na˜o exista uma transmissa˜o direta de 4 para 2.
(a) Calcule A2.
(b) Qual o significado de c13 = 2?
(c) Discuta o significado dos termos nulos, iguais a 1 e maiores que 1 de modo a
justificar a afirmac¸a˜o: “A matriz A2 representa o nu´mero de caminhos dispon´ıveis
para se ir de uma estac¸a˜o a outra com uma u´nica retransmissa˜o”.
(d) Qual o significado das matrizes A+ A2, A3 e A+ A2 + A3?
(e) Se A fosse sime´trica, o que significaria?
4