trigonometria e numeros complexos 2

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91
UNIDADE 2
TRIGONOMETRIA: PARTE II
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
Nessa unidade vamos:
•	 construir	conhecimentos	sobre	os	conceitos	algébrico	e	gráfico	das	funções	
trigonométricas	e	suas	relações;	
•	 resolver	equações	e	inequações	trigonométricas;	
•	 efetuar	operações	e	verificar	identidades	trigonométricas;
•	 aplicar	as	fórmulas	da	adição,	multiplicação	e	divisão	de	arcos.
Esta	unidade	de	ensino	está	dividida	em	quatro	tópicos.	Ao	término	de	cada	
um	deles	você	encontrará	atividades	que	o	 (a)	auxiliarão	na	 interiorização	
dos	conteúdos	e	na	resolução	das	autoavaliações	solicitadas.
TÓPICO	1	–	FUNÇÕES	TRIGONOMÉTRICAS	E	SUAS	INVERSAS	
TÓPICO	2	–	EQUAÇÕES	TRIGONOMÉTRICAS
TÓPICO	3	–	RELAÇÕES	TRIGONOMÉTRICAS
TÓPICO	4	–	TRANSFORMAÇÕES	TRIGONOMÉTRICAS
92
93
TÓPICO 1
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
E SUAS INVERSAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na	unidade	anterior	aprendemos	como	obter	valores	de	senos,	cossenos	e	
tangentes	para	números	reais.	Agora,	iremos	defini-los	em	um	plano	cartesiano,	
desta	forma	recebem	o	nome	de	funções	trigonométricas.	Portanto,	neste	tópico	
estudaremos	 as	 funções	 seno,	 cosseno	 e	 tangente,	 bem	 como	 suas	 recíprocas:	
cotangente,	secante	e	cossecante.
O	primeiro	indício	da	utilização	de	funções	na	trigonometria	foi	em	1635,	
quando	Gilles	Personne	de	Roberval	(1602-1675)	traçou	o	esboço	da	curva	de	seno.	
Mas	 foi	 apenas	no	 século	XIX,	 com	os	 estudos	de	 Jean	Baptiste	 Joseph	Fourier	
(1768-1830),	que	os	estudos	nesta	área	avançaram.
2 ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Como	vimos	em	tópicos	anteriores,	todo	número	real	x	pode	ser	considerado	
como	a	medida,	em	radianos,	de	um	certo	arco	
(
AP.	Portanto,	para	cada	arco	
(
AP 
podemos	associar	um	único	número	real	y,	que	é	o	valor	do	seno	desse	arco.
Assim,	definimos	a	função	seno	como	a	função	real	de	variáveis	reais	que	
associa	a	cada	número	real	x o valor real sen x,	ou	seja,
f	:	R → R
x → f(x) = sen x
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
94
Gráfico da função seno
Para	construir	o	gráfico	da	função	seno,	primeiramente,	vamos	fazer	um	
quadro	com	valores	de	sen x	no	período	de	[0,	2π].
FONTE: A autora
Colocando	estes	valores	no	plano	cartesiano,	obtemos	o	gráfico	da	função	
seno,	chamada	de	senoide.
QUADRO 17– PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO SEN X
x
(em radianos)
sen x
x
(em radianos)
sen x
0 0 7π
	6
-	0,5
π
6
0,5
5π
 4 -	0,7
π
4 0,7
4π
 3 -	0,9
π
3 0,9
3π
 2 -	1
π
2 1
5π
 3 -	0,9
2π
 3 0,9
7π
 4 -	0,7
3π
 4 0,7
11π
		6
-	0,5
5π
	6 0,5 2π 0
π 0
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
95
A	partir	do	quadro,	podemos	observar:
QUADRO 18 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO SENO
Quadrante I II III IV
Arco x 0	→ 	π 2
→ π	π
 2
π	→ 	3π
 2
→ 2π	3π
 2
Sinal f(x) + + - -
Variação f(x)
0	→ +1
Crescente
+1 →	0
Decrescente
0	→	-1
Decrescente
-1	→	0
Crescente
FONTE: A autora
Portanto,	podemos	concluir:
•	 O	domínio	da	função	f(x)	=	sen	x	é	o	conjunto	dos	números	reais,	D(f)	=	R.
•	 O	conjunto	imagem	da	função	f(x)	=	sen	x	é	o	intervalo	[-1,	+1],	ou	seja,	Im(F)	=	{y	
є	R	|	-1	≤	y	≤	1}.
•	 O	período	da	função	seno	é	o	número	2π,	pois	o	valor	de	f(x)	da	função	seno	se	
repete	a	cada	intervalo	de	amplitude	2π,	ou	seja,	sen	x	=	sen	(x	+	k	•	2π),	k	є	Z.
Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
96
Exemplo:
Esboçar	o	gráfico	da	função	f(x)	=	2sen	x.
Resolução:	Para	o	esboço	do	gráfico,	basta	atribuirmos	ao	arco	x	os	valores	0,	
π
2
	rad,	π	rad,	3π
 2
	rad	e	2π	e	calcularmos	os	correspondentes	valores	de	y,	conforme	
o	quadro	a	seguir:
x
(em	radianos)
y
0 0
π
2 2
π 0
3π
 2 -2
2π 0
FONTE: A autora
QUADRO 19 – VALORES DE X E Y 
Marcando	 no	 plano	 cartesiano	 os	 pontos	 (0,0),	 ( ) 3,2 , ,0 , , 2
2 2
π π
π
   
-   
   
e 
(2π,	0),	temos:
Domínio:	D(f)	=	R
Conjunto	Imagem:	Im(f)	=	{y	є	R	|	-2	≤	y	≤	2}
Período:	p	=	2π
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
97
Visite o site <http://www.apm.pt/apm/software/soft.htm>, lá você encontra 
diversos softwares pedagógicos, entre eles alguns sobre funções, que irão auxiliá-lo na 
construção dos gráficos aqui solicitados. 
Outro site que possui programas interessantes é o baixaki. Vale a pena fazer o download do 
winplot, <http://www.baixaki.com.br/download/winplot.htm>, ele resolve equações, funções e 
gera gráficos. Mas, lembre-se de que alguns deles podem estar em inglês e, portanto, deve-se 
usar: sen x = sin x; cos x = cos x e tg x = tan x.
ATENCAO
3 ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Dado	um	número	real	x,	podemos	associar	a	ele	o	valor	do	cosseno	de	um	
ângulo	de	x radianos.
Definimos	 a	 função	 cosseno	 como	 a	 função	 real	 de	 variáveis	 reais	 que	
associa	a	cada	número	real	x	um	único	valor	real	cosseno x,	ou	seja,
f(x)	:	R → R
x → f(x) = cos x
Gráfico da função cosseno
Para	construir	o	gráfico	da	função	cosseno,	primeiramente,	vamos	fazer	um	
quadro	com	valores	de	cos x	no	período	de	[0,	2π].
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
98
FONTE: A autora
Colocando	estes	valores	no	plano	cartesiano,	obtemos	o	gráfico	da	função	
cosseno,	chamada	de	cossenoide.
QUADRO 20 – VALORES DE COS X
x
(em radianos)
cos x
x
(em radianos)
cos x
0 1 7π
	6
-	0,9
π
6
0,9
5π
 4 -	0,7
π
4 0,7
4π
 3 -	0,5
π
3 0,5
3π
 2 0
π
2 0
5π
 3 0,5
2π
 3 -0,5
7π
 4 0,7
3π
 4 -	0,7
11π
		6
0,9
5π
	6
-	0,9 2π 1
π -	1
A	partir	do	gráfico,	podemos	observar	no	quadro	a	seguir:
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
99
FONTE: A autora
QUADRO 21 – QUADRO RESUMO DA FUNÇÃO COSSENO
Quadrante I II III IV
Arco x 0	→ 	π 2
→ π	π
 2
π	→ 	3π
 2
→ 2π	3π
 2
Sinal f(x) + - - +
Variação f(x)
+1 →	0
Decrescente
0	→	-1
Decrescente
-1	→	0
Crescente
0	→ +1
Crescente
Portanto,	podemos	concluir:
•	O	domínio	da	função	f(x)	=	cos	x	é	o	conjunto	dos	números	reais,	D(f)	=	R.
•	O	conjunto	imagem	da	função	f(x)	=	cos	x	é	o	intervalo	[-1,	+1],	ou	seja,	Im(f)	=	{y	
є	R	|	-1	≤	y	≤	1}.
•	O	 período	 da	 função	 cosseno	 é	 o	 número	 2π,	 pois	 o	 valor	 de	 f(x)	 da	 função	
cosseno	se	repete	a	cada	intervalo	de	amplitude	2π	para	valores	de	x,	ou	seja,	cos	
x	=	cos	(x	+	k	•	2π),	k	є	Z.
Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
100
Exemplo:
Dê	o	domínio,	a	 imagem,	o	período	e	construa	o	gráfico	de	um	período	
completo	da	função	f(x)	=	cos	 x+
3
π 
 
 
.
Resolução:	Para	o	esboço	do	gráfico,	basta	atribuirmos	ao	arco	 x+
3
π 
 
 
 os 
valores	0,	π
2
	rad,	π	rad,	3π
 2
	rad	e	2π	e	calcularmos	os	respectivos	valores	de	x	e	y,	
conforme	o	quadro	a	seguir:
FONTE: A autora
A	partir	do	gráfico,	deduzimos	que
Domínio:	D(f)	=	R
Conjunto	Imagem:	Im(f)	=	{y	є	R	|	-1	≤	y	≤	1}
Período:	p	=	2π
QUADRO 22 – CALCULAR VALORES DE X E Y
x+
3
π 
 
 
(em	radianos)
x
(em	radianos)
y
0
-	π
 3 1
π
2
π
6
0
π
2π
 3 -1
3π
 2
7π
	6
0
2π 5π 3 1
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
101
4 ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Dado	um	número	real	x,	podemos	associar	a	ele	o	valor	da	tangente	de	um	
ângulo	de	x radianos.
Definimos	 a	 função	 tangente	 como	 a	 função	 real	 de	 variáveis	 reais	 que	
associa	a	cada	número	real	x um	único	valor	real	tangente x,	ou	seja,
f	:	R → R
x → f(x) = tgx
Gráfico da função tangente
Para	construir	o	gráfico	da	função	tangente,	primeiramente,	vamos	fazer	
um	quadro	com	valores	de	tg x	no	período	de	[0,	2π].
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
102
FONTE: A autora
QUADRO 23 – VALORES DE TG X
x
(em radianos)
tg x
x
(em radianos)
tg x
0 0
7π6
0,58
π
6
0,58
5π
 4 1
π
4 1
4π
 3 1,73
π
3 1,73
3π
 2 ∃⁄
π
2 ∃⁄
5π
 3 -1,73
2π
 3 -1,73
7π
 4 -1
3π
 4 -	1
11π
		6
-0,58
5π
	6
-	0,58 2π 0
π 0
Colocando	estes	valores	no	plano	cartesiano,	obtemos	o	gráfico	da	função	
tangente,	chamada	de	tangentoide.
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
103
A	partir	do	gráfico,	podemos	observar	no	quadro	a	seguir:
FONTE: A autora
Portanto,	podemos	concluir:
•	O	domínio	da	função	f(x)	=	tg	x	é	D(f)	=	{x	є	R	|	x	≠	π
2
	+	k	•	π,	k	є	Z};
•	O	conjunto	imagem	da	função	f(x)	=	tg	x	é	o	intervalo	[-∞,	+∞],	ou	seja,	Im(f)	=	R;
•	O	período	da	função	tangente	é	p	=	π,	pois	o	valor	de	f(x)	da	função	tangente	
se	repete	a	cada	intervalo	de	amplitude	π	para	valores	de	x,	ou	seja,	tg	x	=	tg	
(x	+	k	•	π,	k	є	Z).
	Observe:
QUADRO 24 – QUADRO RESUMO - FUNÇÃO TANGENTE
Quadrante I II III IV
Arco x 0	→ 	π 2
→ π	π
 2
π	→ 	3π
 2
→ 2π	3π
 2
Sinal f(x) + - + -
Variação f(x)
0	→	+∞
Crescente
-∞	→	0
Crescente
0	→	+∞
Crescente
-∞	→	0
Crescente
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
104
Exemplo	1:
Determine	o	domínio,	a	imagem,	o	período	e	esboce	o	gráfico	da	função	
f(x)	=	tg	 x+
6
π 
 
