AP2 C2 2017 1 Gabarito

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Fundação CECIERJ 
AP2- CÁLCULO II
_______________________________________________________________________________________
Solução da 1
a
 Questão(1,5 ponto
 
2
4 2
9 9
.
9
t dt
t t
−
+∫ 
Observe que o integrando é uma função racional própria. No denominador
2 9t + é o fator quadrático irredutível, então a decomposição em frações parciais é
 
2 2
4 2 2 2 2 2
9 9 9 9
9 ( 9) 9
t t A B Ct D
t t t t t t t
− − +
= = + +
+ + +
Para determinar os valores de A B C
denominador 
2 2( 9)t t + obtendo 
2 2 2 29 9 ( 9) ( 9) ( )t At t B t Ct D t− = + + + + +
2 3 2 3 29 9 9 9t At At Bt B Ct Dt− = + + + + +
2 3 29 9 ( ) ( ) 9 9t A C t B D t At B− = + + + + +
 Igualando os coeficientes, temos






Substituindo em (1) e (2) os valores de 
Substituindo em (*) os valores de A B C
2
4 2 2 2
9 9 1 10
9 9
t
t t t t
− −
= +
+ +
, logo 4 2 2 2
9 9 1 1
t t t t∫
 
Assim
2
4 2
9 9 1 10
arctg
9 3 3
t tdt C
t t t
−
= − − +
+∫
 
________________________________________________________________________________
 
Solução da 2
a
 Questão(1,5 ponto)
3 3
1 1
ln lnlim
t
t
y ydy dy
y y
+∞
→+∞
=∫ ∫ 
Observe que o integrando pede integração por partes, assim fazendo
3
1ln e temosu y v dy
y
= = 
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
CÁLCULO II-2017/1 GABARITO 
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pontos) 
função racional própria. No denominador
2t éum
é o fator quadrático irredutível, então a decomposição em frações parciais é
4 2 2 2 2 29 ( 9) 9
t t A B Ct D
t t t t t t t
− − +
= = + +
+ + +
 
, ,A B C e D multiplicamos ambos os lados da expressão (*) pelo 
 
2 2 2 29 9 ( 9) ( 9) ( )t At t B t Ct D t− = + + + + + 
2 3 2 3 2t At At Bt B Ct Dt− = + + + + + 
9 9 ( ) ( ) 9 9t A C t B D t At B− = + + + + +
 
0 (1)
9 (2)
9 0 (3)
9 9 (4)
A C
B D
A
B
+ =
 + = −

=
 =
 
) os valores de 0A = e 1B = achados em (3) e (4) obtemos 
, ,A B C e D achados, dá: 
2
4 2 2 2
9 9 1 110
9 9
t dt dt dt
t t t t
−
= −
+ +∫ ∫∫ 
arctg
9 3 3
t tdt C = − − + 
 
. 
________________________________________________________________________________
ponto) 
o integrando pede integração por partes, assim fazendo 
 
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
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um fator linear repetido e
é o fator quadrático irredutível, então a decomposição em frações parciais é 
 (*) 
plicamos ambos os lados da expressão (*) pelo 
obtemos 0C = e 10D = − . 
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Cálculo II Gabarito da AP2 2017/1 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
2
 
�
�
( )
�
�
3 3 2 2 2 2
1
1
1 1
ln 1 1 1 1 ln 1 1ln ln
42 2 2 4
t
t
u u
dudv v v
t t
y tdy y dy y dy
yy y y y t t

   
= = − − − = − − +   
   

∫∫ ∫
����� �����
 
Logo 
3 3
1 1
ln lnlim
t
t
y ydy dy
y y
+∞
→+∞
=∫ ∫ 2 2
ln 1 1 1lim
4 42 4t
t
t t→+∞
 
= − − + = 
 
 
Já que
�2 2
1
ln 1lim lim lim 0
42 4t t tL H
t t
tt t→+∞ →+∞ →+∞′
−
 
− = = − = 
 
e 2
1lim 0
4t t→+∞
 
= 
 
. 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
Solução da 3
a
Questão(1,0 ponto) 
 
Observe-se que 
2
2
2sen x dx
xpi
+∞
∫ é uma integral imprópria sobre o intervalo não limitado[ , ).pi +∞ 
Lembre que se 
20 1 1u u u≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ Note-se que podemos afirmar que
2 2sen (2 ) sen (2 ) sen(2 ) 1x x x= ≤ ≤ então
2
2 2
sen (2 ) 10 x
x x
≤ ≤ para [ , ).pi +∞ Isto é 0 ( ) ( )f x g x≤ ≤ ,
[ , )x pi∈ +∞ onde 
2
2
sen (2 )( ) xf x
x
= e 2
1( )g x
x
= . Do critério de comparação, com ( )f x e ( )g x acima 
definidas, e do primeiro exemplo referencial (ou por cálculo direto) sabemos que 2
1 dx
xpi
+∞
∫ converge. 
Portanto 
2
2
2sen x dx
xpi
+∞
∫ também converge. 
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 Solução da 4
a
 Questão (3,0 pontos) 
 
 
 Figura 1 
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/1 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
3
 
Observe que a região R dada é a união de duas regiões 1R e 2R . Assim o sólido S gerado pela rotação de 
R em torno do eixo Ox é formado pela união dos sólidos S
1
eS
2
geradospela rotação de 1R e 2R
(resp.) em torno do eixo Ox. Assim V (S )= V (S
1
 ) + V (S
2
 ). 
 
