Física 2 2018 PRIMEIRO SEMESTRE (1)

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 Centro Universitário 
 Escola de Engenharia Mauá 
 
 
 
 
 
 
 
 
LABORATÓRIO DE FÍSICA II 
(EFB206) 
 
 
 
1º SEMESTRE 
 
 
2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
1. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS .......................................................................................................... 1 
2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) ............................................................................. 5 
3. OSCILADOR AMORTECIDO ............................................................................................................ 17 
4. OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA ............................................................................ 31 
5. ONDAS ESTACIONÁRIAS .............................................................................................................. 35 
6. COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? ........................................................ 47 
7. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA ............ 63 
8. CAMPO ELÉTRICO .............................................................................................................................. 73 
9. CAPACITORES ..................................................................................................................................... 87 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 1 
 
1. CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
Objetivos 
 
Aplicar a construção de gráficos para a extração de informações à partir de uma tabela de 
dados. 
 
Introdução Teórica 
 
 
Ler a apostila de Construção de Gráficos. 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 2 
 
 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 3 
 
Resultados 
 
 
1) Experimentalmente foram obtidos os seguintes valores, para as grandezas X 
e Y: 
X (UX) 0,50 1,00 1,50 2,50 3,50 4,00 5,50 7,50 
Y (UY) 24,07 18,25 12,53 6,79 2,88 2,04 0,80 0,18 
 
a) Representar os dados graficamente no papel milimetrado / monolog / 
dilog. 
 
Após obter uma função linear: 
 
b) Determine o coeficiente linear. 
c) Determine o coeficiente angular. 
d) Determine a função Y(X). 
 
A seguir, represente os dados da tabela graficamente no Excel, com sua 
respectiva linha de tendência e equação. 
 
2) Experimentalmente foram obtidos os seguintes valores, para as grandezas 
Y e T: 
Y (m) 0,1 0,4 0,95 3,5 5,0 
T (s) 0,063 0,032 0,021 0,011 0,0090 
 
a) Representar os dados graficamente no papel milimetrado / monolog / dilog. 
 
Após obter uma função linear: 
 
b) Determine o coeficiente linear. 
c) Determine o coeficiente angular. 
d) Determine a função Y(T). 
 
A seguir, represente os dados da tabela graficamente no Excel, com sua 
respectiva linha de tendência e equação. 
 
Qual a importância de linearizarmos um gráfico? 
CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS 
 
 4 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 5 
 
2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
Objetivos 
 
Os objetivos desse experimento são: 
 
 Escrever a equação particular do Movimento Harmônico Simples (MHS), na forma: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
 Analisar o comportamento do MHS segundo a equação acima. 
 
 Representar graficamente o movimento obtido. 
 
 
 
Material 
 
 
 Arranjo experimental para o estudo do MHS com sistema massa-mola. 
 Cronômetro. 
 Massores com diversas opções de massas. 
 
Introdução Teórica 
 
 
SISTEMA MASSA-MOLA 
 
Considere uma mola de constante elástica k conforme a Figura 1, onde adotamos um eixo 
vertical orientado positivamente para cima. Inicialmente a mola está relaxada, nem comprimida 
nem esticada. 
 
 
Figura 1 – Mola de constante elástica k relaxada. 
Agora vamos acoplar uma massa m na extremidade inferior dessa mola (Figura 2). 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 6 
 
 
 
Figura 2 – Massa m acoplada à mola de constante elástica k relaxada. 
 
 
Após a colocação da massa m, a mola sofre uma deformação d até ficar novamente em 
equilíbrio. Essa nova posição será considerada como a posição de equilíbrio do sistema massa-
mola. Assim, vamos considerar a origem como sendo a posição em que a massa se encontra 
inicialmente em repouso, x0 = 0, Figura 3. 
 
 
Figura 3 – Sistema massa-mola em equilíbrio. 
 
Quando tiramos a massa da posição de equilíbrio, por exemplo, deslocando-a uma distância x 
em relação à origem, para baixo, aparece uma força restauradora, devido à presença da mola, 
puxando a massa em sentido contrário ao deslocamento (no caso, o deslocamento é para 
baixo, assim a força é para cima) como mostra a Figura 4. 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 7 
 
 
Figura 4 – Sistema massa-mola com a massa deslocada de uma distância x da posição de equilíbrio. 
 
A força devido à mola pode ser obtida por meio da equação: 
 
𝑭𝒎𝒐𝒍𝒂 = − 𝒌. 𝒙 
 
onde k é a constante elástica da mola e x indica o quanto a mola foi esticada (ou comprimida). 
Note que o sinal negativo nesta expressão indica que a força é restauradora, pois se opõe a 
deformação de x. 
 
Para analisarmos um MHS temos que modelar matematicamente o fenômeno físico da 
oscilação e obter assim uma função matemática que expresse o fenômeno. Devemos, então, 
observar o fenômeno da oscilação e coletar dados que permitam esta modelagem. Assim, 
considerando desprezíveis o atrito e a resistência do ar, podemos escrever a Segunda Lei de 
Newton como segue: 
 
𝒎.𝒂 = − 𝒌. 𝒙 
 
Vamos escrever a aceleração como sendo a segunda derivada da posição. Agora ficamos com: 
 
𝒎.
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
= − 𝒌. 𝒙 𝒎.
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒌. 𝒙 = 𝟎
 
 
 
Dividindo-se ambos os membros pela massa, temos: 
 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+
𝒌
𝒎
. 𝒙 = 𝟎
 
 
 
Denominando de 𝝎𝟎 (frequência angular natural) a relação √𝒌 𝒎⁄ , temos a equação 
diferencial: 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝝎𝟎
𝟐. 𝒙 = 𝟎
 
 
 
Essa equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária Homogênea de Segunda Ordem. 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 8 
 
Deseja-se obter a solução dessa equação diferencial, ou seja, queremos encontrar a função x(t) 
que satisfaça essa equação. Uma possível solução é dada pela função: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
Conhecendo-se os valores de k e m ou T, podemos determinar facilmente o valor da frequência 
angular natural, 𝝎𝟎. A fase inicial, 𝜽𝟎, depende das condições iniciais, ou seja, depende da 
posição e da velocidade da massa. A amplitude A corresponde à maior distância que a massa 
atinge em relação à posição de equilíbrio. 
 
A seguir temos as equações da velocidade e da aceleração obtidas por meio da derivação da 
equação da posição: 
 
 
 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒗(𝒕) = −𝝎𝟎. 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
= 𝒂(𝒕) = −𝝎𝟎
𝟐. 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
As relações entre a frequência angular natural (𝝎𝟎), o período (T), massa (m) e a frequência (f) 
do MHS, são: 
 
𝝎𝟎 = √
𝒌
𝒎 
𝝎𝟎 = 𝟐.𝝅. 𝒇
 
𝝎𝟎 =
𝟐.𝝅
𝑻𝟎
 
 
 
𝑻 =
𝟏
𝒇 
𝑻𝟎 = 𝟐. 𝝅.√
𝒎
𝒌Procedimentos 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
Como obtemos os dados para análise? 
 
Os dados podem ser obtidos experimentalmente ou pela simulação do fenômeno. Em nosso 
caso, vamos realizar o experimento e obter os dados experimentalmente. 
 
Para isso, vamos utilizar um sistema massa-mola para realizar a coleta de dados. 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 9 
 
CUIDADOS NECESSÁRIOS AO EXPERIMENTO 
 
Devemos evitar que ocorram movimentos laterais (corpo de prova muito leve ou amplitudes 
muito grandes) ou que a medida ocorra tão rapidamente, de tal modo que não tenhamos 
tempo de medi-la adequadamente. 
 
Faixa de trabalho é a faixa de valores que o instrumento pode medir. Exemplo: 
uma régua de 10 cm tem uma faixa de trabalho de 0,00 à 0,10 m. Deve ser 
colocada com o número de algarismos significativos conforme a incerteza do 
instrumento. 
Incerteza está relacionada ao erro do instrumento de medida, no caso de um 
instrumento analógico é definida como metade da menor divisão, no caso de um 
instrumento digital é a menor divisão. 
 
DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO PARTICULAR DO SISTEMA MASSA-MOLA 
 
Inicialmente vamos determinar a fase inicial a partir das condições iniciais do problema 
estudado: a posição para t = 0 é igual a – A, pois estamos puxando o corpo para baixo em 
relação à origem e o corpo sai do repouso, ou seja, a velocidade para t = 0 é igual à zero. 
 
Assim, substituindo nas equações de posição: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
 
e velocidade: 
 
𝒗(𝒕) = −𝝎𝟎. 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
temos: 
 
−𝑨 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝟎 + 𝜽𝟎) 
𝒄𝒐𝒔(𝜽𝟎) = −𝟏 
 
𝟎 = −𝝎𝟎. 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝟎. 𝟎 + 𝜽𝟎) 
𝒔𝒆𝒏(𝜽𝟎) = 𝟎 
 
 
O que nos leva a concluir que a fase inicial 𝜽𝟎 = 𝝅. 
 
Precisamos descobrir o valor de 𝝎𝟎. Para tanto, visto que não sabemos a priori o valor da 
constante elástica k da mola, vamos encontrar o período das oscilações da seguinte forma: 
 
1. Pendure a mola no suporte com uma massa presa, faça com que a massa total fique em 
torno de 100 g. Anote o valor da massa e a nova posição de equilíbrio x0. 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 10 
 
2. Afaste a massa de sua posição de equilíbrio de uma distância entre 3,0 cm e 5,0 cm. 
Anote essa amplitude. Antes de soltar a massa, peça para que outro integrante da equipe 
prepare o cronômetro (veja a instrução 4). 
 
