MAT1157 181 Lista15

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MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A - 2018.1 PUC-Rio
Lista de Exerc´ıcios 15
1. Suponha que a, b e c sa˜o constantes e derive as func¸o˜es abaixo.
(a)w = (t2 + 1)100 (h)w(r) =
√
r4 + 1 (o) f(x) = (ax2 + b)3
(b)h(w) = (w4 − 2w)5 (i) y =
(
x2 + 2
3
)2
(p) f(t) =
√
c− sen t
(c) z = cos (4θ) (j) g(x) = sen (2− 3x) (q) g(θ) = sen2 (2θ)− piθ
(d)w(x) = tg (x2) (k) f(x) = cos (senx) (r) s(θ) = (sen a)(cos θ)
(e)R(x) = 10− 3 cos (pix) (l) f(x) = (x3 + pi) cos (pix) (s) g(θ) = sen5 θ
(f)h(x) =
x2 + 9
x+ 3
(m) g(θ) = (3θ4 + a)2(b− 4θ3)3 (t) f(x) = senx
cos b
(g) f(t) = t2 cos t (n) g(θ) = (cos θ) (sen5 θ) (u) f(x) =
senx
cosx
2. Determine
(a)
dw
d t
, onde w = (−3 t−2 + t)100
(b)
dw
d r
, onde w(r) = 3
√
r4 + r
(c)
d
dx
(
ax2 + b
)3
(d)
d
d a
(
ax2 + b
)3
(e)
d
d b
(
ax2 + b
)3
(f)
d
d t
(
5
√
c− sen t)
(g)
d z
d θ
, onde z = cos2 (4θ)
(h)
dx
d t
, onde x(t) = sen (2− 3t2)
(i)
dx
d t
, onde x = sen (2t+ 3t3)
3. Encontre uma f(x) tal que
(a) f ′(x) = x5
(b) f ′(x) = x2 + 2x− 6
(c) f ′(x) = sen (4)
(d) f ′(x) = sen (4x)
(e) f ′(x) = 2x cos(x2)
(f) f ′(x) = 2x cos(x)− x2 sen(x)
4. Suponha que f e g sa˜o deriva´veis e considere os valores dados na tabela a seguir. Para
cada uma das func¸o˜es r a seguir, calcule r′(2).
(a) r(x) = f(g(x)) (b) r(x) = f(f(x)) (c) r(x) = g(f(x))
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
2 5 5 e
√
2
5 2 8 pi 7
5. Se a derivada de f(x) e´ igual a 2 quando x = 1, qual e´ a derivada de
(a) g(x) = f(2x) quando x = 12?
(b) h(x) = f(x+ 1) quando x = 0?
(c) j(x) = f(14x) quando x = 4?
6. A quantidade q de skates vendidos depende do prec¸o p de venda em reais, de modo que
escrevemos q em func¸a˜o de p: q(p). E´ dado que q(140) = 15000 e q′(140) = −100.
(a) O que os fatos de que q(140) = 15000 e q′(140) = −100 lhe dizem sobre a venda
de skates?
(b) A receita total R devido a` venda de skates e´ dada por R(p) = p · q(p). Encontre
R′(140).
(c) Qual e´ o sinal de R′(140)? Se os skates esta˜o sendo vendidos, atualmente a
R$140, 00, o que acontece com a receita se o prec¸o for aumentado para R$141, 00?
7. Considere q(p) = −100 p+ 29000.
R
q
p
(a) Observe que a func¸a˜o receita e´ a a´rea do retaˆngulo que aparece na figura.
(b) Calcule q′(140).
(c) Determine o prec¸o dos skates que maximiza a receita.
8. Repita os exerc´ıcios da Lista 7 usando derivada e encontrando valores corretos.
9. Um trem esta´ viajando a 0, 8 km/min ao longo de uma linha fe´rrea reta, movendo-se na
direc¸a˜o ilustrada na figura abaixo. Uma ma´quina de filmar, a 0, 5 km da linha fe´rrea,
esta´ filmando o trem.
0,5
0 kmx
kmz
Trem
Máquina 
de filmar
(a) Qua˜o ra´pido esta´ variando a distaˆncia da ma´quina ao trem quando o trem esta´ a
1 km da ma´quina? Fornec¸a unidades.
(b) Qua˜o ra´pido a ma´quina esta´ girando (em radianos/min) no momento em que o
trem esta´ a 1km da ma´quina?
10. A forc¸a gravitacional F agindo em um foguete a uma distaˆncia r do centro da Terra e´
dada por
F =
k
r2
,
onde k = 103 newton · km2. Quando o foguete esta´ a 104 km do centro da Terra,
esta´ se afastando a 0, 2 km/s. Qua˜o ra´pido esta´ variando a forc¸a gravitacional naquele
instante? Fornec¸a unidades. (Um newton e´ uma unidade forc¸a.)
11. A figura abaixo mostra a trajeto´ria de um raio de luz que parte da origem e e´ refletido
por um espelho colocado ao longo da reta y = 1 ate´ o ponto Q = (2, 0). O princ´ıpio de
Fermat diz que a trajeto´ria da luz minimiza o tempo de percurso. A velocidade da luz
e´ constante.
(0,0)
Q = (2,0)
1
=
1
q
2
q
1
( )
x
y
x
P
,
Espelho
Início Fim
(a) Usando o princ´ıpio de Fermat, encontre a posic¸a˜o o´tima de P .
(b) Usando a sua resposta no item (a), deduza a Lei da Reflexa˜o, que diz que θ1 = θ2.
12. De um ponto A, situado numa das margens de um rio, de 100 m de largura, deve-se
levar energia ele´trica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado
na a´gua custa 5 reais o metro, e o que sera´ utilizado em terra custa 3 reais o metro.