Para obter o volume de 1S , usaremos o método dos discos ou arruelas. Temos então a fórmula 
 
 
Na figura 1 vemos que a função 1 ( ) 2xR x = e 
2
1 4
( ) xr x = para [0,1]x ∈ , note que
1
( ) 0R x > , e 
1( ) 0r x > para [0,1]x ∈ . Assim, o volume neste caso é 
1 2
2 2
1
0
((2 ) ( ) )
4
( ) x x dxV S pi −= ∫
11 4 2 5
2
0 0
2(2 ) ( )
16 2 ln 2 80
x
x x xdx pipi  − = − 
 
= ∫
 
 
4 1 1 3 1( ) ( )
2 ln 2 80 2ln 2 2 ln 2 80
pi pi= − − = − unidades de volume. 
 
 
 
Analogamente, para obter o volume de 2S usaremos o método dos discos ou arruelas.Temos então a 
fórmula 
2 2
2 2 2
2
1
( ( ) ( ))( ) R x r x dxV S pi −= ∫ 
Na figura 1 vemos que a função 2
2( )R x
x
= e 
2
2 4
( ) xr x = para [1, 2]x ∈ , note que 2 ( ) 0R x > 2e ( ) 0r x > 
para [1, 2]x ∈ . Assim, o volume neste caso é 
2 2
2 2
2
1
2(( ) ( ) )
4
( ) x dx
x
V S pi −= ∫
22 4 5
2
1 1
4 4( ) ( )
16 80
x xdx
x x
pipi
 
− = − − 
 
= ∫
 
 
4 32 1 2 1 8 1( 4 ) (2 ) ( )
2 80 80 5 80 5 80
pi pi pi= − − + + = − + = + unidades de volume. 
 
 
Assim V (S )= 1( )V S + 2( )V S 3 8)2ln 2 5(pi += unidades de volume. 
________________________________________________________________________________ 
 
Solução da 5ª Questão (1,5 ponto) 
 
Dada a equação diferencial
2
,
x ydy e
dx
− − −
= (0) 2y = − , então 
2 2
,
x y x ydy e e e e
dx
− − − − − −
= = ⇒ 2xy
dy
e e dx
e
− −
−
= ⇒
 
 
2
,
x
y
dy
e e dx
e
− −
−
= ⇒∫ ∫
2
,
y xe dy e e dx− −= ⇒∫ ∫
 
2 2
1 1 1
1
0
( ( ) ( ))( ) R x r x dxV S pi −= ∫
Cálculo II Gabarito da AP2 2017/1 
 
 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
4
 
2 2
2 2 2ln
x x x
y e e Ce Ce ee C y
e e e
− − −
− + −
= − + = ⇒ = 2ln 2xy Ce e−⇒ = − − 
Como (0) 2y = − 2 02 ln 2Ce e−⇒− = − − 
2 2 2 20 ln 1 1 1 2 2 /Ce Ce Ce C e⇒ = − ⇒ − = ⇒ = ⇒ = ln 2 2xy e−⇒ = − − 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
Solução da 6ª Questão (1,5 ponto) 
 
Dada
cos 2 ,dy xx y
dx x
= − 0x > ⇒ 2 2
cos 2 2 cos (*)dy x y xy y
dx x x x x
′= − ⇒ + = . 
Esta última equação éuma equação diferencial linear de primeira ordem na forma padrão, onde 
2( )p x
x
= e 2
cos( ) xq x
x
= sendo p e q funções contínuas para 0x > . Podemos utilizar a fórmula para a 
solução geral ou podemos trabalhar por etapas, onde não é necessário decorar a fórmula. Note que
( ) ( )2 21( ) 2 2ln | | ln | | lnp x dx dx x x x
x
= = = =∫ ∫ .Assim, o fator integrante é 
( )2ln( ) 2( ) xp x dx e xx eµ ∫ = == .Logo multiplicando a equação diferencial padrão, pelo fator ( )xµ , 
resulta: 
( )2
2 2 cos
d
x y
dx
x y x y x′ − =
�����
( )2 2cos cosd x y x x y x dx Cdx⇒ =⇒ = +∫ 
2 senx y x C⇒ = + , com 0x > ( )2
1
sen y x C
x
⇒ = + é a solução geral da equação diferencial linear 
dada, onde C é uma constante arbitrária.