3. Solte a massa e certifique-se que ela oscile verticalmente. 
 
4. Anote na Tabela 2 do relatório o tempo decorrido correspondente a cinco oscilações 
completas (t0). Ainda na Tabela 2, obtenha o período natural (T0) de oscilação dividindo 
esse tempo por 5. 
 
5. Repita os procedimentos 2, 3 e 4 mais quatro vezes, a seguir calcule o t0 médio e o T0 
médio. 
 
A partir do valor medido do período (T0), e da massa utilizada no MHS determine o valor da 
frequência angular natural, 𝝎𝟎. 
 
Utilizando o período natural de oscilação (T0), determine a frequência angular natural do MHS. 
 
Determine a constante elástica (k), a partir da frequência angular e da massa. 
 
Escreva as equações particulares do movimento harmônico simples. 
 
 
DICAS PARA ESCREVER A CONCLUSÃO 
 
Observe os objetivos do experimento. Veja se foram atingidos. Se resultados 
numéricos foram encontrados, eles devem aparecer também nas conclusões. 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 11 
 
 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 12 
 
 
Instrumentos de Medida 
 
Preencha a tabela abaixo com as incertezas e a faixa de trabalho de cada instrumento de 
medida. 
 
Tabela 1 – Faixa de trabalho e incertezas dos instrumentos utilizados. 
 
Instrumento Faixa de trabalho Incerteza na leitura 
Régua 
Cronômetro 
 
 
 
Resultados 
 
 
Anote os valores da massa, amplitude e da fase inicial. 
 
Valor da massa: m = ___________________ 
 
Amplitude: A = ___________________ 
 
Fase inicial: 𝜽𝟎 = _____________________ 
 
 
 
Determinação do período natural do MHS. 
 
 
Tabela 2 – Determinação do período natural do MHS. 
 
 
1 2 3 4 5 média 
t0 (s) 
T0 (s) 
 
 
Período natural: T0 = _____________________ 
 
 
 
 
Determine a frequência angular natural 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 13 
 
Frequência angular natural: 𝝎𝟎 = _____________________ 
 
Constante elástica: 𝒌 = _____________________ 
 
 
Escreva as equações do MHS. 
 
 
Posição: 𝒙(𝒕) = _________________________________ 
 
Velocidade: 𝒗(𝒕) = _________________________________ 
 
Aceleração: 𝒂(𝒕) = _________________________________ 
 
 
 
 
Análise e Conclusões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 14 
 
 
Questões 
 
1. Se variarmos a massa do corpo de prova 10 % para cima ou 10 % para baixo qual a variação 
na amplitude da oscilação? 
 
 
 
 
2. Se aumentarmos em 20 % a massa do corpo haverá mudança no período? Se houver, de 
quanto é esta mudança? 
 
 
 
 
3. Em quais condições a energia cinética no movimento é máxima? Em que condições a energia 
potencial no movimento é máxima? 
 
 
 
 
4. Dada o valor de x(0)=+A e v(0)=0 determine as equações da posição e velocidade do 
movimento. 
 
x(t) ____________________________________________________________ 
 
v(t) ____________________________________________________________ 
 
 
Sendo conhecida a amplitude e frequência, é possível determinar o valor da fase inicial 
conhecendo-se apenas a informação da posição num dado instante de tempo? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 15 
 
 
5. Se quadruplicarmos a constante elástica da mola, o que ocorre com o período? 
 
 
 
 
6. Faça um esboço das equações da posição, velocidade e aceleração obtidas no experimento, 
utilizando os eixos abaixo indicados. 
 
 
Equação da posição: 𝒙(𝒕) = _________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da velocidade: 𝒗(𝒕) = _________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T Tempo 
Posição 
A 
 
 
0 
 
 
- A 
T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T Tempo 
Velocidade 
ɯ.A 
 
 
0 
 
 
- ɯ.A 
MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (MHS) 
 
 16 
 
 
 
Equação da aceleração: 𝒂(𝒕) = _________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T/4 T/2 3T/4 T 5T/4 3T/2 7T/4 2T Tempo 
Aceleração 
ɯ2.A 
 
 
0 
 
 
- ɯ2.A 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 17 
 
3. OSCILADOR AMORTECIDO 
 
Objetivos 
 
 Estudar e analisar o movimento harmônico amortecido (MHA), escrevendo a equaçãoparticular que descreve esse movimento. 
 Representar graficamente uma oscilação amortecida. 
 
 
 
Material 
 
 Arranjo experimental para estudo do Oscilador Amortecido com sistema de pêndulo e 
cronômetro. 
 Folha de papel milimetrado. 
 Régua. 
 
 
 
Introdução Teórica 
 
 
 
SISTEMA MASSA-MOLA SEM AMORTECIMENTO 
 
Ao estudarmos um sistema massa-mola, chegamos a uma equação diferencial de segunda 
ordem do tipo: 
 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+
𝒌
𝒎
. 𝒙 = 𝟎 
 
Apresentamos como uma solução dessa equação a da posição: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝟎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
Com 𝝎𝟎 = √
𝒌
𝒎
=
𝟐.𝝅
𝑻𝟎
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 18 
 
SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTECIMENTO 
 
Em nosso modelo, desconsideramos a força de resistência viscosa devido à presença do meio. 
Agora vamos incluir essa força resistiva. Essa força de resistência é proporcional à velocidade 
do corpo, considerando-se velocidades baixas. Dessa forma, nosso diagrama de forças pode ser 
representado como a Figura 1. 
 
 
 
Figura 1 – Sistema massa-mola com a massa deslocada uma distância x da posição de 
equilíbrio e com a presença de uma força de resistência viscosa. 
 
A força devido à resistência viscosa pode ser escrita somo sendo: 
 
𝑭𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒂 = −𝒃. 𝒗 
 
Onde b é o coeficiente de resistência viscosa do meio e v é a velocidade do corpo. 
 
Nessas condições podemos escrever a Segunda Lei de Newton com segue: 
 
−𝒌. 𝒙 − 𝒃. 𝒗 = 𝒎. 𝒂 
 
Vamos escrever a aceleração como sendo a segunda derivada da posição e a velocidade como a 
primeira derivada da posição, ambas em relação ao tempo. Agora ficamos com: 
 
−𝒌. 𝒙 − 𝒃.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒎.
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐 
𝒎.
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒃.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒌. 𝒙 = 𝟎 
 
Dividindo-se ambos os membros pela massa m, temos: 
 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+
𝒃
𝒎
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝒌
𝒎
. 𝒙 = 𝟎
 
 
 
Chamando de 𝝎𝟎 = √
𝒌
𝒎
 (frequência angular natural) e de 𝜸 =
𝒃
𝟐.𝒎
 (fator de 
amortecimento), temos a equação diferencial: 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 19 
 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
+ 𝟐. 𝜸.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝝎𝟎
𝟐. 𝒙 = 𝟎 (𝟏) 
 
 
Esta é a equação diferencial de segunda ordem do movimento harmônico com amortecimento. 
 
Temos três possíveis soluções para essa equação, dependendo da relação entre 𝝎𝟎 e 𝜸. Elas 
são classificadas com Super Amortecida, Criticamente Amortecida e Sub Amortecida. 
 
Oscilação Super Amortecida (Overdamping) 
 
𝜸𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐 > 𝟎 𝜸 > 𝝎𝟎 
 
Nesse caso a solução geral da equação diferencial é dada por: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒆
√(𝜸𝟐−𝝎𝟎
𝟐).𝒕
+ 𝑩𝒆
−√(𝜸𝟐−𝝎𝟎
𝟐).𝒕
 
 
Uma representação gráfica desse movimento pode ser vista na Figura 2. 
 
 
 
Figura 2 – Representação gráfica de uma oscilação Amortecida. 
 
Um exemplo de aplicação da oscilação Super Amortecida (que a rigor não é uma oscilação) é 
um sistema de amortecimento colocado em portas para evitar que essas fechem muito 
rapidamente. A Figura 3 mostra um sistema desse tipo de amortecimento. 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 20 
 
Figura 3 – Mecanismo colocado em portas para amortecimento lento. 
 
Oscilação Criticamente Amortecida (Critical damping) 
 
 
𝜸𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐 = 𝟎 𝜸 = 𝝎𝟎 
 
Nesse caso a solução geral da equação diferencial (1) é dada por: 
 
𝒙(𝒕) = (𝑨 + 𝑩. 𝒕). 𝒆−𝜸.𝒕 
 
Uma representação gráfica desse movimento pode ser vista na Figura 4. 
 
 
 
Figura 4 – Representação gráfica de uma oscilação Amortecida. 
 
Um exemplo de aplicação pode ser visto em sistemas de amortecimento de canhões, onde a 
posição inicial deve ser atingida o mais rapidamente possível para que um novo disparo possa 
ser efetuado. Na Figura 5 podemos ver um canhão onde foi instalado um sistema Criticamente 
Amortecido. A rigor esse tipo de amortecimento também não é uma oscilação. 
 
 
Figura 5 – Canhão com sistema Criticamente Amortecido para amortecimento rápido. 
 
 
 
 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 21 
 
 
 
Oscilação Sub Amortecida (Underdamping) 
 
𝜸𝟐 − 𝝎𝟎
𝟐 < 𝟎 𝜸 < 𝝎𝟎 
 
Nesse caso a solução geral da equação diferencial (1) é dada por: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 𝒐𝒏𝒅𝒆 𝝎 = √𝝎𝟎
𝟐 − 𝜸𝟐 
 
 
Uma representação gráfica desse movimento pode ser vista na Figura 6. As linhas tracejádas 
representam as envoltórias do movimento amortecido. 
 
 
 
Figura 6.1 – Representação gráfica de uma oscilação Amortecida. 
 