 
.
Resolução:	Vamos	construir	um	quadro,	atribuindo	a	 x+
6
π 
 
 
	os	valores	0,	
π
2 
rad,	π	rad,	3π
 2
	rad	e	2π	e	calcularmos	os	respectivos	valores	de	x	e	y.
FONTE: A autora 
QUADRO 25 – CALCULAR VALORES DE X E Y
x+
6
π 
 
 
(em	radianos)
x
(em	radianos)
y
0
-	π
			6
0
π
2
π
3 ∃⁄
π
5π
	6
0
3π
 2
4π
 3 ∃⁄
2π 11π
	6
0
Colocando	esses	valores	no	plano	cartesiano,	obtemos	o	seguinte	gráfico:
A	partir	do	gráfico,	deduzimos	que	
Domínio:	D(f)	=	{x	є	R	|	x	≠	π
3 +	k	.	π
,	k	є	Z}
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
105
2x
2
 2x= +
2
2 2x
2 2
3 2x=
2
3 x=
4
π
- = π
π
π
π π
= +
π
π
2x 0
2
 2x=
2
 x=
4
π
- =
π
π
Conjunto	Imagem:	Im(f)	=	R
Período:	p	=	π
Exemplo	2:
Qual	o	período	da	função	f(x)	=	tg	 2x - 
2
π 
 
 
?
Resolução:	 Como	 o	 período	 da	 função	 tangente	 é	 π	 radianos,	 devemos	
verificar	o	que	ocorre	com	o	arco 2x - 
2
π 
 
 
	,	quando	varia	de	0	a	π.
Quando	f(x)	=	0,	temos:
Quando	f(x)	=	π,	temos:
Assim,	quando	 2x - 
2
π 
 
 
	varia	de	0	a	π,	x	varia	de	π
4
 a 3π
4
.	Então,	o	período	é	
p	= 3π - π4 4
,	ou	melhor,	p	= π2
.
5 OUTRAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Além	 das	 três	 relações	 que	 acabamos	 de	 estudar,	 existem	 outras	 três	
(secante,	cossecante	e	cotangente),	que	mostram	sua	importância	na	trigonometria.	
Sempre	que	forem	exigidas,	podem	ser	substituídas	por	expressões	envolvendo	as	
funções	seno,	cosseno	ou	tangente.	Assunto	que	veremos	nos	próximos	tópicos.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
106
5.1 ESTUDO DAS FUNÇÕES SECANTE E COSSECANTE
Primeiramente,	consideremos	o	ciclo	trigonométrico	a	seguir.
Traçando	uma	reta	tangente	à	circunferência	pelo	ponto	P,	interceptamos	o	
eixo	das	abscissas	(eixo	dos	cossenos)	no	ponto	A	e	o	eixo	das	ordenadas	(eixo	dos	
senos)	no	ponto	B.
Definimos	sec	x	=	OA	e	cossec	x	=	OB .
Através	da	semelhança	de	triângulos,	podemos	obter:
Observando	a	figura	anterior	e	de	acordo	com	essas	 fórmulas,	podemos	
constatar	as	seguintes	propriedades:
•	 como	os	pontos	A	e	B	sempre	estão	no	exterior	do	ciclo	trigonométrico,	as	suas	
distâncias	até	o	centro	da	circunferência	são	sempre	maiores	ou	iguais	à	medida	
do	raio	unitário.	Portanto:
 
≠
≠
1OA = secx = , com cos x 0
cosx
 e
1OB = cos secx = , com sen x 0
senx
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
107
1sec x
cosx
1sec150
cos150
1sec150
3
2
2sec150 1
3
2 3sec150
3
=
° =
°
° =
-
° = ⋅
-
° = -
sec	x	≤	-1						ou							sec	x	≥	1
e
cossec	x	≤	-1					ou							cossec	x	≥	1
•	 o	sinal	da	secante	varia	nos	quadrantes	como	o	sinal	do	cosseno:	positivo	no	1º	e	
no	4º	quadrantes	e	negativo	no	2º	e	no	3º	quadrantes;
•	 o	sinal	da	cossecante	varia	nos	quadrantes	como	o	sinal	do	seno:	positivo	no	1º	e	
no	2º	quadrantes	e	negativo	no	3º	e	no	4º quadrantes;
•	 não	existe	a	secante	de	ângulos	da	forma	a	₌	π	+	k	.	π
2
,	k	є	Z,	pois	nesses	ângulos	
o	cosseno	é	zero;
•	 não	existe	a	cossecante	de	ângulos	da	forma	a	=	k	. π,	k	є	Z,	pois	são	ângulos	cujo	
seno	é	zero.
Exemplo	1:
Calcule	a	secante	do	arco	de	150°.
Resolução:
Assim,	a	secante	do	arco	de	150°	é	 2√3
3–
.
Exemplo	2:
Calcule	a	cossecante	do	arco	de	330°.
Resolução:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
108
1cossec x
senx
1cossec 330
sen330
1cossec 330
1
2
cossec 330 1 ( 2)
cossec 330 2
=
° =
°
° =
-
° = ⋅ -
° = -
Portanto,	a	cossecante	do	arco	de	330°	é	-2.
O Gráfico das funções secante e cossecante:
Conforme	acabamos	de	estudar,	a	função	secante,	indicada	por	y	=	sec	x	ou	
f(x)	=	sec	x,	é	definida	por	
1f(x)
cosx
= 	para	todo	x	real	tal	que	cos	x	≠	0.	
A	função	cossecante,	indicada	por	y	=	cossec	x	ou	f(x)	=	cossec	x,	é	definida	
por	 1f(x)
senx
= 	para	todo	x	real	tal	que	sen	x	≠	0.	
A	partir	disto,	podemos	estabelecer	alguns	valores	notáveis	da	secante	e	da	
cossecante.	Observe	no	quadro	a	seguir:
FONTE: A autora
QUADRO 26 – PRINCIPAIS VALORES DAS FUNÇÕES SEC X E COSSEC
x
(em radianos)
sec x
cossec 
x
x
(em radianos)
sec x cossec x
0 1 ∃⁄ 7π	6 -1,15 -2
π
6
1,15 2 5π 4 -1,4 -1,4
π
4 1,4 1,4
4π
 3 -2 -1,15
π
3 2 1,15
3π
 2 ∃⁄ -1
π
2 ∃⁄ 1
5π
 3 2 -1,15
2π
 3 -2 1,15
7π
 4 1,4 -1,4
3π
 4 -1,4 1,4
11π
		6
1,15 -2
5π
	6
-1,15 2 2π 1 ∃⁄
π -1 ∃⁄
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
109
Colocando	 estes	 valores	 no	 plano	 cartesiano,	 obtemos	 os	 gráficos	 das	
funções	secante	e	cossecante.
5.2 ESTUDO DA FUNÇÃO COTANGENTE
Consideremos	o	ciclo	trigonométrico	a	seguir	e	o	arco	
(
AP	de	medida	x.	Seja	
C	o	ponto	de	intersecção	da	reta	OP
→←
	com	o	eixo	das	cotangentes.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
110
cosxcotgx
senx
cos30cotg30
sen30
3
2cotg30
1
2
3cotg30 2
2
cotg30 3
=
°
° =
°
° =
° = ⋅
° =
Podemos	ainda	escrever:
Exemplo:
Calcule	a	cotangente	do	arco	de	30°.
Resolução:
Deste	modo,	a	cotangente	do	arco	de	30°	é	√3.
Definimos	 como	 cotangente	 do	 arco	
(
AP a	 medida	 do	 segmento	 BC,	 e	
indicamos	cotg	x	=	BC,	ou	seja,	a	cotg	x	é	a	abscissa	do	ponto	C.
Através	da	semelhança	de	triângulos,	podemos	obter:
≠
cosxcotgx = , sendo sen x 0
senx
1 π
≠
kcotgx = , x
tgx 2
TÓPICO 1 | FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E SUAS INVERSAS
111
FONTE: A autora
QUADRO 27 – PRINCIPAIS VALORES DA FUNÇÃO COTG X
x
(em radianos)
cotg x
x
(em radianos)
cotg x
0 ∃⁄ 7π	6 1,73
π
6
1,73
5π
 4 1
π
4 1
4π
 3 0,58
π
3 0,58
3π
 2 0
π
2 0
5π
 3 -0,58
2π
 3 -0,58
7π
 4 -1
3π
 4 -1
11π
		6
-1,73
5π
	6
-1,73 2π ∃⁄
π ∃⁄
Observe	que	a	tangente	é	positiva	para	os	arcos	com	extremidades	no	1º	
ou	3º	quadrante	e	negativa	para	os	arcos	com	extremidades	no	2º	ou	4º	quadrante.
Colocando	 estes	 valores	 no	 plano	 cartesiano,	 obtemos	 o	 gráfico	 da	
função	cotangente.
O Gráfico da função cotangente
Partindo	 da	 definição,	 podemos	 estabelecer	 alguns	 valores	 notáveis	 da	
cotangente.	Observe:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
112
A	partir	do	gráfico,	podemos	concluir:
•	 O	domínio	da	função	f(x)	=	cotg	x	é	D(f)	=	{x	є	R	|	x	≠	kπ,	k	є	Z};
•	 O	Conjunto	imagem	da	função	f(x)	=	cotg	x	é	o	intervalo	[-∞,	+∞],	ou	seja,Im(f)	=	R;
•	 f(x)	=	cotg	x	é	uma	função	periódica	com	p	=	π.
113
RESUMO DO TÓPICO 1
Neste tópico ampliamos o conhecimento das razões seno, cosseno e 
tangente, já conhecidas desde o triângulo retângulo, para o plano cartesiano, ou 
seja, na forma de função.
●	Também	 avançamos	 no	 estudo	 da	 trigonometria,	 conhecendo	 outras	 razões	
importantes:	a	secante,	a	cossecante	e	a	cotangente.	
Disto	é	válido	lembrar:
●	Quanto	ao	gráfico	das	funções	trigonométricas	(no	quadro	28),	podemos	destacar:
QUADRO 28 – QUADRO RESUMO DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Função
f(x)
Domínio
D(f)
Imagem
Im(f)
Período
P
Sinais
Positivo Negativo
sen	x x	є	R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º	e	2º	Q 3º	e	4º	Q
cos	x x	є	R { y є R | -1 ≤ y ≤ 1 } 2π 1º	e	4º	Q 2º	e	3º	Q
tg	x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 y є R π 1º	e	3º	Q 2º	e	4º	Q
sec	x { x є R | x ≠ π + kπ, k є Z}2 { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º	e	4º	Q 2º	e	3º	Q
cossec	x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } { y є R | -1 ≥ y ≥ 1 } 2π 1º	e	2º	Q 3º	e	4º	Q
cotg	x { x є R | x ≠ kπ, k є Z } y є R π 1º	e	3º	Q 2º	e	4º	Q
FONTE: A autora
1sec x
cosx
1cossec x
senx
cosx 1cotgx ou cotgx=
senx tgx
=
=
=
114
AUTOATIVIDADE
1	 Indique	o	valor	de:	
a)	cotg	60°	 	 b)	sec	180°	 	 c)	cossec	30°
d)	cotg	225°	 	 e)	sec	210°	 	 f)	cossec	27°
g)	cotg	330°	 	 h)	sec	120°	 	 i)	cossec	225°
2	Calcule	o	valor	das	expressões	(FACHINI,	1996):
3	 Verifique	se	são	verdadeiras	ou	falsas	as	igualdades:
4	Determine	o	domínio	das	seguintes	funções:
5	 Para	que	valores	reais	de	m	a	equação	sen	x	=	2m	+	1	admite	solução?
a)
cos	x	+	cos	2x
cos	3x	–	cos	4x
2
2
,	para	x	₌	π
b) ,	para	x	₌	π
4
cos	x	.	cos	3x
1	+	√2	.	cos	x
a)	tg	60°	₌	tg	210°	 	 	 	 b)	cotg	π	₌	cotg	3π
c)	cossec	0°	₌	cossec	2π	 	 	 d)	tg		3π	₌	tg	5π
e)	tg	π	₌	tg	7π	 	 	 	 	 f)	sec	45°	₌	sec	765°
g)	sec	π	₌	sec	5π	 	 	 	 h)	cotg	0°	₌	cotg	180°
i)	sec	90°	₌	sec	270°	 	 	 	 j)	cossec	π	₌	cossec	3π
2 2
4 4
3 3
4
4 2
a)	f(x)	₌	cotg	(2x	+	30°)
b)	f(x)	₌	cossec	 x+
6
π 
 
