Relatório 5 - Pêndulo Simples

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DANIELLA NEIA DE FREITAS 
 
 
 
 
 
 
LABORATÓRIO 8: 
PÊNDULO SIMPLES 
 
 
 
 
 
 
Relatório apresentado como parte da avaliação 
da disciplina de Laboratório de Física II, do curso 
de Engenharia Civil, UNEMAT, câmpus de 
Sinop, ministrado pela docente Kelli Cristina 
Aparecida Munhoz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sinop, MT 
Maio, 2018. 
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1. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
As oscilações são movimentos alternados em sentidos opostos, e estão 
presentes em todo o mundo, o tempo todo. Um exemplo disso é o movimento 
realizado por uma mola helicoidal, por exemplo, que atua como um sistema “massa-
mola”, estudado nos Movimentos Harmônicos Simples (MHS). 
O termo citado acima refere-se a todo e qualquer movimento que se repete 
a intervalos regulares (periodicamente), cujo deslocamento é dado por uma função 
senoidal com relação ao tempo. A função descrita pode ser representada da 
seguinte maneira: 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚cos (𝜔𝑡 + 𝜑) (Função horária do deslocamento em MHS) 
Em que: 𝑥(𝑡) é a posição (deslocamento a partir da origem do sistema) da 
partícula considerada (em m); 𝑥𝑚 é a amplitude da oscilação (em m); 𝜔 é a 
frequência angular (em rad/s); 𝑡 é o instante de tempo considerado (em s) e 𝜑 é 
uma constante de fase inserida (ou fase inicial, normalmente em rad). 
O estudo dos movimentos harmônicos simples é de extrema importância 
para a compreensão de diversos fenômenos naturais que envolvem oscilações. 
Neste viés, pode-se destacar uma classe de osciladores harmônicos nos quais a 
força de retorno está associada à gravitação: o pêndulo simples. 
 O pêndulo simples é um sistema composto por uma massa ligada a um fio 
flexível, de comprimento 𝐿, preso a um suporte em uma de suas extremidades e 
livre por outra, permitindo sua movimentação livremente. 
Figura 01: Ilustração do pêndulo simples. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
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Quando a massa é afastada de sua posição de equilíbrio, o pêndulo realiza 
oscilações, que possuem uma amplitude 𝐴 (distância do centro do movimento até o 
outro extremo); um período 𝑇 (tempo médio de cada oscilação, em s), que pode ser 
calculado a partir da expressão 𝑇 = 
𝑡
𝑛
 (em que 𝑡 é o tempo, em s, em que o pêndulo 
realiza 𝑛 oscilações completas); e uma frequência, em Hz, descrita pela relação 𝑓 = 
𝑛
𝑡
 ou, simplesmente, 𝑓 = 
1
𝑇
 (representando a quantidade 𝑛 de oscilações que o 
pêndulo realiza em um determinado tempo 𝑡, ou seja, a frequência é o inverso do 
período). 
O estudo das oscilações realizadas pelos pêndulos simples, como já 
mencionado anteriormente, é muito útil no que diz respeito à gravitação (estudo da 
atração exercida pelos corpos um sobre os outros, com base nos princípios 
estabelecidos por Newton). Neste contexto, tem-se a relação existente entre o 
período da oscilação (𝑇), o comprimento do fio considerado (𝐿, em m) e a 
aceleração da gravidade (𝑔 ≅ 9,81 m/s2), que pode ser descrita da seguinte forma: 
𝑇 = 2𝜋 ∙ √
𝐿
𝑔
 . 
Logo, conhecendo-se esta relação, é possível estabelecer uma relação direta 
entre o valor da aceleração gravitacional e o período e comprimento do pêndulo, 
assim: 𝑔 = 
4𝜋²𝐿
𝑇²
, relação que, entre 𝑔 e 𝑇 é inversamente proporcional, e entre 𝑔 e 
𝐿 é diretamente proporcional. 
 
2. OBJETIVOS 
• Verificar se o período da oscilação varia em função de sua amplitude. 
• Verificar se o período da oscilação varia em função da massa do pêndulo. 
• Verificar se o período da oscilação varia em função do comprimento do fio. 
• Calcular o valor da aceleração gravitacional, considerando diferentes 
comprimentos do pêndulo. 
 
 
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3. MATERIAL 
• Tripé com haste metálica; 
• 3 (três) massas aferidas, de 50 g cada; 
• Fio de nylon; 
• Trena; 
• Régua; 
• Cronômetro. 
 
