regra da probabilidade total e teorema de bayes

Prévia do material em texto

Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições
Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental
Aula 4
Prof. Carlos Henrique Ribeiro Lima
Departamento de Engenharia Civil e Ambiental
Universidade de Brasília
19 Agosto 2014
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições
Agenda
1 Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
2 Variáveis Aleatórias e suas Distribuições
Introdução
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Partição do Espaço Amostral
Definição: Dizemos que os eventos C1,C2, . . . ,Ck formam uma
partição (ou conjunto exaustivo) do espaço amostral S, se:
Ci ∩ Cj = ∅, ∀i 6= j ;⋃k
i=1 Ci = S ;
P(Ci) > 0,∀i .
Exemplo: Experimento é jogar um dado → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplo de partição:
C1 = {1, 3, 5} (número ímpar)
C2 = {2, 4} (número par e < que 6)
C3 = {6} (número par e ≥ 6).
Obs.: Quando o experimento é realizado, um e somente um dos
eventos Ci ocorre.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Partição do Espaço Amostral
Definição: Dizemos que os eventos C1,C2, . . . ,Ck formam uma
partição (ou conjunto exaustivo) do espaço amostral S, se:
Ci ∩ Cj = ∅, ∀i 6= j ;⋃k
i=1 Ci = S ;
P(Ci) > 0,∀i .
Exemplo: Experimento é jogar um dado → S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplo de partição:
C1 = {1, 3, 5} (número ímpar)
C2 = {2, 4} (número par e < que 6)
C3 = {6} (número par e ≥ 6).
Obs.: Quando o experimento é realizado, um e somente um dos
eventos Ci ocorre.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Partição do Espaço Amostral
Seja agora A um evento qualquer em S e C1,C2, . . . ,Ck uma
partição:
Temos que o evento A ⊂ S pode ser escrito como:
A = A∩S = A∩(C1∪C2∪· · ·Ck) = (A∩C1)∪(A∩C2)∪· · ·∪(A∩Ck).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Partição do Espaço Amostral
Seja agora A um evento qualquer em S e C1,C2, . . . ,Ck uma
partição:
Temos que o evento A ⊂ S pode ser escrito como:
A = A∩S = A∩(C1∪C2∪· · ·Ck) = (A∩C1)∪(A∩C2)∪· · ·∪(A∩Ck).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Observações
1) Alguns dos conjuntos A ∩ Ci poderão ser vazios, mas isso não
inviabiliza a decomposição de A mostrada.
2) Os eventos A ∩ Ci são mutuamente excludentes, pois:
(A ∩ Ci) ∩ (A ∩ Cj) = A ∩ Ci ∩ Cj = A ∩ ∅ = ∅, ∀i 6= j .
3) Assim, podemos aplicar a propriedade da adição de eventos
mutuamente excludentes e escrever:
P(A) = P(A ∩ C1) + P(A ∩ C2) + . . .P(A ∩ Ck)
∴ P(A) = P(A|C1)·P(C1)+P(A|C2)·P(C2)+. . .+P(A|Ck)·P(Ck).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Observações
1) Alguns dos conjuntos A ∩ Ci poderão ser vazios, mas isso não
inviabiliza a decomposição de A mostrada.
2) Os eventos A ∩ Ci são mutuamente excludentes, pois:
(A ∩ Ci) ∩ (A ∩ Cj) = A ∩ Ci ∩ Cj = A ∩ ∅ = ∅, ∀i 6= j .
3) Assim, podemos aplicar a propriedade da adição de eventos
mutuamente excludentes e escrever:
P(A) = P(A ∩ C1) + P(A ∩ C2) + . . .P(A ∩ Ck)
∴ P(A) = P(A|C1)·P(C1)+P(A|C2)·P(C2)+. . .+P(A|Ck)·P(Ck).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema da Probabilidade Total
Se os eventos C1, . . . ,Ck formam uma partição (ou seja, são
mutuamente excludentes e exaustivos) do espaço amostral S, e se
o evento A ⊂ S, então:
P(A) =
k∑
i=1
P(A|Ci) · P(Ci).