 
 
 
Figura 6.2 – Representação gráfica de uma oscilação Sub Amortecida - Envoltória 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 22 
 
Esse tipo de amortecimento é o que possui o maior número de aplicações em Engenharia. Um 
exemplo clássico é o sistema de amortecimento em veículos. A Figura 7 mostra um sistema de 
rodas traseiras de uma picape que é constituído de um feixe de molas e um amortecedor. 
 
 
Figura 7 – Sistema de amortecimento (molas e amortecedores) de um automóvel (oscilação Sub Amortecida). 
 
Neste experimento estudaremos apenas a solução onde 𝜸 < 𝝎𝟎, resultando no oscilador Sub 
Amortecido. As relações entre as grandezas do oscilador Sub Amortecido são as seguintes. 
 
𝝎 = √𝝎𝟎
𝟐 − 𝜸𝟐 𝝎𝟎 = √
𝒌
𝒎
 𝜸 = √
𝒃
𝟐𝒎
 
 
𝑻 =
𝟐𝝅
𝝎 
𝑻𝟎 =
𝟐𝝅
𝝎𝟎 
𝒇 =
𝟏
𝑻 
𝒇𝟎 =
𝟏
𝑻𝟎
 
Chamamos T de pseudo período (período do Movimento Amortecido) e T0 de período das 
oscilações livres (MHS). 
 
ENERGIA NO MOVIMENTO AMORTECIDO 
 
Vamos analisar o movimento também sob o ponto de vista de energia: 
 
𝑬 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑨𝟐 
Se: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕 
 
Para o instante inicial (t = 0) teremos: 
 
𝑬𝟎 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟎
𝟐 
 
Após 1 ciclo (t = T) a amplitude será: 
 
𝒙(𝑻) = 𝑪𝟐 = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝑻 
 
𝑬𝟏 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟐
𝟐
 
𝑬𝟏 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟎
𝟐. 𝒆−𝟐.𝜸.𝑻
 
𝑬𝟏 = 𝑬𝟎. 𝒆
−𝟐.𝜸.𝑻 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 23 
 
Após 2 ciclos (t = 2T) a amplitude será: 
 
𝒙(𝟐𝑻) = 𝑪𝟒 = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝟐.𝜸.𝑻 
 
𝑬𝟐 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟒
𝟐
 
𝑬𝟐 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟎
𝟐. 𝒆−𝟐.𝟐.𝜸.𝑻
 
𝑬𝟏 = 𝑬𝟎. 𝒆
−𝟒.𝜸.𝑻 
 
 
De modo geral, após n ciclos (t = n.T) teremos: 
 
𝒙(𝒏. 𝑻) = 𝑪𝟐.𝒏 = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝒏.𝜸.𝑻 
 
 
𝑬𝒏 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟐.𝒏
𝟐
 
𝑬𝒏 =
𝟏
𝟐
. 𝒌. 𝑪𝟎
𝟐. 𝒆−𝒏.𝟐.𝜸.𝑻
 
𝑬𝒏 = 𝑬𝟎. 𝒆
−𝟐.𝒏.𝜸.𝑻 
 
 
 
Procedimentos 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
Para analisarmos um Movimento Harmônico Amortecido (MHA) temos que modelar 
matematicamente o fenômeno físico da oscilação e obter assim uma função matemática que 
expresse o fenômeno. 
 
Devemos então, observar o fenômeno da oscilação e coletar dados que permitam esta 
modelagem. Consideraremos que em nosso MODELO existe perda de energia. Assim, uma boa 
aproximação para solução da equação diferencial (1), ou seja, os valores de x que satisfazem a 
equação diferencial podem ser escritos como: 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
As constantes (fase inicial) e Co devem ser determinadas a partir das condições iniciais do 
movimento do corpo. 
 
Sabemos que
ω
 (frequência angular) é dado por: 
 
𝝎 =
𝟐𝝅
𝑻
. Assim, basta medir o período de 
uma oscilação amortecida, chamado pseudo período. Quanto ao fator deamortecimento 𝜸, 
observe que a amplitude do movimento cai segundo uma exponencial (envoltória da 
amplitude): 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕 
 
 
Como durante o experimento corremos o risco de ter um erro de leitura nos valores de 
amplitude devido à leitura feita pelo operador, vamos determinar o valor de 𝜸 graficamente à 
partir da LINEARIZAÇÃO DA ENVOLTÓRIA. 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 24 
 
Assim, determina-se graficamente 𝜸 à partir do coeficiente angular da curva linearizada: 
 
𝑪𝟐 = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝑻
 
𝑪𝟐
𝑪𝟎
= 𝒆−𝜸.𝑻
 
 
Aplicando-se o logaritmo em ambos os lados, teremos: 
 
𝒍𝒏 (
𝑪𝟐
𝑪𝟎
) = 𝒍𝒏(𝒆−𝜸.𝑻)
 
𝒍𝒏 (
𝑪𝟐
𝑪𝟎
) = −𝜸. 𝑻 
 
E, finalmente a inclinação da reta (envoltória linearizada) será: 
 
𝜸 = −
𝒍𝒏(
𝑪𝟐
𝑪𝟎
)
𝑻 
 
 
 
De modo geral, após n ciclos, a amplitude é dada por: 
 
 
𝑪𝒏 = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝒏.𝜸.𝑻 
 
 
A amplitude inicial (Co) da equação será aquela obtida graficamente quando da 
LINEARIZAÇÃO DA ENVOLTÓRIA. 
 
Somente aí, vamos determinar a fase inicial a partir das condições iniciais do problema 
estudado: começamos o movimento com a amplitude máxima encontrada e com velocidade 
nula. Assim a equação da posição fica: 
 
 
𝒙(𝒕) = 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
𝒗(𝒕) = 𝑪𝟎. −𝜸. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎) − 𝝎.𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎)
= −𝜸. 𝒙(𝒕) − 𝝎. 𝑪𝟎. 𝒆
−𝜸.𝒕. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕 + 𝜽𝟎) 
 
Considerando que em t=0 temos x(0)=Co e v=0, temos: 
 
𝜽𝟎 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 [
(𝒗(𝟎) − 𝜸. 𝒙(𝟎))
−𝝎. 𝑪𝟎
] = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 [
𝜸
𝝎
] 
 
CUIDADOS NECESSÁRIOS AO PLANEJAMENTO 
 
Devemos alinhar o laser com o fio que o sustenta. 
Certifique-se de que o feixe de luz atinja o papel sobre a mesa. 
 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 25 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Pêndulo sem amortecimento. Determinação do período natural T0. 
 
Vamos analisar inicialmente o pêndulo simples sem amortecimento. Para isso, meça o período 
de cinco oscilações (sem a esfera) e determine o período natural do sistema. Em nosso 
modelamento, vamos admitir que a área de contato é pequena assim não estaremos 
preocupados com a variação da amplitude, vamos considerar que temos um MHS. 
 
Verifique se o papel preso na bancada está diretamente abaixo do laser, como mostra a Figura 
8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8. Aparato experimental para obtenção do período de oscilação do Movimento Harmônico Simples. 
 
Preencha a Tabela 1 com os tempos (t) de cinco oscilações completas, sem amortecimento. 
Divida os valores obtidos por cinco e obtenha os períodos naturais de oscilação (T0). 
 
 
Pêndulo com amortecimento. Determinação do pseudo período T. 
 
A seguir, vamos analisar o pêndulo simples com amortecimento. Vamos aumentar a área de 
contato (acrescentar a esfera) e medir novamente o tempo de cinco oscilações e determine o 
pseudo período do sistema. 
 
Agora coloque a esfera de isopor sobre o laser (Figura 9) e meça os tempos de oscilação. 
 
Figura 9. Aparato experimental para obtenção do período de oscilação do Movimento Harmônico Amortecido. 
Laser 
Papel 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 26 
 
 
Preencha a Tabela 2 com os tempos (t) de cinco oscilações completas. Divida os valores obtidos 
por cinco e obtenha os pseudo períodos de oscilação (T). Repita o processo três vezes e faça a 
média. 
 
Pêndulo com amortecimento. Determinação da amplitude. 
 
A seguir, ainda com a esfera, afaste o corpo de sua posição de equilíbrio de uma amplitude A0 
(amplitude máxima do movimento) e solte o corpo anotando, a lápis, na folha presa na bancada 
o valor das amplitudes (para até três oscilações completas: A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6, ver Figura 
10). Meça essas posições e preencha a Tabela 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10. Marcação das amplitudes A0, A1, A2, ..., à partir da posição de equilíbrio, x = 0. 
 
 
Apenas para o corpo com a esfera. Construa o gráfico (em papel milimetrado) da variação da 
amplitude em função do período (para facilitar o desenvolvimento do gráfico adote no eixo x 
valores múltiplos de T). Desenhe também com linha tracejada a envoltória do movimento. 
 
Calcule a energia em cada ciclo e preencha a tabela correspondente. 
 
Análise 
 
Como podemos analisar os dados? A análise pode ser gráfica ou analítica, no caso, vamos 
proceder à análise graficamente. 
 
Apenas para o corpo com a esfera. Construa o gráfico (milimetrado) da variação da amplitude 
em função do período (para facilitar o desenvolvimento do gráfico adote no eixo x valores 
múltiplos de T). Desenhe também com linha tracejada a envoltória do movimento. 
Obtenha a equação do movimento e verifique que se trata de um movimento sub amortecido, 
para isso compare os valores de 𝜸 e 𝝎𝟎. 
 
Calcule a energia do sistema no: instante inicial, após um ciclo, após dois ciclos e após três 
ciclos, analise a variação percentual de energia em relação à energia inicial e comente o que 
aconteceu. 
 
A0 A2 0 A3 A1 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 27 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
MOVIMENTO AMORTECIDO 
 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 28 
 
Instrumentos de Medida 
 
 
Preencha a tabela abaixo com as incertezas e a faixa de trabalho de cada instrumento de 
medida. 
 