 
c)	f(x)	₌	sec	 x+
3
π 
 
 
115
7	Que	número	é	maior:	sen	70°	ou	sen	760°?
8	Determine	x	є	R,	tal	que	tg	β	=	x	+	1
2
	e	cotg	β	=	4.
9	 Construa	o	gráfico,	dê	o	domínio,	a	imagem	e	o	período	das	funções:
6	 Calcule	B	=	sen	2x	+	cos	4x	–	tg	3x,	para	x	=	 π
3
.
a)	f(x)	₌	cos	 x - 
4
π 
 
  
b)	f(x)	₌	4sen	
x
3
c)	f(x)	₌	-tg	2x
116
117
TÓPICO 2
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
2 EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dando	continuidade	ao	estudo	da	trigonometria,	abordaremos	as	técnicas	
de	 resolução	 de	 equações	 e	 inequações	 que	 envolvem	 as	 funções	 que	 vimos	
anteriormente.
Logicamente,	 os	 conteúdos	de	 equações	 e	 inequações	 não	 são	novidade	
para	você,	mas	quando	estes	se	unem	aos	conceitos	da	trigonometria,	precisamos	
fazer	algumas	observações	quanto	à	posição	do	arco	da	função	na	circunferência	
trigonométrica.	Estes	olhares	serão	nosso	foco	de	estudo	neste	tópico.
Para	 que	 uma	 sentença	 matemática	 seja	 denominada	 uma	 equação	 é	
necessário	que	se	tenha	uma	igualdade	e	pelo	menos	uma	incógnita.	Resolver	a	
equação	é	encontrar	os	valores	desconhecidos	das	incógnitas.
	 Agora,	 para	 uma	 equação	 ser	 chamada	 de	 equação trigonométrica é 
necessário	que,	além	dessas	características	gerais,	a	incógnita	esteja	envolvida	em	
pelo	menos	uma	razão	trigonométrica.	Assim,	resolver	uma	equação	trigonométrica	
significa	encontrar	os	valores	dos	ângulos	que	a	satisfazem.
A	seguir,	temos	alguns	exemplos	de	equações	trigonométricas:
sen	x	=	cos	2x	
2sen2	x	–	5sen	x	+	3	=	0
cos2	x	=	-cos	x
sen	2x	–	cos	4x	=	0	
4sen	3x		=	3sen	x	
Agora,	veja	exemplos	de	equações	que	não	são	consideradas	trigonométricas,	
pois	a	incógnita	não	pertence	à	razão	trigonométrica.
x2	+	sen	30°	•	(x	+	1)	=	15
x	+	(tg	30°)	•	x2	=	0
cos	60°	–	x	=	√32 
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
118
Grande	parte	das	equações	trigonométricas	pode	ser	reduzida	na	forma	de	
equações	trigonométricas	elementares	ou	equações	trigonométricas	fundamentais,	
representadas	da	seguinte	forma:
1)	sen	x	=	sen	a							2)	cos	x	=	cos	a											3)	tg	x	=	tg	a
Com	a	є	[0,	2π]
Cada	uma	dessas	equações	acima	possui	um	tipo	de	solução,	ou	seja,	possui	
um	conjunto	de	valores	que	a	incógnita	deverá	assumir	em	cada	equação.	
Vejamos,	a	seguir,	cada	uma	delas:
2.1 PRIMEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
sen x = sen a, com a є [0, 2π]
Quando	fizemos	o	estudo	de	seno,	vimos	que	se	dois	arcos	têm	o	mesmo	
seno,	então	eles	são	côngruos	ou	suplementares,	ou	seja,	possuem	a	mesma	imagem	
no	eixo	dos	senos.	Veja	no	ciclo	trigonométrico	a	seguir:
Portanto,	podemos	concluir	que:
sen	x	₌	sen	a ⇔
}x	₌	a	+	k	.	2π
ou
x	₌	π	–	a	+	k	.	2π
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
119
E,	como	conjunto	solução	desta	equação,	temos:
S	=	{x	є	R	|	x	=	a	+	k	•	2π	ou	x	=	π	-	a	+	k	•	2π,	k	є	Z}
Exemplo:	
Determinar	o	conjunto	solução	das	equações:
a)	sen	x	=	√32
Resolução:
Consultando	as	tabelas	trigonométricas,	descobre-se	que	sen	π3 	=	
√3
2 ,	ou	seja,	
x
3
π
= .	Mas,	x	pode	ser	ainda	qualquer	ângulo	congruente	a	π
3
,	então,	a	solução	da	
equação	sen	
3x
2
= é	dada	por	
S	=	{x	є	R	|	x	=	π
3
	+	k	•	2π	ou	x	=	2π
3
	+	k	•	2π,	k	є	Z}
b)	2sen	2x	–	1	=	0
Resolução:
Podemos	reescrever	a	equação	como:
Através	das	tabelas	trigonométricas	verificamos	que	sen π
6
 1
2
₌ ,	ou	seja,	2x	=	π
6
.	
E,	portanto,	as	duas	possibilidades	de	respostas	são	desenvolvidas	a	partir	de:
S	=	{x	є	R	|	x	=	π12	+	k	•	π	ou	x	=	
5π
12
	+	k	•	π,	k	є	Z}
2sen2x 1 0
 2sen2x=1
1 sen2x=
2
- =
k 2x a k 2 x2x k 2 x x k
6 6 2 2 12
k 2 5x a k 2 2x k 2 x x k
6 2 6 2 2 12
π π ⋅ π π
= + ⋅ π ⇒ = + ⋅ π ⇒ = + ⇒ = + ⋅ π
⋅
π π π ⋅ π π
= π - + ⋅ π ⇒ = π - + ⋅ π ⇒ = - + ⇒ = + ⋅ π
⋅
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
120
2.2 SEGUNDA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
cos x = cos a, com a є [0, 2π]
Com	base	 nos	 estudos	de	 cosseno,	 se	 dois	 arcos	 têm	o	mesmo	 cosseno,	
então	eles	são	côngruos,	ou	seja,	possuem	extremidades	simétricas	em	relação	ao	
eixo	dos	cossenos.	Observe:
Portanto,	podemos	concluir	que:
cos	x	=	cos	a	⇔	x	=	±a	+	k	•	2π,	k	є	Z
E,	como	conjunto	solução	desta	equação,	temos:
S	=	{x	є	R	|	x	=	±a	+	k	•	2π,	k	є	Z}
Exemplo	1:	
Determinar	o	conjunto	solução	da	equação	cos	x	=	1
2
.
Resolução:
As	extremidades	dos	arcos	no	ciclo	trigonométrico	para	o	qual	x	=	1
2
,	são	os	
pontos	P	e	P’,	simétricos	em	relação	ao	eixo	dos	cossenos.
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
121
Então,	consultando	as	tabelas	trigonométricas,	verificamos	que	cos	x	=	 1
2
 
quando	x	=	π
3
.	Assim,
S	=	{x	є	R	|	x	=	± π
3
	+	k	•	2π,	k	є	Z}
Exemplo	2:	
Determinar	o	conjunto	solução	da	equação	cos	(2x	–	π)	=	–	√32 .
Resolução:
Consultando	 as	 tabelas	 trigonométricas,	 verificamos	 que	 –	 √3
2
 é o 
equivalente a – cos π
6
,	que,	por	sua	vez,	é	equivalente	a	cos	5π
6
.	Assim,
52x k 2
6
52x k 2
6
5 62x k 2
6 6
x k
12
- π
- π = + ⋅ π
- π
= + ⋅ π + π
- π π
= + + ⋅ π
π
= + ⋅ π
52x k 2
6
52x k 2
6
5 62x k 2
6 6
11x k
12
π
- π = + ⋅ π
π
= + ⋅ π + π
π π
= + + ⋅ π
π
= + ⋅ π
ou
S	₌	{x	є	R | x ₌ 11π + k . π ou x ₌ π + k . π, k є	Z}
12 12
2.3 TERCEIRA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL: 
tg x = tg a, com a ∈ [0, 2π]
Assim	como	nas	equações	fundamentais	anteriores,	ela	baseia-se	no	fato	de	
que,	se	dois	arcos	têm	a	mesma	tangente,	então	eles	são	côngruos,	ou	seja,	possuem	
suas	extremidades	simétricas	em	relação	ao	centro	do	ciclo	trigonométrico.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
122
Portanto,	podemos	concluir	que:
tg	x	=	tg	a	⇔	a	+	k	•	π
com	a	≠	π
2
	+	k	•	π		e		k	є	Z
E,	como	conjuntosolução	desta	equação,	temos:
S	=	{x	є	R	|	x	=	a	+	k	•	π,	k	є	Z}
Exemplo	1:
Determinar	o	conjunto	verdade	da	equação	tg	x	=	√3.
Resolução:
As	extremidades	dos	arcos	no	ciclo	trigonométrico,	para	o	qual	tg	x	=	√3	são	
os	pontos	P	e	P’,	simétricos	em	relação	à	origem.
Então,	escrevemos:
 