Exemplo: Um lote contém 20 peças defeituosas e 80 peças
perfeitas. Escolhemos 2 peças em sequência e sem reposição. Qual
a probabilidade da segunda peça ser defeituosa?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema da Probabilidade Total
Se os eventos C1, . . . ,Ck formam uma partição (ou seja, são
mutuamente excludentes e exaustivos) do espaço amostral S, e se
o evento A ⊂ S, então:
P(A) =
k∑
i=1
P(A|Ci) · P(Ci).
Exemplo: Um lote contém 20 peças defeituosas e 80 peças
perfeitas. Escolhemos 2 peças em sequência e sem reposição. Qual
a probabilidade da segunda peça ser defeituosa?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Exemplo 2.92
Suponha que 2 % dos rolos de tecido de algodão e 3 % dos rolos
de tecido de náilon contenham falhas. Dos rolos usados por um
fabricante, 70 % são de algodão e 30% são de náilon. Qual a
probabilidade de um rolo usado pelo fabricante e selecionado
aleatoriamente, conter falhas?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Anteriormente queríamos a probabilidade de um evento (tal como
falha) dada uma condição (tal como tipo de material).
Agora, após realizar um experimento, estamos interessados na
probabilidade de uma condição estar presente (tipo de material)
dado um resultado (falha no material).
Teorema: Seja os eventos C1, · · · ,Ck uma partição de S com
probabilidades conhecidas. Suponha ainda que, para um evento A,
conheça-se as probabilidades P(A|Ci), ∀i = 1, . . . , k. Então, para
qualquer j , tem-se
P(Cj |A) = P(A|Cj) · P(Cj)∑k
i=1 P(A|Ci) · P(Ci)
, j = 1, 2, . . . , k e P(A > 0).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Anteriormente queríamos a probabilidade de um evento (tal como
falha) dada uma condição (tal como tipo de material).
Agora, após realizar um experimento, estamos interessados na
probabilidade de uma condição estar presente (tipo de material)
dado um resultado (falha no material).
Teorema: Seja os eventos C1, · · · ,Ck uma partição de S com
probabilidades conhecidas. Suponha ainda que, para um evento A,
conheça-se as probabilidades P(A|Ci), ∀i = 1, . . . , k. Então, para
qualquer j , tem-se
P(Cj |A) = P(A|Cj) · P(Cj)∑k
i=1 P(A|Ci) · P(Ci)
, j = 1, 2, . . . , k e P(A > 0).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes - Demonstração
Temos que P(Cj |A) = P(Cj∩A)P(A) .
Podemos então escrever o numerador pela regra do produto:
P(Cj ∩ A) = P(A|Cj) · P(Cj)
e finalmente:
P(A) =
k∑
i=1
P(A ∩ Ci) =
k∑
i=1
P(A|Ci) · P(Ci).
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à EngenhariaAmbiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
De uma forma simplificada, podemos escrever o Teorema de Bayes
como:
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) =
P(B|A) · P(A)
P(B)
P(A) é chamada probabilidade à priori, e, dada a informação de
que B ocorreu, obtemos a probabilidade à posteriori P(A|B).
Assim, atualizamos a probabilidade inicial multiplicando-a por
P(B|A)
P(B) .
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Teorema de Bayes - Exemplo
Em 2.92, suponha que o rolo retirado contenha uma falha. Qual a
probabilidade de que ele seja de algodão?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Exercício - Capítulo 2: 2-131
Seis tecidos são extraídos de uma hera infestada por ácaros. A
planta está infestada em 20% de sua área. Cada tecido é escolhido
a partir de uma área selecionada aleatoriamente na hera.
a) Qual é a probabilidade de quatro amostras sucessivas mostrarem
sinais de infestação?
b) Qual é a probabilidade de três de quatro amostras sucessivas
mostrarem sinais de infestação?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
Exercício - Capítulo 2: 2-148
Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura,
tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens
defeituosos e uma chance de 0, 5% de classificar incorretamente
um item bom como defeituoso. A companhia tem evidência de que
sua linha produz 0, 9% de itens não conformes.
a) Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção
ser classificado como defeituoso?
b) Se um item selecionado ao acaso for classificado como não
defeituoso, qual será a probabilidade de que ele seja realmente
bom?