 
Instrumento Faixa de trabalho Incerteza na leitura 
Régua 
Cronômetro 
 
 
Resultados 
 
 
Tabela 1. Tempo de cinco oscilações completas para o pêndulo sem amortecimento. 
 
 1 2 3 média 
t (s) 
T0 (s) 
 
 
Tabela 2. Tempo de cinco oscilações completas para o pêndulo com amortecimento. 
 
 1 2 3 média 
t (s) 
T (s) 
 
 
Tabela 3. Amplitudes para o pêndulo com amortecimento. 
 
A0 (m) A2 (m) A4 (m) A6 (m) A1 (m) A3 (m) A5 (m) 
 
 
 
 
Construa o gráfico (em papel milimetrado) da variação da amplitude em função do período 
(para facilitar o desenvolvimento do gráfico adote no eixo x valores múltiplos de T). Desenhe 
também com linha tracejada a envoltória do movimento. 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 29 
 
 
Construa o gráfico da LINEARIZAÇÃO DA ENVOLTÓRIA (em papel monolog) da variação da 
amplitude em função do período (para facilitar o desenvolvimento do gráfico adote no eixo x 
valores múltiplos de T). Considere todas as amplitudes em módulo. 
 
Preencha as tabelas a seguir com valores calculados no experimento. 
 
Calcule o fator de amortecimento à partir do gráfico por meio de sua declividade. 
 
𝝎𝟎 (rad/s) 𝝎 (rad/s) 𝜸 (rad/s) 𝜽𝟎 (rad) C0 (m) 
 
 
 
Escreva a equação da oscilação Sub Amortecida: 
 
x (t) = m 
 
Energia do sistema 
 
 
𝑬𝒏
𝑬𝟎
⁄ = 𝒆−𝟐.𝒏.𝜸.𝑻 % 
𝑬𝟎 
𝑬𝟏 
𝑬𝟐 
𝑬𝟑 
 
Análise e Conclusões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OSCILADOR AMORTECIDO 
 
 30 
 
 
Questões 
 
 
1. O movimento estudado é um movimento Sub Amortecido? Por quê? 
 
 
 
 
 
 
2. Como você justificaria a diferença entre a energia inicial a as demais? 
 
 
 
 
 
 
 
3. O pseudo período (T) depende da amplitude? Justifique. 
 
 
 
 
 
 
4. Por que o pseudo período(T) se mantém constante mesmo com a perda de energia? Analise 
sob o ponto de vista da velocidade e aceleração do movimento. 
 
 
 
 
 
 
5. Quem é maior, o período natural (T0) ou o pseudo período (T)? Por quê? 
 
 
 
 
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
 
 31 
 
 
4. OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
 
Objetivos 
 
 Entender o conceito de ressonância. 
 
 Compreender o que é frequência de ressonância de um sistema e o que a afeta. 
 
 Entender o que é amortecimento e qual o seu efeito. 
 
 
Material 
 
 Simulação Phet (deverá ser feita previamente à aula) 
 
 
 
Introdução Teórica 
 
 
Ressonância 
 
Ressonância é o fenômeno que acontece quando um sistema físico recebe energia por meio de 
excitações de frequência igual a uma de suas frequências naturais de vibração. Assim, o sistema 
físico passa a vibrar com amplitudes cada vez maiores. 
Cada sistema físico, capaz de vibrar, possui uma ou mais frequências naturais, isto é, que são 
características do sistema. Essas frequências dependem da maneira como o sistema é 
construído. Como por exemplo, um pêndulo ao ser afastado do ponto de equilíbrio, cordas de 
um violão ou uma ponte para a passagem de pedestres sobre uma rodovia movimentada. 
Todos estes sistemas possuem suas frequências naturais, que lhes é característica. Quando 
ocorrem excitações periódicas sobre o sistema, como quando o vento sopra com frequência 
constante sobre uma ponte durante uma tempestade, acontece um fenômeno de superposição 
de ondas que alteram a energia do sistema, modificando sua amplitude. 
Um caso muito famoso deste fenômeno foi o rompimento da ponte Tacoma Narrows, nos 
Estados Unidos, em 7 de novembro de 1940. Em um determinado momento o vento começou a 
soprar com frequência igual à frequência natural de oscilação da ponte, fazendo com que esta 
começasse a aumentar a amplitude de suas vibrações até que sua estrutura não pudesse mais 
suportar, fazendo com que sua estrutura rompesse. 
O caso da ponte Tacoma Narrows pode ser considerado uma falha humana, já que o vento que 
soprava no dia 7 de Novembro de 1940 tinha uma frequência característica da região onde a 
ponte foi construída, logo os engenheiros responsáveis por sua construção falharam na análise 
das características naturais da região. Por isto, atualmente é feita uma análise profunda de 
todas as possíveis características que possam requerer uma alteração em uma construção civil. 
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
 
 32 
 
Imagine que esta é uma ponte construída no estilo pênsil, e que sua frequência de oscilação 
natural é dada por: 
 
 
 
Ao ser excitada periodicamente, por um vento de frequência: 
 
 
 
A amplitude de oscilação da ponte passará a ser dada pela superposição das duas ondas: 
 
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
 
 33 
 
 
Se a ponte não tiver uma resistência que suporte a amplitude do movimento, esta sofrerá danos 
podendo até ser destruída como a ponte Tacoma Narrows. 
 
Procedimentos 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
Acesse o site do Phet e realize a simulação: Ressonância. A seguir realize as atividades 
conforme as simulações realizadas. 
 
Acesse o site: https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/resonance 
Leia as instruções documento em anexo (ressonance guide) da simulação. 
 
Dicas para a simulação: 
 
 Calcule a frequência natural do sistema. 
 
 Use o seletor de frequência lentamente. Esta simulação mostra o comportamento da 
vida real, assim as observações devem ser realizadas durante um período de tempo 
antes de mudar as variáveis. 
 
 Mude apenas uma varíavel de cada vez. 
 
 
 
 
DICAS PARA ESCREVER A CONCLUSÃO 
 
Observe os objetivos do experimento. Veja se foram atingidos. Se resultados 
numéricos foram encontrados, eles devem aparecer também nas conclusões. 
 
 
OSCILAÇÕES FORÇADAS E RESSONÂNCIA 
 
 34 
 
Atividade Preparatória para a Apresentação 
 
 
1. Usando as ferramentas fornecidas na simulação, identifique o que afeta a ressonância 
natural para um sistema massa-mola. 
 
2. Realize simulações com um ressonador. 
 
Comece calculando a frequência natural do sistema massa mola, em seguida, organize seus 
dados da seguinte forma: 
 
 Variação da amplitude em função da frequência do motor (sem amortecimento) 
 Variação da amplitude em função da frequência do motor (com amortecimento) 
 
 
 
Faça as respectivas tabelas ANALISANDO PONTOS MENORES, IGUAIS E MAIORES à frequência 
natural, plote ambos os gráficos (com e sem amortecimento) com a mesma escala, e faça as 
respectivas análise gráficas. Colete um número suficiente de pontos que permita uma análise 
da relação entre as variáveis e permita observar o que afeta o pico da amplitude. 
 
3. Dê exemplos de pelo menos um sistema do mundo real (na sua área de habilitação) onde a 
compreensão da ressonância é importante. 
 
4. O que é Análise vibro-acústica? 
 
Na aula, além de entregar o relatório o grupo deverá realizar uma apresentação das 
atividades realizadas e resultados obtidos. Os grupos serão sorteados pelo professor e a nota 
da apresentação será a nota do relatório. 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 35 
 
5. ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
Objetivos 
 
 Estudar o comportamento de uma Onda Estacionária. 
 
 Obter a função que relaciona a frequência com o número de modos de vibração, o 
comprimento, a força de tração e a densidade linear de uma corda ou fio quando 
ocorrem ondas estacionárias nessa mesma corda ou fio. 
 
 
Material 
 
 Fonte de tensão contínua. 
 Régua. 
 Aparato para o experimento de ondas estacionárias. 
 
 
Introdução Teórica 
 
Ondas estacionárias 
 
Ondas estacionárias são ondas que possuem um padrão de vibração estacionário. Formam-se a 
partir de uma superposição de duas ondas idênticas mas em sentidos opostos, normalmente 
quando as ondas estão confinadas no espaço como ondas sonoras em um tubo fechado e 
ondas de uma corda com as extremidades fixas. Esse tipo de onda é caracterizado por pontos 
fixos de valor zero, chamados de nodos (nós), e pontos de máximo também fixos, chamados de 
antinodos (ventres). São ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma 
freqüência, mesma amplitude, mesmo comprimento de onda, mesma direção e sentidos 
opostos. 
Uma onda é descrita pela equação: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙 − 𝝎. 𝒕) (𝟏) 
Sendo: 
 A a amplitude, que depende da posição x do elemento, 
 ω a frequência angular (medida em radianos por segundo), 
 k (número de onda), k=2π/λ, onde λ é o comprimento de onda, 
 t é a variável tempo. 
 
O λ é o comprimento de onda é, a distância entre dois pontos sobre a onda que se comportam 
de forma idêntica. Assim: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏 (
𝟐. 𝝅. 𝒙
𝝀
−
𝟐. 𝝅. 𝒗. 𝒕
𝝀
) (𝟐) 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 36 
 
Se t aumentar, o argumento da função seno (k.x − ω.t) diminui. De modo a obter o mesmo 
valor de y em um momento posterior, x deve aumentar também, o que implica que esta onda 
se desloca para a direita (onda progressiva). Por outro lado, o argumento (k.x + ω.t) representa 
uma onda que se desloca para a esquerda (onda regressiva). 
 