4. METODOLOGIA 
O equipamento foi montado de acordo com o mostrado na figura 2. 
Figura 2: Equipamento montado. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.1 
Amarrou-se um fio de nylon na extremidade do tripé, e o mesmo foi cortado 
para que medisse 80 cm (a medição foi feita com a trena). 
Prendeu-se uma massa de 50 g na extremidade livre do fio e a mesma foi 
posicionada de modo que ficasse alinhada ao 0 (zero) da régua. 
A massa foi afastada 10 cm da origem e solta. 
 
1 Imagem do tripé: Disponível em 
<https://azeheb.com.br/media/catalog/product/cache/1/image/500x600/9df78eab33525d08d6e5fb8
d27136e95/p/e/pendulo_simples.jpg>. 
 Imagem da régua: Disponível em <http://volta.com.br/wp-content/uploads/2014/01/regua.jpg>. 
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Foi cronometrado o tempo de 𝑛 oscilações completas. 
O procedimento descrito foi realizado 5 vezes, e, ao final, fez-se uma média 
(𝑡) dos valores de tempo das oscilações. 
Calculou-se o período (𝑇) de cada oscilação, pela fórmula: 
𝑇 = 
𝑡
𝑛
 (Equação 1) 
Foi calculada, também, a frequência pela equação: 
𝑓 =
1
𝑇
 (Equação 2) 
O mesmo procedimento foi realizado para amplitudes de 15 cm e de 20 cm. 
Em seguida, prendeu-se outra massa de 50 g, junto à que já estava na 
extremidade livre do fio, ainda com 80 cm de comprimento. 
O pêndulo foi afastado 15 cm de sua posição de equilíbrio e então foi solto. 
Mediu-se o tempo de 𝑛 oscilações completas, com o cronômetro. 
O procedimento descrito foi realizado 5 vezes, e, ao final, fez-se uma média 
(𝑡) dos valores de tempo das oscilações. 
Calculou-se o período (𝑇) e a frequência (𝑓), pelas equações 1 e 2, 
respectivamente. 
Repetiu-se os passos descritos acima para 3 massas de 50 g. 
Posteriormente, foram retiradas as duas massas extras de 50 g cada, 
restando apenas uma massa na extremidade livre do fio. 
O fio foi enrolado na extremidade do tripé até que medisse 70 cm de 
comprimento. 
A massa foi afastada 10 cm da origem, e solta para oscilar livremente. 
Cronometrou-se o tempo (𝑡) de (𝑛) oscilações completas. 
Calculou-se o período (𝑇) seguindo a equação 1, e a frequência (𝑓), pela 
equação 2. 
Repetiu-se o procedimento supracitado para comprimentos de 60 cm, 50 cm, 
40 cm e 30 cm. 
Por fim, foi calculada o valor da aceleração gravitacional (𝑔) para cada 
comprimento medido, a partir da expressão: 
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𝑔 = 
4𝜋²𝐿
𝑇²
 (Equação 3) 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Os resultados obtidos das oscilações realizadas com o pêndulo de 50 g e fio 
de 80 cm, variando-se a amplitude, encontram-se na tabela abaixo. 
Tabela 1: Período e frequência de oscilações em função da amplitude. 
Amplitude (cm) N t (s) T (s) f (Hz) 
10 8 14,490 1,8112 0,5521 
15 8 14,492 1,8115 0,5520 
20 8 14,468 1,8085 0,5529 
 
Como observável, todos os valores calculados são muito próximos, tanto os 
tempos de oscilações, quanto os períodos e as frequências. Conforme variou-se a 
amplitude, houve erros de 0,017% e 0,16% – com relação ao período de cada 
oscilação – respectivamente; e erros de 0,15% e 0,16%, respectivamente, com 
relação à frequência. 
Os dados referentes às oscilações de 15 cm de amplitude e fio de 80 cm de 
comprimento, variando-se a massa do pêndulo, estão dispostos na tabela 2. 
Tabela 2: Período e frequência de oscilações em função da massa. 
Massa (g) n t (s) T (s) f (Hz) 
50 8 14,492 1,8115 0,5520 
100 8 14,638 1,8297 0,5465 
150 8 14,892 1,8615 0,5372 
 
