Álgebra - Produto Vetorial

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Aula 04 
Produto Vetorial 
Produto vetorial 
 
 
 Definiremos agora outra operação 
envolvendo vetores que produzirá um 
novo vetor. Tal operação é aplicável 
somente ao espaço tridimensional. 
Definição 
Se e são 
vetores no espaço tridimensional, então o 
produto vetorial é o vetor definido por 
 
 
ou em notação de determinante, 
 
1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )U V u v u v u v u v u v u v    
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, , (1)
u u u u u u
U V
v v v v v v
 
   
 
Exemplo 
Se e calcule 
e . 
Solução: 
 
(2, 1, 1)U  V i j k  U V
V U
1 1 2 1 2 1
, , (0,3,3) 3 3
1 1 1 1 1 1
U V j k
  
      
  
1 1 1 1 1 1
, , (0, 3, 3) 3 3
1 1 2 1 2 1
V U j k
  
         
  
Abuso de notação 
 O produto vetorial de e 
 pode ser representado 
simbolicamente como um determinante 
3x3: 
 
1 2 3( , , )U u u u
1 2 3( , , )V v v v
1 2 3
1 2 3
i j k
U V u u u
v v v
 
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j k
v v v v v v
  
Exemplo 
 
Se e calcule . 
Solução: 
 
(2, 1, 1)U  V i j k  U V
2 1 1
1 1 1
i j k
U V  
3 3j k 
Observação 
Os vetores canônicos satisfazem: 
 
Propriedades do Produto Vetorial 
Sejam U, V e W vetores no espaço e  um 
escalar. 
 
 
Relações entre Produtos 
Escalar e Vetorial 
 Sejam U e V vetores do espaço, então: 
 
 
) ( ) 0i U U V  
) ( ) 0ii V U V  
2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V    (Id. de Lagrange)
) ( ) ( ) ( )iv U V W U W V U V W     
)( ) ( ) ( )v U V W U W V V W U     
Observação 
 
mostram que o vetor é ortogonal 
simultaneamente a e a . 
De 
obtemos 
 
) ( ) 0i U U V  ) ( ) 0ii V U V  
U V
U V
2 2 2 2) || || || || || || ( )iii U V U V U V   
2 2 2 2 2 2|| || || || || || || || || || cosU V U V U V   
2 2 2|| || || || (1 cos )U V  
2 2 2|| || || || senU V 
|| || || || || || senU V U V  
Regra da mão direita 
 Se e são vetores não-nulos, pode 
ser mostrado que o sentido de pode 
ser determinado usando a "regra da mão 
direita"! 
u v
u v

Resumindo 
Se U e V são vetores não-nulos, então: 
I) O vetor é ortogonal simultaneamente 
a e a . 
 
II) 
 
III) O sentido de pode ser determinado 
usando a “regra da mão direita”. 
U V
U V
|| || || || || || senU V U V  
U V
Interpretação Geométrica do 
Produto Vetorial 
U
V
parA base altura 
senparA U V 
parA U V 
2
tri
U V
A


senV 

Exemplo 
Calcule a área do triângulo de vértices 
A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3). 
Solução: 
 
 
1
2
A AB AC ( 3,1, 1)AB   ( 1,1,1)AC   3 1 1
1 1 1
i j k
AB AC   
2 4 2i j k  
1
2 6
2
A  6 . .u a