Quando a onda que se propaga para a direita atinge uma extremidade fixa, será refletida na 
direção oposta. 
 
 
Figura 1 – Onda que se propaga para a direita sendo refletida após atingir a extremidade. 
 
Temos assim, duas ondas, uma se propagando num sentidoe a outra no sentido oposto: 
 
𝒚𝟏(𝒙, 𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙 − 𝝎. 𝒕) (𝟑) 
 
𝒚𝟐(𝒙, 𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙 + 𝝎. 𝒕) (𝟒) 
 
A onda resultante, y3, que é a soma das ondas individuais, é dada por: 
 
𝒚𝟑(𝒙, 𝒕) = 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙 − 𝝎. 𝒕) + 𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙 + 𝝎. 𝒕) (𝟓) 
 
Reescrevendo a equação 6, temos: 
 
𝒚𝟑(𝒙, 𝒕) = 𝟐𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕) (𝟔) 
 
Observe que as variáveis x e t são separadas, assim, a onda resultante não mais se propoga. 
Chamamos esta onda de ONDA ESTACIONÁRIA. 
 
Observe que amplitude máxima para um dado valor de y é delimitada por 2A. 
 
Modos normais de vibração - Harmônicos 
 
Quando duas extremidades de uma corda de uma corda de comprimento L são mantidas fixas, 
as ondas estacionárias só podem ocorrer quando L for um múltiplo inteiro de λ/2. 
 
Cada frequência e a configuração de vibração a ela associada constitui um modo normal de 
vibração. 
 
Neste caso, os possíveis valores de k e λ para qualquer dado L são: 
 
𝒌. 𝑳 = (
𝟐. 𝝅
𝝀
) . 𝑳 = 𝒏.𝝅 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … (𝟕) 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 37 
 
 
ou: 
𝝀 =
𝟐. 𝑳
𝒏
 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, … (𝟖) 
 
Cada modo de vibração é chamado harmônico. A figura 2 mostra o modo com índice n = 4 (o 
quarto harmônico). 
 
 
Figura 2 – Onda estacionária: quarto harmônico. 
 
Os pontos fixos de valor zeros são chamados de nodos (nós), e pontos de máximo também 
fixos, chamados de antinodos (ventres). As posições em que a vibração é pequena ou nula são 
chamadas de nós, enquanto as posições onde a vibração é maior são chamadas ventres. O 
número de ventres é igual ao índice de vibração e para a classificação ordinal da harmónica (se 
tiver quatro ventres será o quarto harmônico). A figura 3 mostra vários outros modos de 
vibração. 
 
http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/arch2006-06-04_2006-06-10.html 
Figura 4 – Cinco primeiros harmônicos de uma onda estacionária. 
 
Se uma onda tem frequência de vibração do primeiro harmônico de 100 Hz, o segundo 
harmônica será 200 Hz, o terceiro de 300 Hz e assim por diante. 
 
 
 
 
nós 
ventres 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 38 
 
Propriedades das ondas estacionárias 
 
A velocidade de onda (v) depende de duas quantidades: frequência (f ) e comprimento de onda 
(λ) que estão relacionadas por: 
 
𝒗 = 𝝀. 𝒇 (𝟗) 
 
Uma onda é criada por uma corda esticada, assim, a velocidade da onda também depende da 
tração na corda (F) e a massa por unidade de comprimento da corda (μ). Assim: 
 
𝒗 = √
𝑭
𝝁
 (𝟏𝟎) 
 
Ao combinarmos as equações 8,9, e 10, pode-se expressar a frequência de vibração como: 
 
𝒇𝒏 =
𝒏
𝟐. 𝑳
.√
𝑭
𝝁
 (𝟏𝟏) 
 
Quando uma onda se propaga de um meio para outro, algumas de suas propriedades mudam 
(por exemplo, a velocidade e o comprimento de onda), mas a sua frequência permanece fixa. 
Sse considerarmos o ponto em que duas cordas de diferentes densidades são unidas. Se as 
duas cordas têm frequências diferentes, os dois lados do ponto iriam oscilar em suas próprias 
frequências, e o ponto já não seria um "conjunto". Matematicamente falando, a função não 
seria contínua na "junção". A constância da frequência nos permite determinar a velocidade da 
onda e comprimento de onda em um meio diferente, da freqüência em que o meio é 
conhecido. 
 
Aplicações de Ondas Estacionárias na Engenharia 
 
Um exemplo muito citado de utilização das ondas eletromagnéticas estacionárias é um forno 
de micro-ondas. Num forno de micro-ondas existe um equipamento eletrônico que gera micro-
ondas de λ = 12,2 cm para aquecer o alimento. Este comprimento de onda é fortemente 
absorvido pelas moléculas de água contidas nos alimentos. Absorvendo a energia das micro-
ondas, essas moléculas agilizam seu movimento e, a partir do aumento de atrito com as 
moléculas vizinhas, aumentam a temperatura da comida. As micro-ondas com λ = 12,2 cm têm 
outras propriedades interessantes: elas não são absorvidas pela maioria dos plásticos, vidros ou 
cerâmicas, e são refletidas por metais (por isso, as panelas de metal não podem entrar ao forno 
de micro-ondas). Devido a tudo isso, os fornos de micro-ondas são extremamente eficientes 
porque aquecem apenas o alimento, e nada mais, em um tempo bem curto. 
 
Agora, por que você acha por que o alimento gira nos fornos de micro-ondas? Como as paredes 
do forno são metálicas, as micro-ondas são constantemente refletidas por elas e formam um 
padrão das ondas estacionárias dentro de forno. Sem girar, alguns pontos da comida ficariam 
sempre nas posições de nós, e outros nas posições dos ventres. Os primeiros não seriam 
aquecidos, e os segundos seriam superaquecidos (passados). A rotação do prato dentro do 
forno evita que isso aconteça! 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 39 
 
 
 
 
Procedimentos 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
Antes de começar a montar o circuito, certifique-se de que todos os componentes estão sobre 
a bancada. 
 
 
 
CUIDADOS NECESSÁRIOS AO EXPERIMENTO 
 
Não devemos colocar a fonte em curto-circuito. O circuito somente deve ser energizado após 
conferir toda a montagem. 
 
A montagem deve se iniciar pela fonte e por todos os componentes em série. Somente conecte 
o voltímetro (em paralelo com o bipolo) por último. 
 
Como estamos medindo um circuito de corrente contínua, tanto o voltímetro quanto o 
amperímetro possuem polaridade. A montagem correta dos instrumentos no circuito é 
fundamental. 
 
O polo positivo ( + ) do instrumento deve ser ligado no ponto onde a corrente “entra”, 
admitindo-se que ela “sai” do terminal positivo da fonte e retorne no terminal negativo. 
 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Monte o experimento de ondas estacionárias conforme o diagrama a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura X - Aparato para o experimento de ondas estacionárias. 
 
 
 
Fonte 
Amplificador 
Gerador de 
áudio 
L 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 40 
 
Preencha a tabela 1 do relatório utilizando a tabela fornecida pelo professor. 
 
Como iremos estudar a dependência de uma grandeza em função de quatro outras, iremos 
fixar três dessas variáveis e variar a quarta. Dessa forma analisaremos separadamente a 
dependência da frequência em relação à força de tração, ao número de ventres, ao 
comprimento do fio e à densidade do fio. 
 
Para cada uma das variáveis, preencha a tabela correspondente no relatório e depois trace um 
gráfico em papel milimetrado. Se for preciso utilize papel di-log para linearizar a curva obtida. 
 
Considerando todas as relações matemáticas obtidas podemos consolidá-las em uma única 
equação, assim, escreva a equação da frequência da onda estacionária em função de L, n, F e µ. 
 
Use os pontos das tabelas do relatório e calcule o valor da constante de proporcionalidade. 
 
Encontre o comprimento de onda (λ) da onda estacionária a partir da equação da frequência e 
da relação: 
 
𝒗 = 𝝀. 𝒇 
 
 
 
DICAS PARA ESCREVER A CONCLUSÃO 
 
Observe os objetivos do experimento. Veja se foram atingidos. Se resultados 
numéricos foram encontrados, eles devem aparecer também nas conclusões. 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 41 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
 
 
 
 
 
ObjetivosONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 42 
 
Instrumentos de Medida 
 
Preencha a tabela abaixo com as incertezas e a faixa de trabalho de cada instrumento de 
medida. 
 
Instrumento Faixa de trabalho Incerteza na leitura 
Régua 
 
 
 
Procedimentos 
 
Monte o circuito a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Siga os procedimentos da parte teórica e obtenha os dados para preenchimento das tabelas na 
seção de resultados. 
 
 
Resultados 
 
Vamos levantar os dados experimentais necessários à análise de cada variável. 
 
Tabela 1 – Densidade linear de alguns fios. 
 
Φ (diâmetro) (mm) µ (kg/m) 
 
 
 
 
 
Fonte 
Amplificador 
Gerador de 
áudio 
L 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 43 
 
Frequência em função do número de ventres. 
 
Sugestão: use o fio de diâmetro igual a 0,70 mm e aproximadamente 100 g de massa no 
suporte. 
 
f = f (n) L = 1,0 m F = µ = 
 
n 1 2 3 4 
f (Hz) 
C 
 
Faça o gráfico correspondente a frequência em função do número de ventres. 
 
Obtenha a relação matemática entre as variáveis (Se necessário linearize o gráfico). 
 
Qual a relação matemática obtida? ________________________ 
 
Frequência em função do comprimento do fio. 
 
Sugestão: use o fio de diâmetro igual a 0,70 mm e aproximadamente 100 g de massa no 
suporte. 
 
f = f (L) n = 2 F = µ = 
 
L (m) 0,6 0,8 1,0 1,2 
f (Hz) 
C 
 
Faça o gráfico correspondente a frequência em função do comprimento do fio. 
 