tgx	₌	√3
tg π
3
	₌	√3
E	assim,	x	=	π
3 
+	k	•	π.
S	=	{x	є	R	|	x	=	π
3
	+	k	•	π,	k	є	Z}
Exemplo	2:
Determinar	o	conjunto	verdade	da	equação	tg	2x	–	1	=	0.
Resolução:
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
123
Podemos	reescrever	a	equação	como:
tg2x	–	1	₌	0
						tg2x	₌	1
E	consultando	as	tabelas	trigonométricas	das	tangentes	temos	que	tg	2x	=	
1	quando	2x	=	π
4
.
E	assim,	2x	=	
π
4 	+	k	•	π,	ou	melhor,	x	=	
π
8
 + k	.	π2
.
Logo,	S	=	{x	є	R	|	x	=	π
8
 + k	.	π
2
,	k	є	Z}.
3 INEQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Uma	 sentença	 matemática	 é	 denominada	 de	 inequação	 quando	 é	 uma	
desigualdade	e	possui	pelo	menos	uma	incógnita.
Chamamos	 de	 inequação	 trigonométrica	 a	 inequação	 cuja	 incógnita	
está	envolvida	em	pelo	menos	uma	razão	 trigonométrica.	Resolver	a	 inequação	
trigonométrica	 significa	obter,	 caso	exista,	o	 conjunto	 solução	S,	de	valores	que	
satisfaçam	a	inequação.
A	maioria	das	inequações	trigonométricas	pode	ser	reduzida	a	inequações	
de	um	dos	seguintes	tipos:
1)	sen	x	>	a 2)	sen	x	<	a
3)	cos	x	>	a 4)	cos	x	<	a
5)	tg	x	>	a 6)	tg	x	<	a
onde	 a	 é	 um	 número	 real.	 Estas	 são	 denominadas	 inequações	 trigonométricas	
fundamentais.
3.1 INEQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
Quando	 aprendemos	 a	 resolver	 as	 inequações	 fundamentais,	 sabemos	
resolver	 outras	 inequações	 trigonométricas.	 Por	 este	 motivo,	 dedicaremos	 este	
item	ao	estudo	delas.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
124
1º Caso:	sen	x	>	a	ou	sen	x	≥	a
Sobre	o	eixo	dos	senos,	marcamos	o	ponto	P,	tal	que	OP	=	a.	Traçamos	por	
P a reta r	perpendicular	ao	eixo.	As	imagens	dos	reais	x tais que sen x > a	estão	na	
interseção	do	ciclo	com	o	semiplano	situado	acima	de	r.
Assim,	 descrevemos	 os	 intervalos	 aos	 quais	 x	 pode	 pertencer,	 tomando	
cuidado	de	partir	do	ponto	A	e	percorrer	o	ciclo	trigonométrico	no	sentido	anti-
horário	até	completar	uma	volta.
ATENCAO
Neste tópico é imprescindível recordar os conceitos de Intervalos Reais.
 
Intervalo aberto em a e b, {x є R | a < x < b} = ]a,b[
Intervalo fechado em a e aberto em b, {x є R | a ≤ x < b} = [a,b[
Intervalo fechado em a e b, {x є R | a ≤ x ≤ b} = [a,b]
Intervalo aberto em a e fechado em b, {x є R | a < x ≤ b} = ]a,b
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
125
Exemplo:	
Vamos	resolver	a	inequação	sen	x	>	√2
2
.
Resolução:
Percorrendo	o	ciclo	no	sentido	anti-horário,	temos:	
Para	a	primeira	volta:
S	=	 x	є	R | π < x < 3π 
4 4
} }
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R | π	+	k	.	2π < x < 3π	+	k	.	2π,	k	є Z
4 4
} }
2º Caso:	sen	x	<	a	ou	sen	x	≤	a
Sobre	o	eixo	dos	senos,	marcamos	o	ponto	P,	tal	que	OP	=	a.	Traçamos	por	
P a reta r	perpendicular	ao	eixo.	As	imagens	dos	reais	x tais que sen x < a	estão	na	
interseção	do	ciclo	com	o	semiplano	situado	abaixo	de	r.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
126
Assim,	descrevemos	os	intervalos	aos	quais	x	pode	pertencer,	partindo	do	
ponto	A	e	percorrendo	o	ciclo	trigonométrico	no	sentido	anti-horário	até	completar	
uma	volta.
Exemplo	1:
Vamos	resolver	a	inequação	sen	x	<	√2
2
.
Resolução:
Percorrendo	o	ciclo	a	partir	do	zero,	no	sentido	anti-horário,	encontramos	
dois	intervalos	para	a	primeira	volta:
S	=	 x	є	R | 0	≤	x	< π	ou	3π	<	x	≤	2π 
4 4
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
127
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R | 0	+	k	.	2π	≤	x	< π	+	k	.	2π	ou	3π	+	k	.	2π	<	x	≤	2π	+	k	.	2π 
4 4
} } 
E	simplificando,	temos
S	=	 x	є	R | k	.	2π	≤	x	< π	+	k	.	2π	ou	3π	+	k	.	2π	<	x	≤	(1	+	k)	.	2π,	k	є	Z 
4 4
} } 
Exemplo	2:
Resolva	a	inequação	0	≤	senx	<	√3
2
,	para	x	∈ R.
Resolução:
A	 imagem	 de	 x	 deve	 ficar	 na	 interseção	 do	 ciclo	 com	 a	 faixa	 do	 plano	
compreendida	entre	r	e	s.
Então,	para	a	primeira	volta:
S	=	 x	є	R	|	0	≤	x	<	π	ou	2π	<	x	≤	π
33
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
128
S	=	 x	є	R	|	k	.	2π	≤	x	<	π	+	k	.	2π	ou	2π	+	k	.	2π	<	x	≤	π	+	k	.	2π,	k	є	Z
33
} }
 
3º Caso:	cos	x	>	a	ou	cos	x	≥	a
Sobre	o	eixo	dos	cossenos,	marcamos	o	ponto	Q,	tal	que	OQ	=	a.	Traçamos	
por	Q a reta r	perpendicular	ao	eixo.	As	imagens	dos	reais	x tais que cos x > a	estão	
na	interseção	do	ciclo	com	o	semiplano	situado	à	direita	de	r.
Por	 fim,	 descrevemos	 os	 intervalos	 aos	 quais	 x	 pode	 pertencer,	 tomando	
cuidado	de	partir	do	ponto	Q,	percorrendo	o	ciclo	trigonométrico	no	sentido	anti-
horário	até	completar	uma	volta.
Exemplo:	
Vamos	resolver	a	seguinte	inequação	trigonométrica:	cos	x	>	 √3
2
.
Resolução:
Consultando	as	tabelas	trigonométricas	verifica-se	que	cos	x	=	√3
2
	quando	
11x ou x= .
6 6
π π
=
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
129
Percorrendo	o	ciclo	a	partir	do	zero,	no	sentido	anti-horário,	encontramos	
dois	intervalos	para	a	primeira	volta:
S	=	 x	є	R	|	0	≤	x	<	π	ou	11π	<	x	≤	2π
66
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R	|	k	.	2π	≤	x	<	π	+	k	.	2π	ou	11π	+	k	.	2π	<	x	≤	(1	+	k)	.	2π,	k	є	Z
66
} } 
4º Caso:	cos	x	<	a	ou	cos	x	≤	a
Sobre	o	eixo	dos	cossenos,	marcamos	o	ponto	Q,	tal	que	OQ	=	a	.	Traçamos	
por	Q a reta r	perpendicular	ao	eixo.	As	imagens	dos	reais	x tais que cos x < a	estão	
na	interseção	do	ciclo	com	o	semiplano	situado	à	esquerda	de	r.
Para	completar,	descrevemos	os	intervalos	que	convêm	ao	problema.	
Exemplo	1:
Vamos	resolver	a	seguinte	inequação	trigonométrica:	cos	x	<	 √3
2
.
Resolução:
Consultando	as	tabelas	trigonométrica	verifica-se	que	cos	x	=	√3
2
	quando	x	=	
π
6
	ou	x	=	1π
6
.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
130
Percorrendo	o	ciclo	a	partir	do	zero,	no	sentido	anti-horário,	temos:
Primeira	volta:
S	=	 x	є	R	| π	<	x	<	11π
66
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R	|	π	+	k	.	2π	<	x	<	11π	+	k	.	2π,	k	є	Z
66
} }
Exemplo	2:
Vamos	resolver	a	seguinte	inequação	trigonométrica:		-	3	≤	cosx	≤	0
2
,	para	
x	є	R.
Resolução:
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
131
A	 imagem	 de	 x	 deve	 ficar	 na	 interseção	 do	 ciclo	 com	 a	 faixa	 do	 plano	
compreendida	entre	r e s.
Primeira	volta:
S	=	 x	є	R	| π	≤	x	≤	3π
22
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R	|	π	+	k	.	2π	≤	x	≤	3π	+	k	.	2π,	k	є	Z
22
} } 
5º Caso:	tg	x	>	a	ou	tg	x	≥	a
Sobre	o	eixo	das	tangentes,	marcamos	o	ponto	T,	tal	que	AT	=	a.	Traçamos	a	reta		
r	=	OT
→←
.	As	imagens	dos	reais	x tais que tg x > a	estão	na	interseção	do	ciclo	com	o	
ângulo	rÔv.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
132
Por	fim,	descrevemos	os	intervalos	que	convêm	ao	problema.
Exemplo:	
Resolva	a	inequação	tg	x	>	√3.
Resolução:
Consultando	 as	 tabelastrigonométricas	 verifica-se	 quais	 ângulos	
apresentam √3	como	tangente.
Primeira	volta:
S	=	 x	є	R	|	π	<	x	<	π	ou	4π	<	x	<	3π
3 3 22
} } 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
TÓPICO 2 | EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
133
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	є	Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:
S	=	 x	є	R	|	π	+	k	.	2π	<	x	<	π	+	k	.	2π	ou	4π	+	k	.	2π	<	x	<	3π	+	k	.	2π,	k	є	Z
23
} }3 2 
6º Caso:	tg	x	<	a	ou	tg	x	≤	a
Sobre	o	eixo	das	tangentes,	marcamos	o	ponto	T,	tal	que		AT	=	a.	Traçamos	
a	reta		r	=	OT
→←
.	As	imagens	dos	reais	x tais que tg x < a	estão	na	interseção	do	ciclo	
com	o	ângulo	rÔv.
Finalmente,	descrevemos	os	intervalos	que	convêm	ao	problema.
Exemplo: 
Resolva	a	inequação	tg	x	<	√3.
Resolução:
Consultando	as	tabelas	trigonométricas	verifica-se	quais	ângulos	apresentam 
√3	como	tangente.
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
134
Primeira	volta:
S	=	 x	є	R	|	0	≤	x	<	π	ou	π	<	x	<	4π	ou	3π	<	x	≤	2π
33
} }2 2 
Que	é	uma	solução	particular	para	o	intervalo	[0,	2π].
Acrescentando	k	•	2π,	com	k	∈ Z,	às	extremidades	do	intervalo	encontrado,	
temos	a	solução	geral	em	R.
Solução	geral:	
S	=	
23
} }3 2x	є	R	|	k	.	2π	≤	x	<	π	+	k	.	2π	ou	π	+	k2π	<	x	<	4π	+	k2π	ou	3π	+	k2π	<	x	≤	(1+k)2π,	k	є	Z 
135
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico fizemos o estudo das equações e inequações trigonométricas.
●	 Vimos	 que,	 conhecendo	 as	 equações	 trigonométricas	 fundamentais,	 podemos	
resolver	a	maioria	das	equações	 trigonométricas,	visto	que	podemos,	quando	
convenientemente,	 tratá-las	 e	 transformá-las,	 reduzindo-as	 em	 equações	
fundamentais.		Por	este	motivo,	é	de	grande	serventia	memorizá-las.
1)	 sen	x	=	sen	a,	a	є	[0,	2π]	⇒	x	=	a	+	k	•	2π,	k	є	Z.
2)	 cos	x	=	cos	a,	a	є	[0,	2π]	⇒	x	=	a	+	k	•	2π,	k	є	Z.
3)	 tg	x	=	tg	a,	a	є	[0,	2π]	⇒	x	=	a	+	k	•	π,	k	є	Z.
●	 O	mesmo	ocorre	com	as	inequações	trigonométricas.	É	necessário	compreender	
as	inequações	fundamentais,	para	facilmente	resolver	as	demais.
1)	sen	>	a
2)	sen	<	a
3)	cos	x	>	a
4)	cos	x	<	a
5)	 tg	x	>	a
6)	 tg	x	<	a
 com a ∈ R.
136
AUTOATIVIDADE
Prezado(a)	 acadêmico(a),	 as	 autoatividades	 que	 seguem	 se	 destinam	 à	
averiguação	da	aprendizagem	deste	tópico	de	estudos.	Bom	trabalho!
1	Encontre	o	valor	do	número	real	y,	tal	que	sen²y	–	3	sen	y	=	–	2,	para	0	≤	y	≤	π.
2	Resolva	as	equações	trigonométricas	abaixo:
a)	sen3x	=	1
b)	cos x+ 1
6
π 
= - 
 
