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UFRRJ, Prof. Felipe Leite
4 Probabilidade
4.1 Experimentos aleato´rios
Um experimento ou fenoˆmeno aleato´rio e´ uma situac¸a˜o ou acontecimento cujos resultados
sa˜o incertos.
Exemplos:
a) As condic¸o˜es clima´ticas do pro´ximo domingo.
b) A taxa de inflac¸a˜o do pro´ximo meˆs.
c) Jogar um dado equilibrado e observar a face superior.
d) Selecionar um estudante da UFRRJ e medir a sua altura em metros.
4.2 Modelo probabil´ıstico
O modelo probabil´ıstico e´ especificado no momento em que estabelecemos:
(i) um espac¸o amostral;
(ii) uma probabilidade para cada ponto amostral.
Definic¸a˜o 1 O conjunto Ω de todos os resultados poss´ıveis de um experimento aleato´rio e´
chamado de espac¸o amostral.
Exemplo 1 O espac¸o amostral no lanc¸amento de um dado.
Espac¸o amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Definic¸a˜o 2 Um evento A e´ qualquer subconjunto do espac¸o amostral, isto e´, A ⊂ Ω.
Exemplo 2 No lanc¸amento de um dado sair um nu´mero par na face superior.
Espac¸o amostral: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: A = {2, 4, 6}
Definic¸a˜o 3 Dois eventos A e B sa˜o ditos disjuntos ou mutuamente exclusivos, se A∩B = φ.
Exemplo 3 Considere os seguintes eventos no lanc¸amento de um dado:
A= {sair um nu´mero par} e B= {sair um nu´mero ı´mpar}. Podemos garantir que os eventos
sa˜o disjuntos?
Soluc¸a˜o: Sim, pois A = {2, 4, 6} e B = {1, 3, 5}. Logo, A ∩B = φ.
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4.3 Propriedades de frequeˆncia relativa:
a) 0 ≤ fA ≤ 1;
b) fA = 1⇒ nA = n;
c) fA = 0⇒ nA = 0;
d) Se A ∩B = φ, enta˜o fA∪B = fA + fB.
Definic¸a˜o 4 A definic¸a˜o cla´ssica de probabilidade e´ dada por P (A) =
n(A)
n(Ω)
, onde n(A) e´ o
nu´mero de elementos do evento A e n(Ω) e´ o nu´mero de elementos do espac¸o amostral Ω.
Definic¸a˜o 5 Uma func¸a˜o P : Ω→ < e´ denominada de probabilidade se satisfaz as seguintes
condic¸o˜es:
(i) 0 ≤ P (A) ≤ 1;
(ii) P (Ω) = 1;
(iii) Se A ∩B = φ, enta˜o P (A ∪B) = P (A) + P (B)
(Caso geral, P (∪ni=1Ai) =
∑n
i=1 P (Ai), Ai sa˜o disjuntos.)
4.4 Propriedades de probabilidade:
a) P (φ) = 0.
b) P (Ac) = 1− P (A).
c) Sejam A e B eventos de Ω. Enta˜o, P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
Exemplo 4 Considere o lanc¸amento de dois dados. Determine as probabilidades:
a) de que a soma dos nu´meros mostrados nas faces de cima seja 7;
b) de que o valor ma´ximo entre as duas faces seja maior ou igual a 3.
Exemplo 5 Dois processadores (A e B) sa˜o colocados em teste por 50 mil horas. A proba-
bilidade de que um erro de ca´lculo acontec¸a em um processador do tipo A e´ de
1
30
, no tipo B
e´ de
1
80
e, em ambos, e´ de
1
1000
. Qual e´ a probabilidade de que:
a) pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro?
b) nenhum processador tenha apresentado erro?
c) apenas o processador A tenha apresentado erro?
4.5 Probabilidade condicional
Definic¸a˜o 6 A probabilidade condicional do evento A dado que ocorreu o evento B e´ definida
por
P (A|B) = P (A ∩B)
P (B)
, P (B) > 0.
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Exemplo 6 Considere o lanc¸amento de um dado equilibrado. Determine:
a) a probabilidade de sair o nu´mero 3 na face de cima do dado.
b) Suponha que o dado tenha sido lanc¸ado e que saiu um nu´mero ı´mpar na face de cima do
dado. Qual e´ a probabilidade de ter sa´ıdo o nu´mero 3 na face de cima do dado?
Exemplo 7 Uma carta de um baralho com 52 cartas e´ retirada. Considere os eventos,
O={carta e´ de ouros} e R={carta e´ um rei}. Encontre P (O), P (O ∩R), P (R) e P (O|R).
4.6 Independeˆncia de eventos
Definic¸a˜o 7 Sejam A e B eventos de um espac¸o amostral Ω. Enta˜o, os eventos A e B sa˜o
independentes se P (A ∩B) = P (A)× P (B).
Exemplo 8 Sejam A e B dois eventos de um espac¸o amostral, tais que P (A) = p, P (B) =
1
5
e P (A ∪B) = 1
2
. Determine o valor de p para que os eventos A e B sejam independentes.
4.7 Teorema da probabilidade Total
Definic¸a˜o 8 Os eventos A1, A2, ... , An formam uma partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω, se
(i) Ai ∩ Aj = φ, ∀ i 6= j;
(ii) ∪ni=1Ai = Ω.
Teorema 1 Sejam A1, A2, ... , An uma partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω e B um evento
qualquer em Ω. Enta˜o,
P (B) =
n∑
i=1
[P (Ai)× P (B|Ai)] .
4.8 Teorema de Bayes
Teorema 2 Sejam A1, A2, ... , An uma partic¸a˜o do espac¸o amostral Ω e B um evento
qualquer em Ω. A probabilidade de ocorreˆncia do evento Ai, supondo-se a ocorreˆncia do
evento B, e´ dada por
P (Ai|B) = P (B|Ai)× P (Ai)∑n
j=1 [P (Aj)× P (B|Aj)]
.
Exemplo 9 Uma fa´brica produz treˆs tipos de circuitos, sendo: 20% do tipo I, 50% do tipo
II e 30% do tipo III. A probabilidade de defeito e´, respectivamente, 2%, 8% e 5%.
a) Qual e´ a probabilidade de um circuito testado na˜o ser defeituoso?
b) Um circuito foi testado aleatoriamente e verificou que estava com defeito, qual e´ a probabi-
lidade do circuito ser do tipo II?
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4.9 Refereˆncias
• ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS. Estat´ıstica Aplicada a` Economia
e Administrac¸a˜o. Traduc¸a˜o: Luiz Se´rgio de Castro Paiva. 1ed. Sa˜o Paulo: Pioneira
Thomson Learning, 2003.
• BUSSAB. W. O. ; MORETTIN, P. A. Estat´ıstica Ba´sica. 5ed. Saraiva, 2003.
• MAGALHA˜ES, M.N ; LIMA, A.C.P DE. Noc¸o˜es de Probabilidade e Estat´ıstica. 5ed.,
Sa˜o Paulo: Ed. Edusp, 2005.
• JAMES, Barry R. Probabilidade: um curso em n´ıvel intermedia´rio. 2ed., Rio de
Janeiro: IMPA, Projeto Euclides, 2002.
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