Como devera´ ser feita a ligac¸a˜o para que o gasto com os fios seja o menor poss´ıvel?
A B
C
100
L
x
13. Determine as coordenadas do vetor ~w =
(
d
dt
(cos(t)),
d
dt
(sen(t))
)
. Compare com o
vetor ~u do exerc´ıcio 16 da Lista 13.
14. Reveja os exerc´ıcios 20 e 21 da Lista 12.
15. Derive as equac¸o˜es com relac¸a˜o a x :
(a) y2 + x y = cos(y) + cos(x)
(b) x2 + x y3 = cos(pi) + cos
(
y2
)
16. Considere as func¸o˜es dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- O domı´nio;
- Os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ crescente;
- Os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ decrescente;
- Os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ coˆncava para cima;
- Os intervalos nos quais a func¸a˜o e´ coˆncava para baixo;
- Os valores de x nos quais a func¸a˜o tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexa˜o;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gra´fico da func¸a˜o em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado,
para mostrar o comportamento da func¸a˜o. Esboce tambe´m a reta tangente em cada
ponto extremo e em cada ponto de inflexa˜o.
(a) f(x) = x+ sen(x).
(b) f(x) = 1
x2+1
.
(c) f(x) = x
x2+1
.
(d) f(x) =
√
1− x2.
(e) f(x) = 1x + x
2 − x. Neste exerc´ıcio, determine tambe´m os limites laterais quando
x→ 0+ e x→ 0−.
♣ Exerc´ıcios do Livro: Stewart, 5a Edic¸a˜o.
Cap´ıtulo 1, sec¸a˜o 1.3: 41 a 58.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.2: 1, 2, 7 a 11, 13, 14, 19 a 24, 27, 28, 30 a 32, 34 a 38, 41, 42 e
43a-b.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.4: 1, 2, 3, 5, 9, 10, 13, 16, 23 a 25, 28 a 33.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.5: 1 a 3, 7 a 11, 13,14, 17 a 20, 25 a 27, 30, 33, 34, 39, 43, 44, 49,
50 a 60, 63, 64, 65, 73, 74, 76 e 79.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.7: 21, 53 a 56.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.10: 1 a 13, 15, 16, 18, 19, 22, 23, 31, 36.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.1: 67, 68 e 74.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.3: 14, 22, 24, 39, 41, 44, 45, 46, 53, 56, 72 e 74.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.5: 9 a 15, 27, 28, 31, 36, 38, 68, 69.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.7: 19, 21, 25, 26, 51, 52, 55 e 56.
♣ Exerc´ıcios do Livro: Stewart, 6a Edic¸a˜o.
Cap´ıtulo 1, sec¸a˜o 1.3: 31 a 56.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.2: 1, 2, 7 a 11, 13 a 16, 19, 21, 22, 25, 26, 31, 35, 36, 38, 40, 41, 43,
44, 46 a 52 e 55a-b.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.3: 1, 2, 3, 5, 10, 13, 16, 23 a 25, 33 a 37.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.4: 1 a 3, 7 a 11, 13, 14, 17 a 21, 25 a 27, 34, 36, 51, 52, 57 a 66, 69,
77, 87, 88, 90, 93.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.9: 1 a 17, 19, 20, 22, 23, 26, 27 a 34, 36, 42.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.1: 67, 68 e 74.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.3: 12, 20, 22, 39, 41, 44, 45, 46, 55, 58, 67, 78 e 80.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.5: 9 a 16, 27, 28, 31, 32, 35.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.7: 21, 23, 27, 28, 63, 64, 67 e 68.
♣ Exerc´ıcios do Livro: Stewart, 7a Edic¸a˜o.
Cap´ıtulo 1, sec¸a˜o 1.3: 31 a 56.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.2: 1, 2, 7 a 11, 13 a 16, 19, 21, 22, 25, 26, 31, 35, 36, 39, 41, 43, 44,
46 a 54 e 59a-b.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.3: 1, 2, 5, 9, 10, 12, 13, 16, 23 a 26, 32, 33, 35 a 37.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.4: 1 a 4, 7 a 14, 17 a 22, 26, 27, 30, 31, 45 a 48, 51 a 54, 57 a 67, 71
a 74, 79, 89, 90, 92, 95.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.9: 1 a 23, 26, 27 a 34, 38 e 44.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.1: 67, 68 e 74.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.3: 12, 22, 39, 41, 44, 45, 46, 55, 58, 67, 80 e 82.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.5: 9 a 16, 29, 30, 33, 34 e 37.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.7: 23, 25, 29, 30, 67, 68, 70, 71 e 72.
♣ Exerc´ıcios do Livro: Stewart, 8a Edic¸a˜o.
Cap´ıtulo 1, sec¸a˜o 1.3: 33 a 58.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.2: 1, 2, 7 a 11, 13 a 17, 19, 21, 23, 24, 26, 31, 35, 36, 39, 41, 43, 44,
46 a 54 e 61a-b.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.3: 1, 2, 9 a 15,23 a 26, 32, 33, 35 a 37.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.4: 1 a 4, 7 a 12, 14, 17 a 22, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 42, 45 a 48, 51 a
53, 57 a 67, 71, 79, 89, 91, 92 e 97.
Cap´ıtulo 3, sec¸a˜o 3.9: 1 a 25, 28, 29 a 33, 36 a 38, 42 e 48.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.1: 67, 68 e 76.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.3: 12, 22, 43, 45, 48, 49, 50, 59, 63, 73, 86 e 88.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.5: 9 a 16, 29, 30, 33, 34 e 37.
Cap´ıtulo 4, sec¸a˜o 4.7: 25, 27, 31, 33, 71, 72, 74, 75 e 76.