Primeira lista de geometria analítica

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Lista 1 - Geometria Analítica - Angelina
Exercício 1. Dados os pontos A = (1, 2, 3), B = (−5, 2, 3), C = (4,−7,−6)
e D = (3, 1, 4), escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica
para as seguintes retas:
a) reta r que tem direção do vetor
−→
AB e passa pelo ponto C;
b) reta s que passa pelos pontos B e C;
c) reta r′ que passa pelo ponto D e tem direção do vetor −→u = (1, 1, 1);
d) reta s′ que é paralela ao vetor
−−→
CD e passa pelo ponto A.
Exercício 2. Para as retas do exercício anterior, verifique se
a) o ponto E = (−5, 2, 3) pertence a reta r;
b) o vetor −→v = (2, 5, 8) é paralelo a reta s;
c) o ponto F = (1, 5, 3) pertence a reta r′;
d) a reta s′ é paralela ao vetor −→w = (2, 3, 4).
Exercício 3. Para cada uma das retas a seguir, determine dois pontos per-
tencentes a reta e um vetor paralelo à reta:
a) r :
x− 3
2
=
y − 6
2
= z − 1;
b) s :

x = λ
y = −λ λ ∈ R
z = 1 + 4λ
c) r′ :
x
4
=
y
2
=
z − 3
2
;
d) s′ :

x = 2− 4λ
y = 4 + 5λ λ ∈ R
z = 11
Exercício 4. Escreva equações nas formas vetorial, paramétrica e simétrica
da reta que é interseção dos planos
pi1 : 2x− y + 6 = 0 e pi2 : −y + 2z + 4 = 0
1
Exercício 5. Escreva as equações na forma vetorial, paramétrica e geral do
plano pi em cada caso:
a) pi contém o ponto A = (1, 2, 0) e é paralelo aos vetores −→u = (1, 1, 0) e−→v = (2, 3,−1);
b) pi contém os pontos A = (1, 1, 0) e B = (1,−1,−1) e é paralelo ao vetor−→v = (2, 1, 0);
c) pi contém os pontos A = (1, 0, 1) e B = (0, 1,−1) e é paralelo ao
segmento de extremidades C = (1, 2, 1) e D = (0, 1, 0);
d) pi contém os pontos A = (1, 0, 1), B = (2, 1,−1) e C = (1,−1, 0);
e) pi contém os pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 1, 3) e C = (3,−1, 1).
Resuminho ,
• Equação vetorial da reta
r : X = A+ λ−→u
X = (x, y, z) é um ponto genérico da reta;
A = (x1, y1, z1) é um ponto pertencente a reta;
−→u = (a, b, c) é um vetor paralelo a reta.
ou
r : X = A+ λ
−→
AB
B = (x2, y2, z2) é outro ponto pertencente a reta.
• Equações paramétricas da reta
r :

x = x1 + λ a
y = y1 + λ b λ ∈ R
z = z1 + λ c
2
ou
r :

x = x1 + λ (x2 − x1)
y = y1 + λ (y2 − y1) λ ∈ R
z = z1 + λ (z2 − z1)
• Equações simétricas da reta
r :
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
, se abc 6= 0
ou
r :
{
x = x1
y − y1
b
=
z − z1
c
, se a = 0 e bc 6= 0
ou
r :
{
x = x1
y = y1, se a, b = 0 e c 6= 0
• Equação vetorial do plano
pi : X = A+ λ−→u + µ−→v
X = (x, y, z) é um ponto genérico do plano;
A = (x1, y1, z1) é um ponto pertencente ao plano;
−→u = (r, s, t) é um vetor paralelo ao plano.
−→v = (m,n, p) é um outro vetor paralelo ao plano, (não paralelo a −→u ).
• Equações paramétricas do plano
pi :

x = x1 + λ r + µm
y = y1 + λ s+ µn λ, µ ∈ R
z = z1 + λ t+ µ p
• Equação geral do plano
Tem a forma
a x+ b y + c z + d = 0
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onde as constantes a, b, c e d são obtidas pelo desenvolvimento do
seguinte cálculo: ∣∣∣∣∣∣
x− x1 y − y1 z − z1
r s t
m n p
∣∣∣∣∣∣ = 0
com −→u = (r, s, t) e −→v = (m,n, p).
Podemos marcar de resolver esta lista algum dia no horário de monitoria.
Mas, vamos resolvê-la apenas uma vez, para que os colegas possam tirar
outras dúvidas nos outros dias.
Dessa forma, vejam um dia que a maioria possa participar e me avisem
com antecedência.
Escolham alguém para me avisar: angelina.carrijo@usp.br
Por favor, não enviem e-mail aleatoriamente,.
Dúvidas da matéria apenas presencialmente nos horários de monitoria,
Segundas 17h às 19h e Quartas 16h às 18h, nas salas 3.009 ou 3.010.
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