Obtenha a relação matemática entre as variáveis (Se necessário linearize o gráfico). 
 
Qual a relação matemática obtida? ________________________ 
 
Frequência em função da Força de Tração no fio. 
 
Sugestão: use o fio de diâmetro igual a 0,70 mm e comece com aproximadamente 100 g de 
massa no suporte. 
 
f = f (F) L = 1,0 m n = 2 µ = 
 
F (N) 
f (Hz) 
C 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 44 
 
Faça o gráfico correspondente à frequência em função da força de tração. 
 
Obtenha a relação matemática entre as variáveis (Se necessário linearize o gráfico). 
 
Qual a relação matemática obtida? ________________________ 
 
Frequência em função da densidade do fio. 
 
Sugestão: use aproximadamente 100 g de massa no suporte. 
 
f = f (µ) n = 2 L = 1,0 m F = 
 
µ (kg/m) 
f (Hz) 
C 
 
Faça o gráfico correspondente a frequência em função da densidade do fio. 
 
Obtenha a relação matemática entre as variáveis (Se necessário linearize o gráfico). 
 
Qual a relação matemática obtida? ________________________ 
 
Preencha o quadro a seguir: 
 
Variável 
Expoente da 
equação teórica 
Expoente da 
equação 
experimental 
Erro percentual (%) 
n 
L 
F 
µ 
 
 
Equação da frequência da onda estacionária em função de L, n, F e µ 
Equação téorica Equação experimental 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 45 
 
Utilizando sua equação experimental, e os dados de cada tabela coletada, calcule o valor da 
constante de proporcionalidade C e determine o Cmédio. 
 
Constante de 
proporcionalidade teórica 
Constante de 
proporcionalidade 
experimental (média) 
Erro % 
 
 
Qual a equação final obtida? 
 
 𝒇 = 
 
 
Análise e Conclusões 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ONDAS ESTACIONÁRIAS 
 
 46 
 
Questões 
 
Escolha os dados da primeira coluna da tabela Frequência em função do número de ventres. 
 
1. Escreva a função da onda estacionária 𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝟐𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝒌. 𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕) para n = 1, n = 2 
e n = 4. 
 
 
 
 
 
 
2. Obtenha as componentes da onda progressiva e regressiva que compõem a onda 
estacionária para n = 1. 
 
 
 
 
3. Um forno de micro-ondas é alimentado por um tubo de elétrons, chamado magnetron, que 
gera ondas eletromagnéticas na frequência de 2,45 GHz. As micro-ondas entram no forno e são 
refletidas pelas paredes. O padrão de onda estacionária produzido no forno pode cozinhar a 
comida desigualmente, com pontos quentes da comida nos antinodos e pontos frios nos nodos. 
Sendo assim, uma bandeja giratória é frequentemente usada para girar a comida e distribuir a 
energia. Se um forno de micro-ondas projetado para ser utilizado com uma bandeja giratória é, 
em vez disso, usado com um prato de cozimento em uma posição fixa, os ventres podem 
aparecer como marcas de queimadura em alimentos como tiras de cenoura ou queijo. A 
distância de separação entre as queimaduras é medida como sendo de 6 cm ± 5 %. A partir 
desses dados, calcule a velocidade das micro-ondas. 
 
Dica: Lembre-se que a distância entre ventres (queimaduras) é igual à metade de comprimento 
de onda. Calculando esse comprimento e sabendo frequência, é fácil calcular velocidade da 
onda. 
 
 
 
 
4. Sabendo que o comprimento da corda é L = 1,0 m, que as extremidades são fixas e que 
tivemos dois ventres, qual o comprimento de onda? 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 47 
 
6. COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
Objetivos 
 
 Caracterizar um dispositivo elétrico analisando seu comportamento ôhmico e não-ôhmico 
 
Material 
 
 Fonte de tensão contínua. 
 Amperímetro e voltímetros. 
 Reostato. 
 Bipolos elétricos. 
 Placa para a fixação dos bipolos. 
 
Introdução Teórica 
 
Curva característica VI 
 
A curva característica de tensão e corrente de um dispositivo ou componente elétrico permite 
definir qual o funcionamento elétrico daquele dispositivo ou componente, pois apresenta qual 
a corrente que o dispositivo terá à partir de uma dada tensão aplicada. Todos os dispositivos 
elétricos possuem uma curva característica VI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Exemplo de curva característica de um dispositivo elétrico 
 
DEFINIÇÃO DE BIPOLO ELÉTRICO 
 
Chamamos de bipolo elétrico a todo dispositivo elétrico com dois terminais (polos) acessíveis e 
pelo qual se possa fazer circular uma corrente elétrica, de modo que a corrente que entra num 
dos terminais seja, em qualquer instante, igual à corrente que flui do outro lado (Figura 2). 
 
V 
I 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 48 
 
 
Figura 2 - Representação genérica de um bipolo. 
 
Os bipolos podem ser classificados em: ativos e passivos, lineares e não lineares, simétricos e 
assimétricos. 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM BIPOLO ELÉTRICO 
 
Bipolos Ativos e Passivos 
 
Um bipolo ativo, ou gerador, é um dispositivo elétrico que transforma algum tipo de energia 
em energia elétrica. Ex: pilha, bateria, gerador, dínamo, etc. Seu objetivo é elevar o potencial 
elétrico e assim produzir diferença de potencial a qual, por sua vez, produz corrente elétrica. 
 
 
 
Figura 3 - Bipolos ativos: pilhas, bateria e gerador. 
 
No gráfico de tensão em função da corrente de um bipolo ativo (gerador) a tensão é máxima 
quando a corrente é igual a zero e diminui à medida que a corrente elétrica aumenta. Observe 
que há tensão entre os seus terminais mesmo que não haja corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4 - Curva característica de um bipolo ativo (gerador). 
Os bipolos passivos, ou receptores, transformam energia elétrica em outro tipo de energia. Por 
exemplo: lâmpada (energia luminosa), motor elétrico (energia mecânica), chuveiro (energia 
térmica), etc. (Figura 5). 
VI 
V 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 49 
 
 
 
Figura 5 - Bipolos passivos: lâmpada, motor elétrico, chuveiro. 
 
Nos bipolos passivos não há diferença de potencial entre seus terminais quando não há 
corrente. Ele consome energia, não gera. A Figura 6 apresenta uma representação da curva 
característica de um bipolo passivo (receptor). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 - Curva característica de um bipolo passivo (receptor). 
Bipolos Lineares e Não Lineares 
 
Os bipolos também podem ser classificados em lineares (ôhmicos) e não lineares (não-
ôhmicos). Essa classificação diz respeito ao gráfico da tensão em função da corrente. Se a curva 
obtida for linear, ou seja, existe uma proporção constante entre tensão e corrente (V=R.I), o 
bipolo será classificado como linear, caso contrário, o bipolo é tido como não linear. 
A Figura 7a mostra o gráfico de um bipolo linear, enquanto que a Figura 7b mostra o gráfico de 
um bipolo não linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) (b) 
 
Figura 7 - Curvas características de um bipolo linear (a) não linear (b). 
 
 
 
 
V 
I 
V 
I 
V 
I 
𝑽
𝒊
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑽
𝒊
= 𝒏ã𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 50 
 
Bipolos Simétricos e Assimétricos 
 
Um bipolo é classificado como simétrico, quando o gráfico da tensão em função da corrente 
desse bipolo resulta em uma curva simétrica em relação à origem. A Figura 8 mostra a curva 
característica de um bipolo simétrico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Curva característica de um bipolo simétrico. 
 
A simetria nesta curva característica nos mostra que se invertermos o sentido da corrente 
elétrica o bipolo continua funcionando. É o caso, por exemplo, de uma lâmpada. Quando 
invertemos a polaridade de uma lâmpada comum, ela continua acendendo. 
 
Um bipolo elétrico é classificado como não simétrico quando o gráfico da tensão em função da 
corrente desse bipolo resulta em uma curva assimétrica em relação à origem. A Figura 9 mostra 
a curva característica de um bipolo assimétrico. Neste caso, o bipolo apresenta 
comportamentos distintos conforme a sua conexão, ou seja, polaridade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Curva característica de um bipolo assimétrico. 
 
V 
I 
V 
I 
Sentido 
Direto
 
Sentido 
Inverso
 
Sentido 
Direto
 
Sentido 
Inverso
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 51 
 
 
Assim, ao sabermos que um bipolo é ativo, sabemos que possui tensão em seus terminais 
independentemente de ter uma carga ligada à ele (corrente passando). Se o bipolo for linear 
podemos prever o seu comportamento dentro da faixa de trabalho pois a relação 
tensão/corrente é sempre constante e se ele for simétrico não temos que nos preocupar com 
sua polaridade (sentido de ligação). 
 
Procedimentos 
 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
CUIDADOS NECESSÁRIOS AO PLANEJAMENTO 
 
Não devemos colocar a fonte em curto-circuito. 
 
O circuito somente deve ser energizado após conferir toda a montagem. 
A montagem deve iniciar pela fonte e por todos os componentes em série. Somente conecte o 
voltímetro (paralelo) por último. 
 
Como estamos medindo um circuito de corrente contínua, tanto o voltímetro quanto o 
amperímetro possuem polaridade. A montagem correta dos instrumentos no circuito é 
fundamental. 
 
O polo positivo ( + ) do instrumento deve ser ligado no ponto onde a corrente “entra”, 
admitindo-se que ela “sai” do terminal positivo da fonte e retorne no terminal negativo. 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 52 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Para montar um circuito elétrico, primeiro é necessário conhecer suas partes: 
 
Fonte de Tensão 
 
O botão ON-OFF liga e desliga a fonte. 
 
