Aula 11 - Flambagem Pilares

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Mecânica dos Sólidos 3
Professor Maurício P. Ferreira
Engenheiro Civil, M.Sc., D.Sc.
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia Civil
1. Introdução
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
�Uma estrutura pode romper de diversos modos, em função:
� Do tipo da estrutura;
� Das condições de apoio;
� Do carregamento atuante;
� Domaterial utilizado.
� Como exemplo tem-se que sob esforços elevados, elementos de uma
estrutura podem romper por flexão ou por cisalhamento;
� Tais falhas podem ser evitadas se no dimensionamento os níveis de
tensão forem mantidos dentro de limites aceitáveis.
1. Introdução
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Ruptura por Flexão Ruptura por Cisalhamento
1. Flambagem - Introdução
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� Elementos Esbeltos carregados
axialmente à compressão podem
flexionar lateralmente e romper por
flexão ao invés de romper por
compressão;
� Este tipo de ruptura é denominada
flambagem;
�O estudo irá concentrar-se para os
casos de pilares;
�Mas esse é um fenômeno que pode
ocorrer em outros elementos.
1. Introdução
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Concreto Resistência Usual Concreto de Alta Resistência
• Elementos sob compressão axial (ruptura por
esmagamento)
1. Introdução
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Flambagem pilar de concreto Flambagem pilar de aço
2. Estabilidade de Pilares
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�No dimensionamento de pilares, a área da
seção transversal é escolhida de tal modo
que:
� A tensão admissível não seja superada:
� A deformação esteja dentro dos limites de
projeto:
�No entanto, é possível que após esta etapa
verifique-se que o pilar é instável sob carga.
adm
P
A
σ σ= ≤
adm
P L
E A
δ δ
⋅
= ≤
⋅
2. Estabilidade de Pilares
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� Considere o pilar idealizado;
� Formado por 2 barras rígidas;
� Cada uma com comprimento L/2;
� Unidas no ponto A por uma mola
(concentra a elasticidade da peça);
� Se as barras estiverem alinhadas a mola
não está sob tensão;
� Caso o ponto A sofra um pequeno
deslocamento surge F (tende a
restaurar o pilar para posição inicial);
� Ao mesmo tempo a tendência de P é
aumentar o deslocamento lateral.
k: rigidez da mola em A
F : força restauradora
2. Estabilidade de Pilares
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� Logo, F e P apresentam efeitos
opostos quanto aos deslocamentos;
� Se a ação que alterou a posição de A
for removida pode acontecer:
� Se P é pequeno: F é predominante e
o pilar volta a posição inicial
(estrutura estável);
� Se P é grande: o deslocamento
lateral irá aumentar até que a
estrutura entre em colapso por
flambagem (estrutura instável);k: rigidez da mola em A
F : força restauradora
3. Carga Crítica de Flambagem
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� A carga crítica de
flambagem (Pcr) marca a
transição entre o estado
estável e o instável de um
pilar;
� É uma grandeza importante
para a avaliação da estabilidade
de pilares.
Equilíbrio Instável
Equilíbrio Neutro
Equilíbrio Estável
Equilíbrio Estável
Equilíbrio Instável
Equilíbrio Neutro
3. Carga Crítica de Flambagem
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P
R
Y
X
θ
cos
sin
Y R
X R
θ
θ
= ⋅
= ⋅
0 cos
cos
yF R P
P
R
θ
θ
= ∴ ⋅ =
=
∑
cos
sin
tan
X X
R P
X P
θ
θ
θ
⋅
= =
= ⋅
0
2 tan
2 tan
sabendo-se que tan
2
2
xF
F P
k P
L
k P
θ
θ
θ θ
θ θ
=
= ⋅ ⋅
⋅∆ = ⋅ ⋅
≈
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
∑
4
cr
k L
P
⋅
=
4. Pilar com Apoios em Pinos
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� Seja um pilar ideal (perfeitamente reto, material
homogêneo);
� Apoiado em um pino;
� Com carga axial aplicada no centróide da seção transversal;
� Admitindo-se um comportamento linear-elástico;
� Teoricamente a carga P pode ser aumentada até que o pilar
frature ou escoe;
� Na prática, quando P = Pcr, o pilar está no limite de
estabilidade;
� Se uma força F for aplicada, quando ela for removida:
� Se P < Pcr, o pilar voltar a ser reto
� Se P > Pcr, o pilar permanece curvo
4. Pilar com Apoios em Pinos
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� O pilar permanece estável ou torna-se instável em
função de sua capacidade de restauração;
� Que é proporcional à sua resistência à flexão;
� Para determinar a carga crítica e a forma de
flambagem aplica-se a equação:
''
''
'' 0
EI M
EI P
P
EI
ν
ν ν
ν ν
=
= − ⋅
 + ⋅ = 
 