c)	tg	5x	=	0
d)	2sen	2x	–	1	=	0
e)	cos	(2x	–	π)	=	–	√32
f)	 tg	(2x	–	π)	–	√3	=	0
3	Sabendo	que	x	є	R,	calcule	as	seguintes	inequações:
a)	tg	x	≤	1
b)	cos	x	≥	–	1
2
c)	sen	x	>	0
d)	sen	x	≥	–	√32
e)	-	√3	<	tg	x	≤	√33 
137
TÓPICO 3
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
2 RELAÇÕES FUNDAMENTAIS
Nos	tópicos	anteriores	estudamos	as	funções	trigonométricas	e	analisamos	
as	características	e	propriedades	de	cada	uma	delas,	bem	como	algumas	equações.
Entretanto,	 o	 assunto	não	 está	 esgotado,	 ainda	há	 algumas	 relações	que	
podemos	fazer	entre	os	valores	das	funções	trigonométricas	de	um	mesmo	arco,	
chamadas	de	relações	trigonométricas.
Das	demonstrações	anteriores,	temos:
Agora,	consideremos	o	ciclo	trigonométrico	a	seguir:
cosx(I) cotgx= , com x k e k Z.
senx
1(II) secx= , com x k e k Z.
cosx 2
1(III) cossecx= , com x k e k Z.
senx
≠ π ∈
π
≠ + π ∈
≠ π ∈
138
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Observe	 que	 os	 triângulos	 retângulos	 OAB	 e	 OP”P	 são	 semelhantes,	
portanto:
Sendo	esta	uma	circunferência	unitária,	temos
 OA = 1, AB = tgx, P"P = OP' = senx e OP"		=	cos	x,	então:
Observando,	novamente	o	triângulo	retângulo	OP”P	e	aplicando	o	teorema	
de	Pitágoras,	obtemos:
Como	a	circunferência	é	unitária,	temos	que		P"P	=	sen	x,	OP"	=	cos	x	e	OP		=	
1,	logo:
 
(V)				sen²x	+	cos²x	=	1,	x	є	R
Estas	 cinco	 relações	 são	 conhecidas	 como	 relações	 fundamentais	 da	
trigonometria.
AB P"P
OA OP"
=
OP = OP" + P"P² ² ²
3 RELAÇÕES DERIVADAS
São	relações	que	podem	ser	deduzidas	das	relações	fundamentais.
(I)	A	partir	de	
cosxcotgx
senx
= ,	com	x	≠	kπ	e	k	є	Z,	podemos	escrever:
1 kcotgx , x k , k Z.
tgx 2
π
= ≠ + π ∈
(II)	Se	dividirmos	a	igualdade	sen²x	+	cos²x	=	1,	por	cos²x	≠	0,	obteremos:
sen²x	 		cos²x	 						1
cos²x	 		cos²x					cos²x
+ =
2 2
senx 11
cosx cosx
   
+ =   
   
senx(IV) tgx= , com x k e k Z.
cosx 2
π
≠ + π ∈
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
139
E	com	isso,
(III)	Dividindo	agora	a	igualdade	sen²x	+	cos²x	=	1,	por	sen²x	≠	0,	obteremos:
E	com	isso,
1+ cot g2	x	=	cos	sec2	x,	com	x	≠	kπ,	k	є	Z
Exemplo	1:
Sabendo	que	tg	x	=	–	√3 e π
2
	<	x	<	π,	calcule:
+
tg²x	+	1	=	sec²	x,	com	x	≠	kπ	+	kπ,	k	є	Z
2
a)	sec²x	
Resolução:	
sec2x	=	1	+	tg2x	
sec2x	=	1	+	(–	√3)2 
sec2x	=	1	+	3
sec2x	=	4
sec	x	=	–	√4 
sec	x	=	-2
No	IIQ	a	secante	é	negativa,	logo	tem	o	mesmo	sinal	do	cosseno.
Pelo	exposto,	a	secante	de	x	é	–2.
b)	cotg	x	
Resolução:
sen²x	 		cos²x	 						1
sen²x	 		sen²x					sen²x
=
2 2
cosx 11
senx senx
   
+ =   
   
1cotgx
tgx
1cotgx
3
1 3cotgx
3 3
3cotgx
3
=
=
-
= ⋅
-
-
=
140
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
( )
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
cossec x 1 cotg x
3cossec x 1
3
3
cossec x 1
3
3cossec x 1
9
1cossec 1
3
4cossec x
3
4cossec x
3
2cossec x
3
2 3cossec x
3
= +
 -
= +   
 
-
= +
= +
= +
=
=
=
=
1sec x
cox
1cosx
sec x
1cosx
2
1cosx
2
=
=
=
-
-
=
Deste	modo,	a	cotangente	de	x	é	 √3
3
- .
c)	cos	x
Resolução:
Assim,	o	cosseno	de	x	é	–	1
2
.
d)	cossec	x
Resolução:
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
141
1senx
cossec x
1senx
2 3
3
3senx 1
2 3
3 3senx
2 3 3
3 3senx
2 3
3senx
2
=
=
= ⋅
= ⋅
=
⋅
=
No	IIQ	a	cossecante	é	positiva,	logo	tem	o	mesmo	sinal	do	seno.
Desse	modo,	a	cossecante	de	x	é	2√3
3
.
e)	sen	x
Resolução:
E	assim,	o	seno	de	x	é	√3
2
Exemplo	2:
Sabendo-se	que
2senx
2
= ,	calcule	o	valor	da	expressão
2
2
sec x 1y
tg x 1
-
=
+
.
Resolução:
Vamos,	inicialmente,	escrever	a	expressão	em	função	de	sen	x	e	cos	x:
142
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Como	sen²x	+	cos²x	=	1	e	assim,	1	–	cos²x	=	sen²x	,	temos:
Substituindo	senx	=	√2
2
,	temos:
Desta	forma,	o	valor	numérico	de	y	é	 1
2
	.
y	=
2 2
2
2
sen x cos xy
1cos x
y sen x
= ⋅
=
1	-	cos²	x		.							cos²	x
cos²	x sen²	x	+	cos²	x
Exemplo	3:	
Sabendo	que		senx	=	 3
5 
e	x	pertence	ao	2º	quadrante,	calcular:	
a)	cos	x	
b)	tg	x	
c)	sec	x
2
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2 2
sec x 1y 
tg x 1
1 1
cosxy=
senx 1
cosx
1 cos x
cos cos xy=
sen x cos x
cos x cos x
1 cos x
cos xy=
sen x cos x
cos x
1 cos x cos xy=
cos x sen x + cos x
-
=
+
 
- 
 
 
+ 
 
-
+
-
+
-
⋅
2 2
2
2 2 2 1y
2 4 22
 
= = = =  
 
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
143
1sec x
cos
1sec x
4
5
5sec x
4
=
=
-
= -
Como	o	arco	está	no	2º	quadrante,	o	cosseno	é	negativo,	logo	
4
5
- .
b)	tg	x
Deste	modo,	tangente	de	x	corresponde	a	
3
4
- 	.
c)	sec	x
Assim,	secante	de	x	é	igual	a	 5
4
-
Resolução:	
a)	Para	o	cálculo	do	cos	x,	aplicamos	a	primeira	relação	fundamental:
sen²	x	+	cos²	x	=	1
cos²	x	=	1	-	sen²	x
cos²	x	=	1	-	
cos²	x	=	1	-	9
cosx	=	
4cosx
5
=
25
2
3
5
 
 
 
16
25
senxtgx
cosx
3
5tgx
4
5
3tgx
4
==
-
= -
144
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
4 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Uma	 igualdade	 em	 uma	 variável	 x,	 f(x)	 =	 g(x),	 é	 uma	 identidade	 num	
conjunto	universo	U	 se,	 e	 somente	 se,	 a	 sentença	 f(a)	 =	 g(a)	 é	 verdadeira	para	
qualquer	valor	de	a,	tal	que	a	є	U.
Quando	uma	 igualdade	que	 envolve	 funções	 trigonométricas	 se	verifica	
para	todos	os	valores	do	domínio	de	tais	funções,	chamamos	essa	igualdade	de	
identidade	 trigonométrica.	 Para	 afirmar	 que	 uma	 igualdade	 é	 uma	 identidade,	
precisamos	demonstrar	sua	validade,	utilizando	para	isso	as	relações	fundamentais	
e	suas	derivadas.
As relações fundamentais, bem como suas derivadas, são identidades 
trigonométricas.
NOTA
Por	exemplo,	considerando	o	domínio	das	funções,	a	igualdade	sen	x	• sec 
x	=	tg	x	é	uma	identidade	trigonométrica,	pois,	independentemente	do	valor	de	x,	
ela	se	verifica.	Para	x ≠ π + kπ, k є Z
2
,	temos:	
 1 senx
cosx cosx
senx · sec x ₌ senx · ₌ ₌ tgx
Já	a	igualdade	sen	x	+	cos	x	=	1,	para	x	є	R,	não	é	uma	identidade,	pois	ela	
não	é	verdadeira	para	todos	os	valores	reais	de	x.	Dizemos	que	sen	x	+	cos	x	=	1	é	
uma	equação	trigonométrica.	
Para	demonstrar	que	uma	igualdade	é	uma	identidade,	há	vários	processos.	
Vejamos	dois	deles	nos	exemplos	a	seguir.
1º)	 Escolhemos	 um	 dos	membros	 da	 igualdade	 f(x),	 geralmente	 o	mais	
complicado,	e	a	partir	dele,	obtemos	o	outro	membro	g(x),	provando	que	 f(x)	=	
g(x).
Exemplo:
Vamos	demonstrar	que	(1	–	cos²x)	•	(cotg²x	+	1)	=	1,	para	x	≠	kπ,	com	k	є	Z,	
é	uma	identidade	trigonométrica.
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
145
2
2
sen xf(x)
sen x
f(x) 1
=
=
Resolução:
Considerando		f(x)	=	(1	–	cos²x)	•	(cotg²x	+	1)	e	g(x)	=	1,	vamos	expressar	f(x)	
em	função	de	sen	x	e	cos	x:
Lembrando	que	1	–	cos²x	=	sen²x	,	temos
E	assim,	f(x)	=	g(x)	e,	portanto,	(1	–	cos²x)	•	(cotg²x	+	1)	=	1
2º)	Partimos	do	primeiro	membro	da	igualdade	e	procuramos	transformá-
lo	 numa	 função	 h(x),	 por	 exemplo.	 Seguidamente,	 fazemos	 transformações	 no	
segundo	membro	a	fim	de	torná-lo	idêntico	à	função	h(x).
Exemplo	1:
Vamos	demonstrar	que	 2
tgx senx
sec x1 tg x
=
+
	é	uma	identidade	para
 x k ,k Z.2
π
≠ + π ∈
Resolução:
Definimos	 2
tgxf(x)
1 tg x
=
+
	e	simplificamos	essa	expressão.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
cosxf x 1 cos x 1
senx
cos x sen xf x 1 cos x
sen x sen x
cos x + sen xf x = 1 cos x
sen x
1f x = 1 cos x
sen x
1 cos xf x
sen x
   = - ⋅ +    
 