 Os dados obtidos mostram que o tempo de oscilação aumenta minimamente 
conforme aumenta-se a massa pendurada: quando a mesma foi dobrada (de 50 g 
para 100 g), aumentou-se 2 décimos de segundo (0,2 s) no tempo de oscilação, e 
quase dois centésimos de segundo (0,02 s) no período da mesma. A frequência, 
como esperado, diminuiu namesma proporção (quase 0,01 Hz), visto que é 
inversamente proporcional ao tempo e ao período. 
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 Já quando a massa foi triplicada (de 50 g para 150 g), manteve-se esta 
relação: o tempo de oscilação aumentou em 0,4 s; o período, em 0,05 s; e a 
frequência diminuiu pouco mais de 0,01 Hz. 
 Por fim, os resultados obtidos do experimento cujo elemento variante era o 
comprimento, mantendo-se uma amplitude de 10 cm e massa de 50 g, situam-se 
na tabela 3. 
Tabela 3: Período e aceleração gravitacional em função do comprimento. 
L (m) n t (s) T (s) g (m/s2) gmédio (m/s2) 
0,80 8 14,49 1,8112 9,627 
9,5265 
0,70 8 13,40 1,6750 9,850 
0,60 5 7,71 1,5420 9,962 
0,50 5 7,01 1,4020 10,042 
0,40 5 6,53 1,3060 9,258 
0,30 5 5,93 1,1860 8,420 
 
Segundo a tabela 3, considerando-se a mesma amplitude e massa 
pendurada, o número de oscilações completas realizadas pelo pêndulo diminui 
conforme diminui-se o comprimento do fio (de 8, foram para 5), e de modo análogo, 
diminuiu-se o tempo das mesmas e, consequentemente, o período de cada uma. 
Além disso, a aceleração gravitacional média calculada a partir dos diferentes 
comprimentos do fio é muito próxima do valor padrão para a mesma: gmédio = 9,5265 
m/s2 (o valor tabelado é de, aproximadamente, 9,81 m/s2, havendo um pequeno erro 
amostral de 2,89%). 
 
6. CONCLUSÃO 
Ao final do experimento, visto que as diferenças entre os valores calculados 
para o período e para a frequência não chegaram, sequer, a 1% de erro, pode-se 
afirmar que o período de oscilação não depende da amplitude da mesma. 
De modo análogo, apesar das diferenças mínimas encontradas para os 
valores de período (erro máximo de 2,76%) e frequência (maior erro de 2,68%) 
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conforme variou-se a massa, ainda é possível dizer que ambos não dependem da 
mesma. 
Com base nos valores obtidos para o período, considerando-se diferentes 
comprimentos de fio, conclui-se que o período (𝑇) é diretamente proporcional à raiz 
quadrada de seu comprimento (𝐿), ou seja, depende do comprimento do fio, 
aumentando ou diminuindo proporcionalmente ao aumento ou redução do mesmo. 
O valor calculado da aceleração gravitacional que mais se aproximou do valor 
padrão (9,81 m/s2) foi o obtido com 0,7 m de comprimento: 9,85 m/s2, havendo um 
erro de, aproximadamente, 0,41% (muito abaixo da margem permitida de 5%). 
Já o valor que menos se aproximou do valor tabelado foi o obtido para 0,3 m 
de comprimento: 8,42 m/s2, com erro amostral de 14,17% (bem acima dos 5% 
permitidos), o que comprova que o valor da aceleração da gravidade é inversamente 
proporcional ao período (mais precisamente, ao quadrado de 𝑇). 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
E-FÍSICA – USP. Movimento oscilatório. Disponível em: 
<http://efisica.if.usp.br/mecanica/universitario/movimento_periodico/mov_oscilatori
o/>. Acesso em: 27 mai. 2018. 
 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica. Tradução de Ronaldo Sérgio de Biasi. 9ª Ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 2012. 292 p. v. 2. 
 
KHAN ACADEMY. Amplitude e período da oscilação. Disponível em: 
<https://pt.khanacademy.org/computing/computer-programming/programming-
natural-simulations/programming-oscillations/a/oscillation-amplitude-and-period>. 
Acesso em: 27 mai. 2018. 
 
SÓ FÍSICA. Pêndulos Simples. Disponível em: 
<https://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php>. Acesso 
em: 27 mai. 2018. 
 
UFPB. Oscilações em nossa vida e à nossa volta. Disponível em: 
<http://www.fisica.ufpb.br/~mkyotoku/texto/texto.htm>. Acesso em: 27 mai. 2018. 
 
UFRGS. Pêndulos. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/gpef/modelagem/hipermidia/Pendulos.html>. Acesso em: 27 
mai. 2018.