1 2sin cos
P P
C x C x
EI EI
ν
   
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅      
   
Equação diferencial homogênea de 2ª 
ordem, cuja solução é:
4. Pilar com Apoios em Pinos
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� As constantes de integração são determinadas
pelas condições de contorno:
� C1 = 0 seria a solução trivial. Logo:
2
1
0 para 0 0
0 para sin 0
x C
P
x L C L
EI
ν
ν
= = ∴ =
 
= = ∴ ⋅ ⋅ =  
 
2 2
2
sin 0 , seria satisfeita para 
, para 1, 2,3
P P
L L n
EI EI
n EI
P n
L
π
π
 
⋅ = ⋅ = ⋅  
 
⋅ ⋅
= = …
2
2cr
E I
P
L
π ⋅ ⋅
=
1 sin
x
C
L
π
ν
⋅ = ⋅  
 
Pcr é também 
conhecida como 
Carga de Euler 
(matemático e físico 
suíço, solucionou o 
problema em 1757)
5. Fórmula de Euler para Pilares
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� Para fins de projeto é mais conveniente
analisar a estabilidade em termos de
tensão:
� A relação L/r é denominada índice de
esbeltez (mede flexibilidade);
� Gráfico indica o valor limite para a o
índice de esbeltez;
� No caso, L/r ≥ 89;
( )
( )
2
2
2 2 2
22
,sabendo que cr
cr
P EI I
r
A L A A
E Ar E
L A L r
π
σ σ
π π
σ
= ∴ = =
= =
Fórmula de Euller
6. Extensão da Fórmula de Euler
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� Seja um pilar esgastado e livre;
� Ele irá deformar-se como a parte superior de
um pilar com extremidades em pinos;
� A carga crítica de flambagem é calculada
através da fórmula de Euller, introduzindo-se
o conceito de comprimento equivalente (Le);
� Le é determinado comparando a forma
deformada com a de um pilar com pinos.
( )
2
2
2
2
, sendo 2 neste caso
cr
e
cr e
e
EI
P
L
E
L L
L r
π
π
σ
=
= =
6. Extensão da Fórmula de Euler
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a) Engastado e livre b) Extremidades com 
pinos
c) Engastado e com 
pino
d) Ambos os extremos 
engastados
7. Exemplo Real
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Ruptura_Brusca_de_Pilar_PFN_0_2_5.avi
7. Exemplo Real
Universidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia CivilUniversidade Federal do Pará - Instituto de Tecnologia - Faculdade de Engenharia Civil
• Exemplo 1: Um pilar de alumínio está engastado na parte inferior e preso no topo
com cabos que restringem o movimento ao longo do eixo x. Determinar a maior carga
admissível P que pode ser aplicada considerando um fator de segurança FS = 3,0. Adotar
Eal = 70 GPa; σys = 215 MPa, A = 7,5·10
-3 m², Ix = 61,3 ·10
-6 m4, Iy = 23,2 ·10
-6 m4.
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• Exemplo 1:.
Plano x-z
Plano x-z
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• Exemplo 1:.
Plano y-z