= - ⋅ + 
 
 
- ⋅  
 
 
- ⋅  
 
-
=
146
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
senxg(x)
sec x
senxg(x)
1
cosx
cosxg(x) senx
1
g(x) senx cosx
=
=
= ⋅
= ⋅
E	desse	modo,	definimos	h(x)	=	senx	.	cos	x.
Agora,	vamos	trabalhar	com	a	expressão	
senxg(x)
sec x
= 	até	obter	h(x).
Partindo	 separadamente	 de	 f(x)	 e	 g(x),	 chegamos	 à	mesma	 função	 h(x).	
Logo,	h(x)	=	f(x)	=	g(x)	e,	portanto,
2
tgx senx .
sec x1 tg x
=
+
Exemplo	2:
Vamos	demonstrar	a	identidade	sec²x	–	sen²x	=	tg²x	+	cos²x.
Resolução:	
Primeiramente:
( )
( )
2
2
2
2
tgxf x
1 tg x
senx
cosxf x
sec x
senx
cosxf(x)= 
1
cos x
senx cos xf(x)
cosx 1
f(x) senx cosx
=
+
=
= ⋅
= ⋅
TÓPICO 3 | RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
147
Definimos	
2 4
2
sen x cos xh(x) .
cos x
+
=
Agora,
g(x)	=	tg²x	+	cos²	x
2
2
2 2
2
2 2
2 4
2 2
2 4
2
senxg(x) cos x
cosx
sen x cos xg(x) cos x
cos x cos x
sen x cos xg(x)
cos x cos x
sen x cos xg(x)
cos x
 
= + 
 
= + ⋅
= +
+
=
Como	h(x)	=	f(x)	=	g(x)	e,	portanto,	sec²x	–	sen²x	=	tg²x	+	cos²x.
Há	também	outra	maneira	de	demonstrar	esta	identidade.	Observe:
f(x)	–	g(x)	=	(sec2x	–	sen2x)	–	(tg2x	+	cos2x)	=	sec2x	–	sen2x	–	tg2x	–	cos2x	=	
=	(sec2x	–	tg2x)	–	(sen2x	+	cos2x)	=	1	–	1	=	0	
 
Assim,	se	f(x)	–	g(x)	=	0,	então	f(x)	=	g(x),	ou	seja,	sec²x	–	sen²x	=	tg²x	+	cos²x.
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 4
f x sec x - sen x
1f x - sen x
cosx
1 cos xf x - sen x
cos x cos x
1 - sen x . cos xf x
cos x
sen x cos x - sen x . cos x f x
cos x
sen x 1- sen x . cos x
f x
cos x
sen x cos x. cos xf x
cos x
sen x + cos xf x
cos
=
 
=  
 
= ⋅
=
+
=
+
=
+
=
= 2 x
148
RESUMO DO TÓPICO 3
Neste tópico exploramos as relações que podemos fazer quando temos 
funções de mesmo arco, pois elas são o suporte para demonstrar as identidades 
trigonométricas.
Por	este	motivo,	tenha	as	relações	abaixo	discriminadas	quando	for	realizar	
as	autoatividades,	com	k	є	Z.
I)	
cosxcotgx , x k
senx
= ≠ π
II)	
1sec x , x k
cosx 2
π
= ≠ + π
III)	
1cossec x , x k
senx
= ≠ π
IV)	
senxtgx , x k
cosx 2
π
= ≠ + π
V)	 2 2sen x cos x 1+ =
VI)	
1cotgx , x k
tgx 2
π
= ≠ + π
VII)	
2 2sec x 1 tg x, x k
2
π
= + ≠ + π
VIII)	 2cossec 2x 1 cotg x, x k= + ≠ π
149
AUTOATIVIDADE
Caro(a)	 acadêmico(a)!	 Chegou	 o	 momento	 de	 praticar	 seus	 conhecimentos	
adquiridos	neste	tópico.
Caso	surgirem	dúvidas,	utilize	os	serviços	disponibilizados	pelo	NEAD.	Boa	
atividade!
1	Dado	sen	x	=	 3
4
,	com	0	<	x	<	π
2
,	calcule	cos	x.
2	Dado	cos	x	=	- √3
 3
,	com	
π
2 	<	x	<	π,		calcule	tg	x.
3	Sabendo	que	cot	gx	=	√3 e π	<	x	<	3π
 2
,	calcule:
a)	cossec	x
b)	sen	x
c)	tg	x
d)	cos	x	
e)	sec	x	
4	Qual	o	valor	numérico	da	expressão	
2
4 2senxM
cos x
+
= ,	para	
3cotgx e x .
2
π
= π < <
3
4
5	Quais	são	os	valores	de	sen	x	e	cos	x,	sendo	senx	=	–2	cos	x	e	
π
2 	<	x	<	π?
6	Essa	questão	pode	ser	vista	como	um	ótimo	quebra-cabeça	trigonométrico!
	 Demonstre	que	as	seguintes	igualdades	são	identidades:
a)	tg²x	•	sen²x	=	tg²x	–	sen²x
b)	(1	+	cotg	x)²	+	(1	–	cotg	x)²	=	2cossec²x	
c)	cos	x	•	tg	x	•	cossec	x	=	1	
d)	(tg	x	+	1)	•	(1	–	tg	x)	=	2	–	sec²x
150
151
TÓPICO 4
TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
É	 intuitivo	 pensar	 que	 as	 expressões	 sen(60°	 +	 30°)	 e	 sen60°	 +	 sen30°	
possuem	o	mesmo	valor,	mas	isso	não	é	verdade.
Vamos	verificar:
sen(60°	+	30°)	=	sen90°	=	1
sen60°	+	sen30°	=	√3 + 1 = 1 + √3
222
 
Assim,	verificamos	que	sen(60°	+	30°)	≠	 sen60°	+	 sen30°.	Logo,	de	modo	
geral,		podemos	afirmar	que:
sen	(a	+	b)	≠	sen	a	+	sen	b
sen	(a	–	b)	≠	sen	a	–	sen	b
cos	(a	+	b)	≠	cos	a	+	cos	b
cos	(a	–	b)	≠	cos	a	–	cos	b
tg	(a	+	b)	≠	tg	a	+	tg	b
tg	(a	–	b)	≠	tg	a	–	tg	b
Neste	tópico	estudaremos	o	modo	correto	de	calcular	sen	(a	+	b)	e	sen	(a	–	b),	
bem	como	outras	fórmulas	importantes	de	transformações	trigonométricas.
2 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
Dados	dois	 arcos	 trigonométricos	 de	medida	 a	 e	 b,	 podemos	 calcular	 o	
seno,	o	 cosseno	e	 a	 tangente	da	 soma	ou	da	diferença	desses	 arcos	através	das	
identidades	conhecidas	por	fórmulas	de	adição	de	arcos.
As	fórmulas	que	estudaremos	a	seguir	nos	permitem	calcular	as	funções	
trigonométricas	do	tipo	soma	(a	+	b)	ou	diferença	(a	–	b)	de	arcos,	representados	
por	números	reais.
152
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
I) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
II) sen ( a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a
III) cos (a + b) = cos a .cos b - sen a . sen b
IV) cos (a - b) = cos a . cos b + sen a .sen b
V) tg a + tg btg (a + b) = 
1 - tg a . tg b
 (obedecidas as condições de existência)
VI) 
-
-
+
tg a tg btg (a b) = 
1 tg a . tg b (obedecidas as condições de existência)
FONTE: A autora(I)	Seno	da	soma
Dados	 dois	 arcos	 trigonométricos,	 AM
)
 e AN
)
	 de	 medidas	 a e a + b,	
respectivamente,	tracemos	as	perpendiculares	auxiliares,	como	na	figura	a	seguir:
QUADRO 29 – FÓRMULAS DA SOMA E DA DIFERENÇA DE DOIS ARCOS
Da	figura,	podemos	observar:
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
153
POT ≡ SRT, pois SR // OP;
TNR ≡ TOP, pois os triângulos TNR e TOP são semelhantes;
ΔONR ⇒ 
ΔRUO ⇒ sen a ₌ OU
OR
 ₌ OU
cos b
 ⇒ OU ₌ sen a . cos b
ΔRSN ⇒ cos a ₌ NS
NR
 ₌ NS
senb
 ⇒ NS ₌ cos a . sen b
Sendo sen ( a+ b) ₌ OV ₌ OU + UV e UV ₌ NS, então:
}sen b ₌ 
OR
ON
 ⇒ NR ₌ sen b
cos b ₌ OR
ON
 ⇒ OR ₌ cos b
ˆ ˆ
ˆ ˆ
sen	(a	+	b)	=	sen	a	• cos b + sen b • cos a
Observação:	 Essa	 demonstração	 pode	 ser	 repetida	 para	 os	 demais	
quadrantes,	observando	as	correções	de	sinais.
(II)	Seno	da	diferença
Esta	identidade	pode	ser	demonstrada	a	partir	da	identidade	(I).	Basta	fazer	
sen	(a	–	b)	=	sen	[a	+	(-b)]
e	aplicar	a	fórmula	do	sen	(a	+	b).
(III)	Cosseno	da	soma
A	partir	da	identidade	II,	podemos	demonstrar	a	identidade	III,	fazendo	
cos	(a	+	b)	=	sen	[90°	–	(a+b)]	=	sen	[(90°	–	a)	–	b].
(IV)	Cosseno	da	diferença
Demonstra-se	a	identidade	(IV)	a	partir	da	identidade	(III),	fazendo	
cos	(a	–	b)	=	cos	[a	+	(-b)].
154
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
(V)	Tangente	da	soma
Supondo	 que	 estejam	 satisfeitas	 as	 condições	 de	 existência,	 podemos	
escrever:
Aplicando	a	fórmula	do	sen	(a	+	b)	e	cos	(a	+	b),	temos:
Dividindo	o	numerador	e	o	denominador	por	cos	a	•	cos	b,	temos:
Portanto:
tg(a + b) ₌ 
tg(a + b) ₌
tg(a + b) ₌ 
tg(a + b) ₌
sen a . cos b + sen b . cos a
cos a . cos b
cos a . cos b - sen a . sen b
cos a . cos b
sen a . cos b sen b . cos a
cos a . cos b cos a . cos b
cos a . cos b sen a . sen b
cos a . cos b cos a . cos b
+
-
sen a sen b
cos a cos b
sen a sen b
cos a cos b
1 - ·
+
tg a + tg b
1 - tg a · tg b
tg a + tg b
1 - tg a · tg b
tg(a + b) ₌
sen (a + b)tg (a + b) = 
cos (a + b)
sena.cosb + senb.cosatg (a + b) = 
cosa.cosb - sena.senb
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
155
(VI)	Tangente	da	diferença
A	demonstração	é	análoga	à	identidade	V.
Exemplo	1:	
Calcule	o	valor	de	sen	105°.
Resolução:
sen	105°	=	sen	(45°	+	60°)
Aplicando	a	fórmula	do	seno	de	uma	soma:
sen	(45°	+	60°)	=	sen	45°	•	cos	60°	+	sen	60°	•	cos	45°
Exemplo	2:
Encontre	o	valor	de	cos	75°.
Resolução:
cos	75°	=	cos	(45°	+	30°)	
Aplicando	a	fórmula	do	cosseno	de	uma	soma:
cos	(45°	+	30°)	=	cos	45°	•	cos	30°	–	sen	45°	•	sen	30°
⋅ ⋅
2 1 3 2sen(45° + 60°) = +
2 2 2 2
2 6sen(45° + 60°) = +
4 4
2 + 6Assim, o seno de 105° é 
4
⋅ ⋅
2 3 2 1cos(45° + 30°) = -
2 2 2 2
6 2cos(45° + 30°) = -
4 4
 6 - 2Desse modo, o cosseno de 75° é .
4
156
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Exemplo	3:
Sabendo	que	tg	a	=	1
5
	e	tg	b	=	 1
10
,	calcule	tg	(a	–	b).
Resolução:
Usando	a	fórmula	da	tangente	da	diferença	de	dois	arcos:
Assim,	a	tangente	de	a	–	b	é	 5
51
.
Exemplo	4:
Calcule	sec	285°.
Resolução:
⋅
tg a - tg btg (a - b) =
1 + tg a tg b
tg (a - b) ₌
tg(a - b) = 
tg(a - b) ₌ 
⋅
1 50tg(a - b) =
10 51
5tg(a - b) =
51
1 - 1
 5 10
1 + ·1 1
 5 10
50
50 50
1+
10 10
- 12
1
10
51
50
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
157
Portanto,	o	valor	da	secante	de	285°	é	√6 + √2 .
3 ARCO DUPLO E ARCO METADE
Arco duplo
As	fórmulas	de	duplicação	de	arcos	decorrem	das	fórmulas	de	adição,	sua	
utilização	permite	simplificar	cálculos.
Seno do arco duplo
Podemos	escrever	sen	2a	como	sen	(a	+	a)	e	aplicar	a	fórmula	de	adição:
sen	(a	+	a)	=	sen	a	• cos a + sen a •	cos	a,	logo:
sen	2a	=	2	sen	a	• cos a
Cosseno do arco duplo
Podemos	escrever	cos	2a	como	cos	(a	+	a)	e	aplicar	a	fórmula	de	adição:
cos	(a	+	a)	=	cos	a	• cos a – sen a •	sen	a,	logo:
cos	2a	=	cos2 a – sen2 a
sec285° = sec75°
1sec285° =
cos(45° + 30°)
1sec285° =
6 - 2
4
4sec285° =
6 - 2
sec285° = 6 + 2
158
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
2 2
2 2
2
2
2
2
2
sen x cos x 1
sen x 1 cos x
4sen x 1
5
16sen x 1
25
9sen x
25
3sen x
5
+ =
= -
 
