Analise Combinatória

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Análise Combinatória
A análise combinatória ou combinatória são cálculos que permitem a formação de grupos relacionados à contagem, de forma que faz análise das possibilidades e das combinações possíveis entre um conjunto constituído por elementos finitos.
Por isso, a análise combinatória é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e lógica.
E Muitos matemáticos como Pierre de Fermat e Blaise Pascal se dedicaram ao desenvolvimento da Análise Combinatória pela necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar, gerando o estudo dos métodos de contagem.
 Análise a seguinte situação-problema:
Considere nove pontos diferentes de uma circunferência, conforme a figura. 
 
Quantas retas ficam determinadas por esses nove pontos?
Problemas como o citado acima podem ser resolvidos de diversas maneiras e os mais usados são por arranjo ou combinação que fazem parte do conteúdo Análise combinatória, mas como identificar qual dos dois agrupamentos o exercício do inicio do estudo está se referindo? Se montarmos pelo menos um agrupamento com os mesmos elementos e modificarmos a ordem dos elementos desse agrupamento e tiver formado um agrupamento diferente, esse problema será de arranjo. 
Arranjo simples
Os Arranjos são agrupamentos em que os elementos, se diferem pela ordem ou pela natureza. 
Exemplo: (AMOR) ≠ (ROMA) 
Difere após a mudança das letras, obtendo outra palavra. 
Então se ( a, b, c) ≠ (b,c ,a) temos um problema de arranjo simples. 
Para saber a quantidade de arranjos possíveis em p agrupamento com n elementos, devemos utilizar a fórmula a seguir:
 
A = Arranjo
n = elementos
p = Agrupamentos
No arranjo a quantidade de agrupamento p, sempre deve ser menor que n, ou seja:
 
 
Exemplo: O conjunto A= {1,2,3}, tomados 2 a 2. Quantos arranjos seriam possíveis?
(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2).
Vamos ver como eles poderiam ser organizados graficamente, em uma Árvore de Possibilidades:
	 
Temos 3 x 2 = 6 arranjos. Assim de acordo com a notação padrão, A 3,2 = 6.
É possível calcular rapidamente a quantidade de arranjos usando a fórmula:
 A n,p =   n!   
            (n-p)!
A 3,2 =    3!     = 3 x 2 x 1! = 6. Conclusão, teremos 6 arranjos.
            (3-2)!          1!
 Retomando a identificação de como se resolver os problemas de Análise Combinatória, se depois da mudança tiver formado o mesmo agrupamento, esse problema será de combinação, ou seja, mesmo se os elementos em ordem diferente continuar identificando o mesmo agrupamento, teremos um caso de combinação simples. 
Combinação simples
As combinações são agrupamentos em que a ordem dos elementos não altera o conjunto. 
Exemplo: seja um trio escolhido, entre um conjunto de pessoas para formação de uma comissão. 
(Márcia, Luiza,Ricardo)= (Luiza, Márcia, Ricardo) 
A ordem foi alterada, mas a natureza do trio é a mesma.
Na Combinação simples podemos recorrer à utilização da fórmula:
 
C = Combinação
n = Elementos.
p = Agrupamento
 Sendo sempre: 
Resolveremos a situação-problema do inicio do nosso estudo agora, pois ela pode ser resolvida por combinação:
 Uma reta é formada por, no mínino, 2 pontos, como os pontos não são colineares podemos unir qualquer ponto, assim podemos dizer que (A,B) é um agrupamento, se trocarmos a ordem dos seus elementos (B,A) a reta (agrupamento) continua sendo a mesma, portanto, esse exercício será resolvido por combinação. 
Assim, aplicamos a fórmula da combinação, sendo que n = 9 e p = 2. 
C9,2 = __9!___ 
          2! (9-2)! 
C9,2 =  9 . 8 . 7! 
           2 . 1 . 7! 
C9,2 = 72 
           2 
C9,2 = 36. Serão formados com os 9 pontos da circunferência 36 retas.
Exercícios
1)Calcule:
a) A7,3 b) A5,2 c) A10,5
2)De quantos modos 20 deputados concorrem a 2 vagas no estado do Rio de Janeiro, nas eleições de 2018?
3)Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?
4)De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares?
5)Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13?
6) Calcule:
a) C9,6 b) C12,5 c) C45,44.
7)De quantos modos diferentes posso separar 10 bolinhas de cores distintas, colocando 2 bolinhas em cada saquinhos
8)Uma urna contém 5 bolas azuis e 4 bolas vermelhas. De quantas maneiras podemos selecionar:
a)3 bolas?
b)3 bolas azuis e 2 vermelhas?
c)3 bolas vermelhas e 2 azuis?
9)De quantas maneiras podemos extrair 4 cartas de um baralho de 52 cartas?
10) Resolva a equação Cn,2 = 10:
11) Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
PLANO DE AULA SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Público alvo: Ensino Médio 
Conteúdo: Análise Combinatória, Arranjos e Combinações simples.
Objetivos:
- Resolver Problemas de Contagem utilizando noções de Arranjos, 
- Combinações Simples.
- Distinguir Arranjos Simples e Combinações
- Desenvolver o Raciocínio Lógico
- Utilizar Fórmulas para Facilitar a Resolução dos Problemas.
Justificativa: Em nosso cotidiano é muito comum nos depararmos com situações que envolvam problemas de contagem. Desde as mais simples, em que se é possível determinar através, por exemplo, de um diagrama de árvore, a quantidade de maneiras em que dois ou mais eventos correlacionados podem ocorrer, como com situações em que é necessário se utilizar de métodos especiais de contagem.
		Um exemplo simples consiste em determinar quantos anagramas podem ser formados com o uso das quatro letras da palavra AMOR. Mesmo que você ainda não conheça a teoria da Análise Combinatória, é perfeitamente possível chegar ao resultado através da listagem exaustiva das possibilidades ou do uso de um diagrama, uma das formas de se demonstrar que existem 6 possibilidades de anagramas iniciados com a letra A (AMOR, AMRO, AORM, AOMR, ARMO, AROM).
Conhecimentos prévios:
Princípio fundamental da contagem, fatorial e permutação.
Estratégias de Ensino:
 Demonstrar, através do círculo e das retas que podem ser formadas, a resolução da situação – problema, utilizando combinação simples.
Mostrar ao educando que a Análise Combinatória está presente em diversas situações do dia a dia, através dos exemplos e exercícios.
 Realizar exercícios de arranjos e combinação simples.
Recursos:
Aula lúdica com o bambolê representando o círculo para que o aluno possa visualizar a resolução da situação problema de uma maneira concreta.
Aula expositva;
Conteúdo e exercícios de fixação impressos.
Concepções pedagógicas que se apoia:
A aula de hoje estimula a aprendizagem, o desenvolvimento do raciocínio lógico e o pensamento crítico na resolução de situações problemas e não somente de fórmulas memorizadas, despertando o interesse, abrindo novos horizontes, fazendo a mente evoluir e formar pessoas mais conscientes.
Avaliação da Aprendizagem:
O aluno será avaliado por alguns critérios como: saber resolver a questão proposta antes de ser apresentada as fórmulas e aplicações, Resolução dos exercícios de fixação; Trabalho em grupo; Atividade individual e Prova.
REFERÊNCIAS:
DANTE, L.R. Matemática Contexto & Aplicações. Vol.2. São Paulo: Ática, 1999. 
MARCONDES, GENTIL E SÉRGIO. Matemática. Vol.Único. São Paulo:Ática, 2002.