02 SISTEMAS LINEARES

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ALGEBRA LINEAR 2017.1 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
 
 
 
 
Universidade Federal Rural do Semi-Árido 
Centro de Ciências Exatas e Naturais – CCEN 
Prof@: Valdenize Lopes 
1 
A queima ideal de álcool veicular (𝐶𝐻3𝐶𝐻2𝑂𝐻) com 
oxigênio (𝑂2) produz gás carbônico (𝐶𝑂2) e água 
(𝐻2𝑂). Determine a quantidade de moléculas de cada 
substância envolvida na reação. 
 
Observamos que o problema anterior foi modelado 
matematicamente através de um sistema envolvendo 3 
equações e 4 incógnitas. 
 
 
PROBLEMA 
2 
Definição 01: Um sistema de equações lineares com 𝑚 
equações e 𝑛 incógnitas é um conjunto de equações do tipo: 
 
(∗) 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 𝑏2
 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
 
 
onde 𝑎𝑖𝑗 e 𝑏𝑖, com1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 são números reais. 
SISTEMAS LINEARES 
3 
Uma solução do sistema (∗) é qualquer 𝑛-upla de números 
reais (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) que satisfaz todas as equações do 
sistema. 
 
Exemplo 01: Encontrar as soluções dos sistemas abaixo: 
(a) 
2𝑥 − 𝑦 = 0
4𝑥 + 𝑦 = 6
; 
(b) 
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
 𝑦 + 𝑧 = 3
 2𝑧 = 4
. 
4 
Observe que todo sistema linear pode ser representado matricialmente: 
 
𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛
𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛
 ⋮ ⋮ ⋮ 
𝑎𝑚1𝑥1 + 𝑎𝑚2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 
 
 
⇕ 
 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋮ ⋮
 
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
.
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
. 
5 
Isto é, 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵, onde 
 
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋮ ⋮
 
… 𝑎1𝑛
… 𝑎2𝑛
⋱ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛
 é a matriz dos coeficientes, 
 
X =
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥𝑛
 é a matriz das incógnitas e 
 
B =
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏𝑚
 é a matriz dos termos independentes. 
6 
Uma outra matriz que associamos ao sistema é: 
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
⋮ ⋮
 
… 𝑎1𝑛 𝑏1
… 𝑎2𝑛 𝑏2
⋱ ⋮ ⋮
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚
, 
 
chamada matriz ampliada do sistema. 
 
7 
Exemplo 02: Encontre as matrizes ampliadas dos sistemas do 
exemplo 01. 
 
Usando algumas operações elementares sobre as equações de um 
sistema, é possível obter um novo sistema que possui as mesmas 
soluções do sistema inicial, porém, com equações mais simples, e, a 
partir daí, encontrar tais soluções. Dois sistemas que possuem 
exatamente as mesmas soluções são chamados equivalentes. 
 
Exemplo 03: Resolva o sistema abaixo 
 𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = 1
𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 3
 𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 5
. 
8 
São três as operações elementares sobre as linhas de 
uma matriz: 
 
(𝑖) Permutar duas linhas (𝑙𝑖 ↔ 𝑙𝑗) 
 
Ex: 
2 3
1 0
4 −1
(𝑙1 ↔ 𝑙2)
1 0
2 3
4 −1
 
 
OPERAÇÕES ELEMENTARES 
9 
(𝑖𝑖) Substituir uma linha pelo produto dela por um escalar não nulo (𝑙𝑖 ↔ 𝑘. 𝑙𝑖 ) 
 
Ex: 
1 0
2 3
4 −1
(𝑙2 ↔ 2𝑙2)
1 0
4 6
4 −1
 
 
(𝑖𝑖𝑖) Substituir uma linha pela soma dela com o produto de um escalar não nulo 
por outra linha (𝑙𝑖 ↔ 𝑙𝑖 + 𝑘. 𝑙𝑗 ) 
 
Ex: 
1 0
4 6
4 −1
(𝑙3 ↔ 𝑙3 + −1 𝑙2)
1 0
4 6
0 −7
 
 
10 
Definição 02: Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesma ordem. 
Dizemos que 𝐵 é (linha) equivalente a 𝐴, e denotamos 𝐵~𝐴, 
se 𝐵 pode ser obtida de 𝐴 através de um numero finito de 
operações elementares sobre as linhas de 𝐴. 
 
Observação 01: 𝐴~𝐵 ⟺ 𝐵~𝐴. Por isso, diremos 
simplesmente que 𝐴 e 𝐵 são equivalentes. 
 