= -  
 
= -
=
=
Ou	seja:
Exemplo:	
Calcule	os	valores	de	sen	2x,	cos	2x	e	tg	2x,	tendo	conhecimento	de	que	cos	
x	=	4
5
	e	que	0	<	x	<	π
2
.
Resolução:
Primeiramente,	vamos	encontrar	o	valor	de	sen	x.
Lembre-se	de	que	o	seno	é	positivo	no	1º	quadrante.
Como	sen	2x	=	2sen	x	•	cos	x,	então:
E	cos	2x	=	cos2x	–	sen2x,	então:
sen2x	₌		2	.					.	
24sen2x
25
=
3 4
5					5
tg a + tg a
1 - tg a · tg a
tg(a + a) ₌
Tangente do arco duplo
Escrevendo	tg	2a	como	tg	(a	+	a),	considerando	as	condições	de	existência	e	
aplicando	a	fórmula	de	adição,	temos:
2
2tg atg(2a) =
1 - tg a
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
159
Por	fim,
 
tg2x	₌	
6 16tg2x
4 7
24tg2x
7
= ⋅
=
6
4
9
16
1-
Arco metade
O	arco	metade	nos	possibilita	 associar	um	arco	a com um arco a
2
 e sua 
utilização	permite	simplificar	outros	cálculos.
Vejamos	as	demonstrações	das	fórmulas	que	nos	permitem	calcular	sen	a
2
,	
cos a
2
 e tg a
2
,	sendo	a	um	número	real.
( ) 2
2
2
2tgxtg 2x
1 tg x
senx2
cosxtg2x= 
senx1
cosx
3
5
42.
5tg2x= 
3
5
41
5
=
-
 
-  
 
 
 
 
 -
 
 
 
 
( ) 2
2
2
2tgxtg 2x
1 tg x
senx2
cosxtg2x= 
senx1
cosx
3
5
42.
5tg2x= 
3
5
41
5
=
-
 
-  
 
 
 
 
 -
 
 
 
 
2 2
4 3cos2x
5 5
16 9cos2x
25 25
7cos2x
25
   
= -   
   
= -
=
160
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Arco metade de seno
E com isso
E	assim,
+
=±
1 coscos 
2 2
a a
= -

= - -
 
= -
2 2
2 2
2
a aComo cos 1 sen 
2 2
Temos
a acos a 1 sen sen 
2 2
acos a 1 2sen 
2
= -2 2
a aSabemos que cos a cos sen .
2 2
-
=±
1 cossen 
2 2
a a
= -
 
= - - 
 
2 2
2 2
a aComo sen 1 cos 
2 2
a acosa cos 1 cos
2 2
= -2
acosa 2 cos 1 
2
2 2
a acosa = cos
2 2
a acosa = cos - sen
2 2
 
+ 
 
Arco metade de cosseno
Sabendo	que	a	=	 a
2
 + a
2
,	podemos	escrever:
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
161
Arco metade da tangente
Sabemos	que:
Portanto,	podemos	escrever:
=
-
±
=
+
±
asen a 2tg 
a2 cos
2
1 cosa 
senxtgx = 
c
 a 2tg
2 1 c
osx
osa
2
-
= ±
+
a 1 cosatg 
2 1 cosa
Podemos obter o arco metade de senos e cossenos sem ter que memorizar 
novas fórmulas. Basta usar adequadamente as fórmulas alternativas de cos 2a, lembrando que, 
se 2a é o arco duplo de a, então a é o arco metade de 2a. O arco metade de tangentes é obtido 
a partir da própria fórmula da tangente.
ATENCAO
Exemplo:
Dado	
3cos 30
2
° = ,	encontre	os	valores	de:	
a)	sen	15°
Resolução:
162
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Portanto,	o	valor	do	sen	de	15°	é	 2 3
2
- .
b)	cos	15°
a 1 cos asen 
2 2
-
= ±
31
2sen 15 
2
2 3 1sen15° = .
2 2
2 3sen15° = 
4
-
° =
-
-
2 3sen 15
2
-
° =
30 1 cos 30sen 
2 2
° - °
=
Resolução:
Desta	maneira,	o	valor	do	cosseno	de	15°	é	 2 3
2
+ .
a 1 cos acos 
2 2
+
= ±
30 1 cos 30cos 
2 2
° + °
=
31
2cos 15
2
+
° =
2 3cos 15
2
+
° =
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
163
c)	tg	15°
Resolução:
 30 1 cos30°tg 
2 1 cos 30°
° -
=
+
1 
2tg 15 
1
3
3
2
-
° =
+2 3
2tg 15 
2 3
2
-
° =
+
2 3tg 15 = .
2 3
-
°
+
a 1 cosatg 
2 1 cosa
-
= ±
+
Assim,	o	valor	da	tangente	de	15°	é	
2 3 .
2 3
-
+
4 FÓRMULA DA TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO
Fazendo	 algumas	 transformações	 de	 somas	 e	 diferenças	 de	 funções	
trigonométricas,	podemos	escrevê-las	em	forma	de	produto,	isso	é	útil	para	poder	
realizar	simplificações	na	resolução	de	equações	trigonométricas.
Já	vimos	que:
(I)	sen	(a	+	b)	=	sen	a	• cos b + sen b • cos a
(II)	sen	(a	–	b)	=	sen	a	• cos b – sen b • cos a
(III)	cos	(a	+	b)	=	cos	a	• cos b – sen a • sen b
(IV)	cos	(a	–	b)	=	cos	a	• cos b + sen a • sen b
Se	calcularmos	(I)	+	(II),	 (I)	–	(II),	 (III)	+	(IV)	e	(III)	–	(IV)	vamos	obter	as	
fórmulas de Werner,	que	são:
164
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
sen	(a	+	b)	+	sen	(a	–	b)	=	2	• sen a • cos b
sen	(a	+	b)	–	sen	(a	–	b)	=	2	• cos a • sen b
cos	(a	+	b)	+	cos	(a	–	b)	=	2	• cos a • cos b
cos	(a	+	b)	–	cos	(a	–	b)	=	-	2	• sen a • sen b
Se	aceitarmos	que	a	+	b	=	x	e	a	–	b	=	y,	podemos	resolver	o	sistema:
a + b = x x + y x - y a= e b=
a - b = y 2 2

⇒

Substituindo	 esses	 valores	 nas	 fórmulas	 de	 Werner,	 encontramos	 as	
fórmulas de transformação em produto,	ou	prostaférese,	no	quadro	a	seguir:
FONTE: A autora 
QUADRO 30 – FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM PRODUTO, OU 
PROSTAFÉRESE
x y x ysenx seny 2.sen .cos
2 2
x y x ysenx seny 2.cos . sen 
2 2
x y x ycosx cos y 2 .cos . cos
2 2
x y x ycosx cos y 2 .sen . sen
2 2
   + -
+ =    
   
   + -
- =    
   
   + -
+ =    
   
   + -
- = -    
   
( )
sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y 
cosx cos y cosx .cos y
 ou
sen x + y
 tg x + tg y = 
cosx . cosy
+
+ = + =
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
165
Exemplo:
Transforme	em	produto:
a)	sen	60°	+	sen	30°
Resolução:
( )
sen y sen x .cos y sen y .cosxsen xtg x tg y 
cosx cos y cosx .cos y
 ou
sen x - y
 tg - tg y = 
cosx 
E
 y
,
. cos
-
- = - =
b)	cos	70°	–	cos	10°
Resolução:
60 30 60 30 sen 60 sen 30 2 . sen .cos 
2 2
sen 60 sen 30 2 . sen 45 . cos15
2 2 3sen 60 sen 30 2 . . 
2 2
2 . 2 3sen60° + sen30° = 
2
   ° + ° ° - °
° + ° =    
   
° + ° = ° °
+
° + ° =
+
70 10 70 10 cos 70 cos 10 2 . sen . sen 
2 2
cos 70 cos 10 2 . sen 40 . sen60
1cos 70 cos 10 2 . sen 40 . 
2
cos 70 cos 10 sen 40
   ° + ° ° - °
° - ° = -    
   
° - ° = - ° °
° - ° = - °
° - ° = - °
166
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
c)	sen	3x	–	sen	x	
Resolução:
3x x 3x xsen 3x senx 2sen cos
2 2
sen3x senx = 2senx cos2x
   - +
- =    
   