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias
Necessidade: Atribuir um número real x a todo elemento s do
espaço amostral S.
Exemplo: S = {cara, coroa}.
Definição : Seja um experimento aleatório � com espaço amostral
S. Uma função X : S → < é denominada uma variável aleatória
(v.a.) se a probabilidade P(X ∈ c) é definida para todo c ∈ <.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias
Necessidade: Atribuir um número real x a todo elemento s do
espaço amostral S.
Exemplo: S = {cara, coroa}.
Definição : Seja um experimento aleatório � com espaço amostral
S. Uma função X : S → < é denominada uma variável aleatória
(v.a.) se a probabilidade P(X ∈ c) é definida para todo c ∈ <.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias - Observações
1) Variável aleatória é uma função;
2) Quando os resultados s ∈ S são números reais, definimos
X (s) ≡ s (identidade);
3) Na maior parte das vezes estamos interessados nos valores de
X mais do que de onde eles se originam (natureza funcional
de X ).
4) O valor medido de uma variável aleatória X é denotado pela
letra minúscula x .
Exemplo: Jogamos um moeda 2 vezes. O espaço amostral é
S = {HH,HT ,TH,TT}. Seja X = número de caras obtido.
Defina a função X .
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias - Observações
1) Variável aleatória é uma função;
2) Quando os resultados s ∈ S são números reais, definimos
X (s) ≡ s (identidade);
3) Na maior parte das vezes estamos interessados nos valores de
X mais do que de onde eles se originam (natureza funcional
de X ).
4) O valor medido de uma variável aleatória X é denotado pela
letra minúscula x .
Exemplo: Jogamos um moeda 2 vezes. O espaço amostral é
S = {HH,HT ,TH,TT}. Seja X = número de caras obtido.
Defina a função X .
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis aleatórias
Definição: Dados �,S,X , o conjunto de todos os valores de X ,
isto é:
RX = {X (s)|s ∈ S} = X (s)
é chamado de contradomínio de X .
No exemplo anterior, temos RX = {0, 1, 2}.
Podemos interpretar:
RX como o espaço amostral de �.
Um subconjunto B de RX como um evento:
B = {0, 1} ∈ RX = {0, 1, 2}.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio RX
for finito ou numerável, então X é chamada de variável aleatória
discreta . Nesse caso, RX = {x1, x2, . . . , xn} ou RX = {x1, x2, . . .}.
Definição: Se RX estiver num intervalo ou numa união de
intervalos (intervalos da forma (−∞, a] ou (−∞,∞) são
possíveis), dizemos que X é uma variável aleatória contínua.
Exemplos:
X : Soma dos valores na jogada de 5 dados.
X : Duração de vida de uma lâmpada.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio RX
for finito ou numerável, então X é chamada de variável aleatória
discreta . Nesse caso, RX = {x1, x2, . . . , xn} ou RX = {x1, x2, . . .}.
Definição: Se RX estiver num intervalo ou numa união de
intervalos (intervalos da forma (−∞, a] ou (−∞,∞) são
possíveis), dizemos que X é uma variável aleatória contínua.
Exemplos:
X : Soma dos valores na jogada de 5 dados.
X : Duração de vida de uma lâmpada.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
Variáveis Aleatórias e suas Distribuições Introdução
Variáveis Aleatórias Discretas e Contínuas
Definição: Seja X uma variável aleatória. Se o contradomínio RX
for finito ou numerável, então X é chamada de variável aleatória
discreta . Nesse caso, RX = {x1, x2, . . . , xn} ou RX = {x1, x2, . . .}.
Definição: Se RX estiver num intervalo ou numa união de
intervalos (intervalos da forma (−∞, a] ou (−∞,∞) são
possíveis), dizemos que X é uma variável aleatória contínua.
Exemplos:
X : Soma dos valores na jogada de 5 dados.
X : Duração de vida de uma lâmpada.
Carlos H. R. Lima Estatística Aplicada à Engenharia Ambiental-2014/2
	Fundamentos do Cálculo de Probabilidades
	Regra da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
	Variáveis Aleatórias e suas Distribuições
	Introdução