Os botãos CURRENT limitam a 
corrente do circuito. Nos nossos 
experimentos eles devem estar 
sempre virados para direita 
(máximo). Caso a corrente esteja 
limitada a lâmpada vermelha CC irá 
acender. 
 
Os botões VOLTAGE controlam a 
tensão de saída da fonte. O botão 
FINE faz uma variação “fina” 
(pequena) da tensão, enquanto que o 
botão COARSE faz uma variação 
“grossa” (grande) da tensão. 
 
Os terminais de saída utilizados são: 
+ (positivo) e – (negativo) da fonte. 
 
Chave interruptora 
 
Serve para ligar e desligar o circuito. 
 
Paralelo à chave temos um Fúsivel 
cuja função é proteger o circuito 
contra um curto-circuito. 
 
Reostato 
 
É um resistor variável. 
 
Se ligarmos os cabos entre os seus 
terminais externos (B e D), teremos a 
resistência máxima. 
 
Se ligarmos os cabos no terminal B e 
C teremos uma resistência variável 
conforme a posição do cursor (0 à 
100%). 
 
Se ligarmos os cabos no terminal C e 
D teremos uma resistência variável 
 
 
 
 
 
 
 B C D 
B C D 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 53 
 
conforme a posição do cursor (100 à 
0%). 
 
 
Voltímetro analógico DC 
 
Como é um instrumento que mede 
tensão contínua, possui polaridade. 
 
Como mede diferença de potencial é 
sempre ligado em PARALELO. 
 
O vermelho é o terminal positivo e o 
preto o terminal negativo. 
 
Temos que verificar sua faixa de 
trabalho e incerteza. 
 
 
Amperímetro analógico DC 
 
Como é um instrumento que mede 
corrente contínua, possui polaridade. 
 
Como mede a corrente que passa 
pelo circuito é sempre ligado em 
SÉRIE. 
 
O vermelho é o terminal positivo e o 
preto o terminal negativo. 
 
Temos que verificar sua faixa de 
trabalho e incerteza. 
 
 
 
Cabo BANANA-BANANA 
 
Recebe este nome devido ao seu 
formato. 
 
A cor do cabo não importa, é apenas 
um indicativo que ajuda a 
identificação no circuito, visto que o 
cabo apenas leva o sinal de um ponto 
ao outro. 
 
Deve ser sempre manuseado por sua 
parte mais rígida (cabeça) evitando 
assim o rompimento interno. 
 
Em caso de necessidade na ligação de 
um circuito, podemos conectar um 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 54 
 
cabo ao outro por meio da furação 
existente. 
 
Bipolo 
 
Vamos trabalhar com 3 bipolos 
diferentes: 
 
- resistor 
- lâmpada 
- diodo 
 
O bipolo deve ser montado sobre 
uma placa conforme a figura ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 55 
 
Monte o circuito a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sugestão de montagem: Comece pelo terminal positivo da fonte de tensão, seguindo o sentido 
do percurso da corrente elétrica pelo circuito em série, até retornar à fonte pelo terminal 
negativo. O voltímetro deve ser conectado por último, em paralelo com o bipolo. 
 
Vamos levantar a curva característica de três bipolos distintos: resistor, lâmpada e diodo. Para 
cada um deles execute o procedimento a seguir. 
 
1) Coloque o bipolo na placa, no local indicado pelo professor. 
 
2) Ajuste o reostato para a posição de resistência máxima. 
 
3) Ajuste a fonte de tensão, lendo os valores correspondentes de tensão e corrente no 
voltímetro e amperímetro conectados ao bipolo. Caso necessário, diminua o valor da 
resistência do reostato até atingir os valores de tensão anotados nas tabelas da seção de 
resultados. 
 
4) Anote os valores das correntes nas tabelas correspondentes. 
 
5) Troque o sentido do bipoloe repita o processo. 
 
6) Troque o bipolo e repita o processo. 
 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 56 
 
CUIDADO 
Cada bipolo tem um valor máximo de tensão e corrente que poder ser aplicados sem 
danificá-los. Pergunte ao seu professor! 
 
 
DICAS PARA ESCREVER A CONCLUSÃO 
 
Observe os objetivos do experimento. Veja se foram atingidos. Se resultados 
numéricos foram encontrados, eles devem aparecer também nas conclusões. 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 57 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 58 
 
Instrumentos de Medida 
 
Preencha a tabela abaixo com as incertezas e a faixa de trabalho de cada instrumento de 
medida. 
 
Instrumento Faixa de trabalho Incerteza na leitura 
Voltímetro 1 
Voltímetro 2 
Amperímetro 
 
 
 
 
 
Resultados 
 
Preencha as tabelas abaixo para todos os valores de tensão especificados. 
 
 
 
 
LÂMPADA 
Sentido Direto Sentido Inverso 
V ( V ) I ( mA ) V ( V ) I ( mA ) 
0,0 0,0 
1,0 - 1,0 
2,0 - 2,0 
3,0 - 3,0 
4,0 - 4,0 
5,0 - 5,0 
6,0 - 6,0 
7,0 - 7,0 
8,0 - 8,0 
9,0 - 9,0 
 
RESISTOR 
Sentido Direto Sentido Inverso 
V ( V ) I ( mA ) V ( V ) I ( mA ) 
0,0 0,0 
1,0 - 1,0 
2,0 - 2,0 
3,0 - 3,0 
4,0 - 4,0 
5,0 - 5,0 
6,0 - 6,0 
7,0 - 7,0 
8,0 - 8,0 
9,0 - 9,0 
 
 
 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 59 
 
DIODO 
Sentido Direto Sentido Inverso 
V ( V ) I ( mA ) V ( V ) I ( mA ) 
0,0 0,0 
0,1 - 0,1 
0,2 - 0,2 
0,3 - 0,3 
0,4 - 0,4 
0,5 - 0,5 
0,6 - 0,6 
0,7 - 0,7 
0,8 - 0,8 
 
 
A partir das tabelas anteriores, construa o gráfico da curva característica (tensão versus 
corrente) para cada bipolo. 
 
Classifique os bipolos estudados com a ajuda dos gráficos. 
 
Bipolo Ativo Passivo Linear 
Não 
Linear 
Simétrico Assimétrico 
Lâmpada 
Resistor 
Diodo 
 
Análise e Conclusões 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 60 
 
Questões 
 
1. O diodo (como os da figura a seguir e como aquele utilizado no experimento) é um bipolo 
que possui uma característica muito importante. Que característica é essa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Classifique os bipolos à seguir como ôhmicos ou não-ôhmicos: 
 
Lâmpada: 
Resistor: 
Diodo: 
3. A partir dos gráficos a seguir, determine o valor da resistência nos pontos 1 e 2. 
 
 
 
R1 R1 
R2 R2 
 
O que você observa em relação à resistência do primeiro gráfico? 
 
 
O que você observa em relação à resistência do segundo gráfico? 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
I (A)
V (V)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
I (A)
V (V)
1 
2 
1 
2
 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 61 
 
 
 
4. A partir do gráfico a seguir, determine o valor da resistência nos pontos 1, 2 e 3. 
 
 
 
R1 
R2 
R3 
 
Pode-se dizer que o bipolo do gráfico tem comportamento linear em algum intervalo? Em caso 
afirmativo, qual seria este intervalo? 
 
 
 
 
5. Se você recebesse um bipolo desconhecido e tivesse que caracterizá-lo, o que você faria? 
 
 
 
 
 
-1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
I (A)
V (V)
1 
2 
3 
COMO CARACTERIZAR UM DISPOSITIVO ELÉTRICO? 
 
 62 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 63 
 
7. MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE 
TENSÃO CONTÍNUA 
 
Objetivos 
 
 Estudar o modelamento de um gerador com tensão contínua. 
 Obter a equação característica do gerador. 
 Estudar a variação da potência e a máxima potência obtida. 
 Obter a equação da potência do gerador. 
 
Material 
 
 Fonte de tensão contínua. 
 Voltímetro. 
 Amperímetro. 
 Folha de papel milimetrado. 
 
Introdução Teórica 
 
Grande parte dos equipamentos elétricos são alimentados por geradores (fontes) de tensão 
contínua. Por exemplo, o seu celular apesar de ligado diretamente na tomada (tensão 
alternada), possui um circuito interno que converte a tensão alternada em continua para que 
possa alimentar sua bateria. O mesmo acontece num computador ou num rádio onde os 
circuitos são alimentados em corrente contínua. 
 
Pode-se modelar uma fonte de tensão por um circuito elétrico composto por um GERADOR 
IDEAL e por uma RESISTÊNCIA INTERNA, que representa as perdas de energia relativas aos 
aspectos construtivos da fonte. 
 
A representação de uma fonte ideal pode ser vista na Figura 1 a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 – Representação de um gerador ideal. 
 
Nesse caso, toda a tensão produzida pela fonte é transmitida para o circuito, ou seja: 
 
𝑽 = 𝜺 
 
Onde V é a tensão nos terminais da fonte e Ɛ é força eletromotriz (fem do gerador ideal). 
 Ɛ 
+ - 
i 
V 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 64 
 
Mas, na realidade toda fonte de tensão possui uma resistência interna que dissipa parte da 
energia produzida pela fonte. Uma representação de uma fonte de tensão, considerando as 
perdas resistivas internas, é mostrada na Figura 2. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 – Representação de um gerador real. 
 
Assim a tensão disponível nos terminais da fonte será dada por: 
 
𝑽 = 𝜺 − 𝒓. 𝒊 
 
Onde V é a tensão nos terminais da fonte, Ɛ é força eletromotriz (fem), r é a resistência interna 
do gerador e i é a corrente elétrica gerada no circuito. Essa equação é chamada de equação 
característica do gerador. 
 