Exemplo 04: 
2 3
1 0
4 −1
~
1 0
4 6
0 −7
. 
11 
Teorema 01: Dois sistemas que possuem matrizes 
ampliadas equivalentes, são equivalentes. 
 
Exemplo 05: Mostre que os sistemas 
𝑥 − 2𝑦 = 1
4𝑥 + 𝑦 = 4
 e 
 
𝑥 = 1
𝑦 = 0
 e suas matrizes ampliadas são equivalentes. 
 
 
 
 
 
12 
Definição 03: Dizemos que uma matriz 𝑚 × 𝑛 é (linha) reduzida à forma escada 
quando as seguintes condições são satisfeitas: 
 
𝒊 O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é 1; 
 
(𝒊𝒊) Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de uma linha tem 
todos os seus outros elementos iguais a zero; 
 
(𝒊𝒊𝒊) Todas as linhas nulas ocorrem abaixo de todas as linhas não nulas; 
 
𝒊𝒗 A quantidade de zeros que precedem o primeiro elemento não nulo de 
uma linha aumenta a cada linha até que restem apenas as linhas nulas. 
13 
FORMA ESCADA 
Exemplo 06: Verifique quais das matrizes abaixo estão 
reduzidas à forma escada. 
 
𝑎 𝐴 =
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
 
0
0
0
 𝑏 𝐵 =
0 1 −3
0 0 0
0 0 0
 
 0 1
 0 0
−1 2
 
 
𝑐 𝐶 =
0 2 1
1 0 −3
0 0 0
 𝑑 𝐷 =
0 1 −3
0 0 0
0 0 0
 
0 2
1 2
0 0
 
 
 
14 
Teorema 02: Toda matriz 𝐴𝑚×𝑛 é (linha) equivalente a uma 
única matriz (linha) reduzida à forma escada. 
 
Exemplo 07: Encontre a matriz na forma escada equivalente a 
cada matriz abaixo: 
 
𝑎 𝐴 =
2 −1 3
1 4 2
1 −5 1
4 16 8
 𝑏 𝐵 =
 1 2 1
−1 0 3
 1 −2 1
 
0
5
1
 
 
15 
Definição 04: Dada uma matriz 𝐴𝑚×𝑛, seja 𝐵𝑚×𝑛 a matriz reduzida à 
forma escada equivalente à 𝐴. O posto de 𝐴, denotado por 𝑝(𝐴), é 
definido como sendo o número de linhas não nulas de 𝐵. Definimos a 
nulidade de 𝐴, denotada por 𝑛𝑢𝑙(𝐴), como sendo a diferença entre o 
número de colunas e o posto de 𝐴, isto é, 𝑛𝑢𝑙 A = 𝑛 − 𝑝(𝐴). 
 
Observação 02: 𝑛𝑢𝑙 𝐴 ≥ 0, ∀ 𝐴. (Verifique!) 
 
Exemplo 08: Calcule o posto e a nulidade das matrizes do exemplo 
anterior. 
 
16 
Definição 05: Quanto ao número de soluções, um sistema 
linear classifica-se em: 
 
(a) Possível e Determinado: quando ele possui uma única 
solução; 
 
(b) Possível e Indeterminado: quando ele possui uma 
quantidade infinita de soluções; 
 
(c) Impossível: quando ele não possui solução. 
 
 
17 
SOLUÇÕES DE UM SISTEMA LINEAR 
Teorema 03: Sejam 𝑝𝑐 e 𝑝𝑎 respectivamente os postos das 
matrizes dos coeficientes e ampliada de um sistema linear 
com 𝑚 equações e 𝑛 incógnitas. Então: 
 
(a) O sistema é possível se, e somente se, 𝑝𝑐 = 𝑝𝑎 = 𝑝; 
 
(b) Se 𝑝 = 𝑛, o sistema será determinado; 
 
(c) Se 𝑝 < 𝑛, o sistema será indeterminado. 
18 
Observação 03: No caso de um sistema indeterminado, podemos 
escolher 𝑛 − 𝑝 incógnitas, e as outras 𝑝 serão dadas em função 
destas. Neste caso, dizemos que o grau de liberdade do sistema é 
𝑔𝑙 = 𝑛 − 𝑝. 
 
Exemplo 09: Determine 𝑘, para que o sistema 
−4𝑥 + 3𝑦 = 2
5𝑥 − 4𝑦 = 0
2𝑥 − 𝑦 = 𝑘
 seja: 
(a) Possível e Determinado; 
(b) Possível e Indeterminado; 
(c) Impossível. 
 
 19 
Capítulo 2 do Livro Texto: Exercícios de 01 à 26. (pg 49 - 
pg 55). 
 
 
20 
EXERCÍCIOS