-
5 MÉTODOS E TÉCNICAS DE ENSINO DE TRIGONOMETRIA
Poderíamos	 fazer	 outro	 Caderno	 de	 Estudos	 só	 discutindo	 este	 tema,	
pois,	como	já	foi	visto	na	introdução	da	Unidade	I,	este	conteúdo	matemático	é	
utilizado	 em	 muitos	 outros	 campos,	 como	 na	 eletricidade,	 mecânica,	 acústica,	
música,	engenharia,	arquitetura,	medicina,	eletrônica,	navegação	marítima	e	aérea,	
cartografia,	entre	outros.	
Este	 fato	 nos	 permite	 criar	 várias	 estratégias	 de	 ensino.	 Como	 exemplo,	
apresento	 um	 plano	 de	 aula	 sobre	 as	 Razões	 Trigonométricas	 no	 Triângulo	
Retângulo,	que	tem	a	possibilidade	de	ser	trabalhado	tanto	com	a	8ª	série	(9º	ano)	do	
Ensino	Fundamental	como	com	o	1º	ano	do	Ensino	Médio,	de	forma	mais	reduzida.
PLANO DE AULA
Assunto:	Razões	Trigonométricas	no	Triângulo	Retângulo.
Conteúdo:	Seno
Série:	8ª	série	ou	9º	ano	do	Ensino	Fundamental/1º	ano	do	Ensino	Médio.
Cronologia:	90	minutos	(duas	aulas).
Objetivos:	
-	 compreender	o	que	é	seno;
-	 aplicar	 essa	 definição	 na	 resolução	 de	 exercícios	 e	 situações-problemas	 no	
triângulo	retângulo;
-	 encontrar	 o	 valor	 do	 seno	 de	 um	 ângulo,	 mediante	 o	 uso	 de	 uma	 tabela/
calculadora	e	vice-versa.
Recursos: Régua,	compasso,	transferidor,	calculadora,	tabela	trigonométrica,
retroprojetor	ou	data-show,	lousa	e	giz.
Metodologia: 
Questionar	quem	já	viu	a	construção	de	uma	casa	e,	partindo	da	questão	inicial,	
abrir	para	outras	questões:
•	 Por	que	a	estrutura	do	telhado	é	triangular?	(“conforto	ambiental”:	absorção	
da	energia	solar	minimiza	a	ação	da	chuva,	do	vento,	dos	raios	solares).
•	 Como	o	carpinteiro	sabe	qual	deve	ser	a	inclinação	do	telhado?
•	 A	inclinação	do	telhado	depende	do	tipo	de	telha?
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
167
A	 seguir	 temos	 os	 tipos	mais	 comuns.	As	 informações	 foram	 retiradas	
de	 um	 encarte	 especial	 da	 revista	Arquitetura	 &	 Construção	 (reproduzir	 em	
retroprojetor	ou	data-show).
FIGURA 5 – EXEMPLOS DE TELHAS E SUAS INCLINAÇÕES
FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 28- 29, ago. 2002. 
Encarte especial.
Observar	com	os	alunos	que	aqui	a	inclinação	é	dada	em	porcentagem.
Na	prática	fica	mais	fácil	para	o	pedreiro/carpinteiro,	que	usa	o	seguinte	
critério:
Ex.:	Na	telha	americana	–	36%
36%	de	um	metro,	que	significa	utilizar	para	cada	metro	de	largura	0,36	
metro	ou	36	centímetros	de	altura.
Alguns	exemplos	de	telhados	e	suas	inclinações:
168
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
FIGURA 6 – EXEMPLOS DE TELHADOS 
FONTE: TELHADOS sem segredos. Arquitetura & Construção, São Paulo, p. 30, ago. 2002. 
Encarte especial.
A	partir	disso,	propor	uma	situação-problema	que	necessite	da	razão	seno	
para	sua	resolução.
Exemplo:	Para	construir	uma	casa	com	telhado	tipo	colonial,	o	carpinteiro	
utiliza	o	seguinte	critério:	a	cada	metro	 linear	ele	 sobe	25	centímetros.	Sabendo	
que	a	casa	mede	6	metros	de	largura	mais	40	centímetros	de	beiral	em	cada	lado,	
calcule	a	inclinação	do	telhado.
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
169
Criado	o	interesse	do	aluno,	introduzir	a	definição	da	razão	seno.
Consideremos	a	figura	acima	um	triângulo	retângulo	ABC,	no	qual	vamos	
destacar	a	hipotenusa	BC e os catetos AB e AC .
Se	tomarmos	como	referência	o	ângulo	B,	podemos	escrever:
-	AC 	é	o	cateto	oposto	ao	ângulo	B
-	AB 	é	o	cateto	adjacente	ao	ângulo	B
Agora,	 sobre	um	dos	 lados	da	rampa	marcamos	os	pontos	M	e	N	e	por	
esses	pontos	traçamos	perpendiculares	sobre	o	outro	lado.
Por	semelhança	de	triângulos	podemos	notar	que:
ΔBOM ~ ΔBPN ~ ΔBAC
Podemos,	então,	estabelecer	as	seguintes	razões:
OM PN AC= = = k
MB NB BC
Essa	 constante	 k	 é	 chamada	de	 seno	do	 ângulo	 agudo	B	 e	 representa	 a	
razão	entre	a	medida	do	cateto	oposto	ao	ângulo	B	e	a	medida	da	hipotenusa	em	
qualquer	triângulo	retângulo.
170
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
Assim	temos:
medida do cateto oposto ao ângulo BSen B = 
medida da hipotenusa
∧
Voltando ao problema:
Vimos	que	para	encontrar	o	ângulo	de	inclinação,	precisamos	da	medida	
do	cateto	oposto	e	a	medida	da	hipotenusa.	Como	não	temos	essas	informações,	
precisamos	encontrá-las.
A	largura	do	telhado:
6	m	+	2	•	40	cm	ou
6	m	+	2	•	0,40	m	=	6	+	0,80	=	6,8	m
A	altura	do	telhado:	
1	metro	linear	–	25	centímetros	de	altura	ou
1	metro	linear	–	0,25	metros	de	altura
Utilizando	a	regra	de	três,	obtemos	a	altura	do	telhado.
A	altura	do	telhado	é	o	cateto	oposto:	AC 	=	1,7	metros
Para	calcular	o	ângulo	B,	precisamos	encontrar	também	a	hipotenusa,	que	
podemos	encontrar	através	do	teorema	de	Pitágoras,	já	estudado.
2 2 2
BC = AB + AC
Um	dos	catetos	será	a	altura	e	o	outro	a	metade	da	largura	do	telhado	
(3,4	metros):
1 0,25= 
6,8 x
x = 6,8 . 0,25
x = 1,7
TÓPICO 4 | TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS171
Então	a	hipotenusa	mede	aproximadamente	3,8	metros.
Agora	aplicamos	na	razão	antes	demonstrada.
≅
2 2 2
2 3 2
2
2
BC = AB + AC
BC = 3,4 + 1,7
BC = 11,56 + 2,89
BC = 14,45
BC = 14,45
BC 3,8
Para	encontrar	o	ângulo	correspondente	a	essa	razão	recorremos	às	tabelas	
trigonométricas	 (no	 quadro	 8)	 ou	 a	 uma	 calculadora	 científica.	 Procuramos	 na	
tabela	o	valor	de	seno	encontrado	e	obtemos	o	ângulo	de	inclinação	do	telhado,	
que	nesse	caso	é	de	aproximadamente	27°.
Atividade:
Utilizando	os	conceitos	que	você	acabou	de	aprender,	encontre	o	grau	de	
inclinação	dos	telhados	para	os	seguintes	tipos	de	telhas:
a)	Francesa,	para	uma	casa	de	9	metros	de	largura	mais	50	centímetros	de	beiral.
b)	Italiana,	para	um	telhado	de	8	metros	de	largura.
c)	Romana,	para	um	prédio	de	15	metros	de	largura	mais	0,5	metro	de	beiral.
d)	Japonesa,	para	uma	residência	com	12	metros	de	largura	mais	1	metro	de	beiral.
∧
∧
∧
≅
≅
ACsenB =
BC
1,7senB
3,8
sen B 0,45
172
UNIDADE 2 | TRIGONOMETRIA: PARTE II
LEITURA COMPLEMENTAR
 JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER (1768-1830)
Matemático	 e	 físico	 francês	 que	
desenvolveu	 trabalhos	 matemáticos,	 como	 a	
teoria	para	calcular	raízes	irracionais	das	equações	
algébricas	 que	 fora	 iniciada	 por	 Newton.	 Esse	
e	 tantos	outros	 trabalhos	fizeram	de	Fourier	um	
matemático	de	destaque	do	século	XIX.
Em	 1822,	 Fourier	 lançou	 sua	 obra	 mais	
notável,	a	Théorie	Analytique	de	la	Chaleur,	cujos	
estudos	 haviam	 sido	 iniciados	 em	 1807.	 Em	 seu	
livro,	 ele	 dedica	 toda	 uma	 seção	 à	 solução	 do	
problema	 do	 desenvolvimento	 de	 uma	 função	
qualquer	 em	 série	 de	 senos	 e	 cossenos	 de	 arcos	
múltiplos.	Generalizou	o	procedimento,	partindo	
de	um	caso	específico	para	empregá-lo	em	qualquer	caso.	
Fourier	deu	um	passo	decisivo,	ao	usar	indiferentemente	os	símbolos	de	
integração	e	o	de	somatória	infinita,	que	conduziu	às	chamadas	séries	de	Fourier.	
Coube	a	Fourier	o	mérito	de	haver	criado	esse	 instrumento	matemático,	
de	 extraordinária	 fecundidade,	 com	 o	 qual	 as	 funções	 periódicas	 descontínuas	
pudessem	ser	apresentadas	através	de	funções	contínuas.
FONTE: E-cálculo. Mapa da história: Gauss. Disponível em: <http://ecalculo.if.usp.br/historia/
fourier.htm>. Acesso em: 10 jul. 2010.
173
RESUMO DO TÓPICO 4
Neste tópico estudamos como podemos realizar transformações nas 
funções trigonométricas, para poder simplificar os cálculos. São elas:
1)	Adição	e	Subtração	de	Arcos:
•	 sen	(a	+	b)	=	sen	a	• cos b + sen b • cos a
•	 sen	(a	–	b)	=	sen	a	• cos b – sen b • cos a
•	 cos	(a	+	b)	=	cos	a	• cos b – sen a • sen b
•	 cos	(a	–	b)	=	cos	a	• cos b + sen a • sen b
•	 tg	(a	+	b)	=	
tg a + tg b
1 - tg a . tg b
		 	 (obedecidas	as	condições	de	existência)
•	 tg	(a	–	b)	=	 tg a - tg b
1 + tg a . tg b
	 	 (obedecidas	as	condições	de	existência)
2)	Fórmula	de	arco	duplo:
• sen	2a	=	2	sen	a	• cos a
• cos	2a	=	cos2 a – sen2 a
• tg	2ª	
2
2 . tg a
1 tg a-
 
3)	Fórmula	do	arco	metade:
a 1 - cos asen = ±
2 2
a 1 + cos acos = ±
2 2
a 1 cos atg 
2 1 cos a
-
= ±
+
•
•
•
174
4)	Fórmula	da	transformação	em	produto:
x + y x - ysenx + seny = 2 . sen . cos
2 2
x + y x - ysenx - seny = 2 . cos . sen 
2 2
x + y x - ycosx + cosy = 2 . cos . cos
2 2
x + y x - ycosx - cosy = - 2 . sen . sen
2 2
   
   
   
   
   
   
   
   
   
  
 
  
( )
( )
sen x + y
tgx + tgy = 
cosx . cosy
sen x - y
tg - tg y = 
cosx . cosy

 

•
•
•
•
•
•
175
Prezado(a)	acadêmico(a)!	Agora	chegou	a	 sua	vez	de	colocar	em	prática	os	
conceitos	e	definições	estudadas	neste	tópico.
1	Utilizando	as	fórmulas	de	adição	ou	subtração	de	arcos,	calcule:
a)	sen	135°
b)	cos	15°
c)	tg	75°
d)	cos	225°
e)	sen	195°
f)	 tg	105°
2	Sabendo	que	 cos x = 1
5
	e	x	є	1º	quadrante,	calcule:
a)	sen	2x
b)	cos	2x
c)	tg	2x
3	Sabendo	que	 senx = 4-
5
	e	x	є	3º	quadrante,	determine:
a)	sen	2x
b)	cos	2x
c)	tg	2x
4	Dado	cos	a	=	
1
2
,	com	0	<	a	<	
π_
2 ,	calcule	cos	
a_
5.
5	Sabendo	que	sen	a	=	
1
2
,	com	0	<	a	<	
π_
2 ,	determine	sen	
1_
2. 
6	Transforme	em	produto:
a)	sen	90°	+	sen	30°
b)	sen	80°	–	sen	40°
c)	cos	35°	–	cos	25°
d)	1	+	cos	40°
AUTOATIVIDADE