Observe que quanto menor a resistência interna de uma fonte, melhor essa fonte é, pois 
significa que ela mantém a diferença de potencial entre seus terminais, próxima da tensão 
ideal. Para que possamos analisar este bipolo (dispositivo com dois terminais) fonte vamos 
levantar sua curva tensão-corrente. 
 
Ao ligarmos diretamente os terminais do gerador, Figura 3 a seguir, ocorrerá um curto-circuito. 
Dessa forma, a diferença de potencial entre os terminais é nula. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Representação de um circuito em curto. 
 
 
Nesse caso, a tensão disponível nos terminais do gerador é igual a zero e assim, a equação do 
gerador toma a forma: 
 
𝟎 = 𝜺 − 𝒓. 𝒊𝑪𝑪 𝜺 = 𝒓. 𝒊𝑪𝑪 
 
Daí, concluímos que: 
 
𝒊𝑪𝑪 =
𝜺
𝒓
 
 
Notamos que a corrente de curto-circuito depende das características do gerador, fem (Ɛ) e da 
resistência interna (r). 
 Ɛ 
+ - r 
i 
V 
 Ɛ 
+ - r 
iCC 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 65 
 
Podemos obter a equação característica do gerador a partir do gráfico da tensão em função da 
corrente elétrica. 
 
 
 
Figura 4 – Gráfico da curva característica de um gerador. 
 
O coeficiente linear no gráfico acima representa a fem (Ɛ) e o coeficiente angular nos fornece a 
resistência interna (r).Se multiplicarmos a equação característica do gerador por i (corrente elétrica), teremos: 
 
𝑽. 𝒊 = 𝜺. 𝒊 − 𝒓. 𝒊𝟐 
 
O primeiro termo representa a potência útil enviada ao circuito (𝑷𝒖 = 𝑽. 𝒊). O segundo termo é a 
potência gerada (𝑷𝒈 = 𝜺. 𝒊) e o último termo é a potência dissipada (𝑷𝒅 = 𝒓. 𝒊
𝟐). Assim, 
podemos escrever: 
 
𝑷𝒖 = 𝑷𝒈 − 𝑷𝒅 
 
Escrevendo a potência útil em termos da fem e da resistência interna, ficamos com: 
 
𝑷𝒖 = 𝜺. 𝒊 − 𝒓. 𝒊
𝟐 
 
O gráfico da potência útil em função da corrente elétrica é uma parábola de concavidade para 
baixo, conforme podemos observar a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 – Gráfico da curva característica da potência útil de um gerador. 
 
0 iCC i 
V 
Ɛ 
0 i icc i 
Pu 
 
 
Pumáx 
 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 66 
 
Devido à simetria do gráfico da parábola podemos notar que a corrente i (que determina o 
ponto de máxima potência) é igual à metade da corrente de curto-circuito, ou seja: 
 
𝒊 =
𝒊𝑪𝑪
𝟐 
 
 
Essa corrente corresponde ao valor que define a potência útil máxima transferida ao circuito. 
Substituindo o valor da corrente de curto-circuito, chegamos a: 
 
𝒊 =
𝜺
𝟐. 𝒓
 
 
Substituindo esse valor na equação característica do gerador, ficamos com: 
 
𝑽 = 𝜺 − 𝒓.
𝜺
𝟐.𝒓 
𝑽 = 𝜺 −
𝜺
𝟐
 𝑽 =
𝜺
𝟐
 
 
Ou seja, no caso de uma potência máxima sendo transferida ao circuito, temos que a diferença 
de potencial é igual à metade da força eletromotriz (fem). Se toda a resistência externa puder 
ser representada por R, podemos escrever a Lei de Ohm para o circuito como sendo: 
 
𝑽 = 𝑹. 𝒊 
 
Substituindo os valores da corrente elétrica e da tensão, teremos: 
 
𝜺
𝟐
= 𝑹.
𝜺
𝟐.𝒓 
𝟐. 𝒓. 𝜺 = 𝟐.𝑹. 𝜺
 
𝒓 = 𝑹 
 
Ou seja, teremos uma transferência máxima de potência a resistência externa se igualar à 
resistência interna: R = r. 
 
Para determinarmos o rendimento de um gerador (ƞ), devemos fazer a razão entre a potência 
útil e a potência gerada, ou seja: 
 
𝜼 =
𝑷𝒖
𝑷𝒈
 
 
 
Substituindo as equações correspondentes a essas potências, ficamos com: 
 
𝜼 =
𝑽.𝒊
𝜺.𝒊 
𝜼 =
𝑽
𝜺
 
 
 
E, assim, o rendimento máximo será de: 
 
𝜼 =
𝜺 𝟐⁄
𝜺
= 𝟓𝟎 %
 
 
Mas, o que isto significa? 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 67 
 
Significa que se quisermos aproveitar a máxima potência transmitida por uma fonte, a carga 
que deve ser ligada entre seus terminais deve ter resistência próxima da resistência interna da 
fonte. 
 
A máxima transferência de potência para a carga ocorre quando Rext=Rinterna. Com cargas de 
baixa resistência, a fonte é forçada a gerar muita energia elétrica, sendo que boa parte dessa 
energia é dissipada na própria fonte. Isso tem dois efeitos ruins: sobre-aquecimento da fonte, o 
que pode danificá-la, e um consumo elevado de energia (se a fonte for, por exemplo, uma 
pilha, ela se descarrega mais rapidamente do que se estivesse alimentando uma carga de maior 
resistência). 
 
A máxima transferência de potência não significa eficiência máxima. De fato, apenas metade da 
potência gerada é dissipada na carga, o que resulta em 50% de eficiência. A eficiência é máxima 
quando a resistência interna do gerador é pequena em comparação com a resistência de carga. 
 
O ideal é que a resistência da carga seja muito maior do que a resistência interna do gerador, 
porque nessa situação a eficiência será próxima de um e a potência dissipada como calor no 
gerador será pequena. Portanto, em situações operacionais utilizam-se geradores que possuem 
resistências internas muito menores que as resistências de carga. 
 
Procedimentos 
 
 
PLANEJAMENTO DO EXPERIMENTO 
 
CUIDADOS NECESSÁRIOS AO PLANEJAMENTO 
 
Não devemos colocar a fonte em curto-circuito. 
O circuito somente deve ser energizado após conferir toda a montagem. 
A montagem deve iniciar pela fonte e por todos os componentes em série. Somente conecte o 
voltímetro (paralelo) por último. 
 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
 
Nosso objetivo é determinar a equação característica da fonte (e também a equação da 
potência). Para isso, vamos variar uma resistência externa e medir a corrente do circuito e a 
tensão de saída dos terminais da fonte. 
 
No caso do experimento realizado nos laboratórios de Física 2 (como a fonte de tensão que é 
utilizada é de boa qualidade) a resistência interna é baixa, assim vamos imitar uma fonte de 
tensão ruim (com resistência interna mais elevada) e colocar um reostato (com resistência ao 
máximo) ligado em série com a fonte. Deste modo, para o seu estudo o estudante deverá 
considerar como fonte o conjunto (fonte + reostato). 
 
 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 68 
 
Monte o circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se quer uma resistência variável para a resistência externa R, vamos usar o reostato da 
seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Observe que se quiséssemos a resistência máxima do reostato deveríamos ter realizado a 
ligação diretamente nos pontos B e D. 
 
Siga as instruções: 
 
1. Mantenha a chave (interruptor) desligada. 
2. Gire o cursor do REOSTATO 2 de modo que a resistência fique em seu valor máximo. 
3. Ajuste a tensão de saída da fonte em 12 V. Não será necessária nenhuma outra alteração na 
fonte durante o experimento. 
4. Regule o REOSTATO 2 de modo a fazer 10 medições de tensão e corrente. 
5. Utilizando os dados coletados, construa, utilizando folhas de papel milimetrado: 
 
- a curva característica do gerador (gráfico da tensão em função da corrente). 
- a curva de potência útil do gerador (gráfico da potência útil em função da corrente). 
 
OBSERVAÇÕES: 
1. Os dados levantados permitem traçar a curva característica do gerador de forma parcial, 
pois na prática não desejamos que o circuito entre em curto, assim o valor da corrente de 
curto-circuito deve ser obtido a partir da equação do gerador obtida graficamente. 
2. Os valores obtidos de potência constituem apenas uma parte da curva de potência, como 
ela tem o comportamento de uma parábola, você pode calcular o ponto de pico quando 
𝒊 = 𝒊𝑪𝑪 𝟐⁄ . O outro lado da curva obtém-se espelhando o gráfico em relação ao eixo de 
simetria da parábola. 
 
 
DICAS PARA ESCREVER A CONCLUSÃO 
 
Observe os objetivos do experimento. Veja se foram atingidos. Se resultados 
numéricos foram encontrados, eles devem aparecer também nas conclusões. 
 
ε Reostato 2 
 
 
Fonte 
 
 Ɛ 
 
 
 
A 
V 
B 
C 
D 
 
Reostato 1 
+ 
+ 
0 
100 % 
+ 
 - 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 69 
 
 
LABORATÓRIO DE 
FÍSICA 2 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA – 
FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
Grupo Turma Laboratório Equipe Data 
 
 
 
RA Nome 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA - FONTE DE TENSÃO CONTÍNUA 
 
 70 
 
Instrumentos de Medida 
 
Preencha a tabela abaixo com a incerteza na leitura e a faixa de trabalho de cada instrumento 
de medida. 
 
 
Tabela 1 – Faixa de trabalho e incertezas dos instrumentos utilizados. 
 
Instrumento Faixa de trabalho Incerteza na leitura 
Voltímetro 
Amperímetro