ListaExercícios1 2017 2

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ES327 Servomecanismos Prof. Ricardo E. de Souza 
 Dep. de Engenharia Biomédica – UFPE 
Universidade Federal de Pernambuco 
Centro de Tecnologia e Geociências 
Departamento de Engenharia Biomédica 
 
 
 
 
Servomecanismo 
2 semestre de 2017 
 
 
Lista de Exercícios 1 
 
A entrega desta lista é obrigatória. Ela deve ser entregue antes do início do primeiro Teste 
da disciplina. Ela é parte da primeira nota parcial, como explicado nas duas primeiras aulas. 
 
 
ES327 Servomecanismos Prof. Ricardo E. de Souza 
 Dep. de Engenharia Biomédica – UFPE 
I. Sistemas de Controle no princípio – Um relógio d’água cônico 
 
I.1 Considere um relógio d’água cônico, similar ao relógio discutido em sala de 
aula. Responda as questões abaixo utilizando os conhecimentos da parte de 
dinâmica de fluidos, vistos em Física Geral 2 e fazendo as aproximações adequadas. 
Suponha um relógio com as seguintes especificações: 
 
a) O relógio é constituído de um tronco de cone reto oco. A base maior do cone está 
aberta e voltada para cima. A base menor está aberta e voltada para baixo (ver 
figura); 
b) 𝐻0 é a altura do cone; 
c) 𝛼 é o ângulo de abertura do cone; 
d) 𝑎 é a área do orifício de saída da água; 
e) 𝑡𝑓 é o instante de tempo no qual o cone esvazia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. (0,4)Obtenha uma expressão para ℎ(𝑡), a altura do nível da água medida em relação 
ao orifício menor, em função do tempo. 
 
2. (0,2)Obtenha uma expressão para 𝑡𝑓, em termos das quantidades definidas acima e 
de alguma constante física. Em 𝑡 = 0, ℎ(0) = 𝐻0. 
 
3. (0,2)Qual a condição matemática para que este dispositivo, de fato, funcione como 
relógio? Este sistema obedece a esta condição matemática? 
 
4. (0,2)Encontre valores para 𝐻0, 𝛼 e 𝑎, de modo o cone gaste 3600 s (1 hora) para 
esvaziar. 
 
II. Conceitos e história de Sistemas de Controle 
 
II.1 Nas questões abaixo, com exceção da letra (g), não somente cite como explique: 
 
a) Os três principais critérios de projeto de sistemas de controles; 
b) As duas partes da resposta de um sistema; 
c) Duas abordagens para modelagem de sistemas de controle; 
d) Três aplicações reais de sistemas de controle em malha fechada (ou dito com 
realimentação); 
𝐻0 
ℎ(𝑡) 
𝑎 
𝛼 
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e) Três razões para a utilização de sistemas de controle em malha fechada e duas para 
não utilizá-los; 
f) Três exemplos de sistemas reais em malha aberta; 
g) Funcionalmente, como os sistemas em malha fechada diferem dos sistemas em 
malha aberta? 
 
II.2 Os seguintes exemplos foram aplicações de sistemas em malha fechada: 
 
a) O relógio d’água de Ktesibios; 
b) O controlador “flyball” de Watt; 
c) O regulador de temperatura de Drebbel; 
d) Todas as respostas acima. 
 
II.3 Os seguintes exemplos são importantes e modernas aplicações de sistemas de 
controle: 
 
a) Automóveis seguros e econômicos; 
b) Robôs autônomos; 
c) Fabricação automatizada; 
d) Todas as respostas acima. 
 
III. Revisão de circuitos elétricos e equações diferenciais 
 
III.1 (Prob. 17, do cap. 1 do Nise) Dado o circuito elétrico mostrado na Figura P1.9: 
a) Escreva a equação diferencial do circuito para 𝑣(𝑡) = 𝑢(𝑡), um degrau unitário; 
b) Resolva a equação diferencial para a corrente, 𝑖(𝑡), considerando que não haja 
energia inicial no circuito; 
c) Faça um gráfico de sua solução para 
𝑅
𝐿
= 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
III.2 (Prob. 18, do cap. 1 do Nise) Repita o problema 17 utilizando o circuito mostrado 
na Figura P1.10. Admita que 𝑅 = 2 , 𝐿 = 1 𝐻 e 
1
𝐿𝐶
= 25. 
 
 
 
 
 
+ 
 
𝑣(𝑡) 
𝑖(𝑡) 
𝑅 
𝐿 
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III.3 (Prob. 19, do cap. 1 do Nise) Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando 
métodos clássicos. Admita condições iniciais nulas: 
a) 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 7𝑥 = 5cos (2𝑡); 
b) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 8𝑥 = 5𝑠𝑒𝑛 (3𝑡); 
c) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 8
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 25𝑥 = 10𝑢 (𝑡). 
 
III.4 (Prob. 20, do cap. 1 do Nise) Resolva as seguintes equações diferenciais utilizando 
métodos clássicos e as condições iniciais fornecidas: 
a) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡); 
 
𝑥(0) = 2; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = −3. 
 
b) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑥 = 5𝑒−2𝑡 + 𝑡; 
 
𝑥(0) = 2; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = 1. 
 
c) 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 4𝑥 = 𝑡2; 
 
𝑥(0) = 1; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = 2. 
 
IV. Revisão da transformada de Laplace e aplicações 
 
IV.1 (Prob. 1, do cap. 2 do Nise) Deduza a transformada de Laplace para as seguintes 
funções do tempo: 
 
a) 𝑢(𝑡); 
b) 𝑡𝑢 (𝑡); 
c) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑢 (𝑡); 
d) 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) 𝑢(𝑡). 
 
+ 
 
𝑣(𝑡) 
𝑖(𝑡) 
𝑅 𝐿 
𝐶 
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IV.2 (Prob. 2, do cap. 2 do Nise) Utilizando os pares da transformada de Laplace da Tabela 
2.1 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 2.2, deduza as transformadas de 
Laplace para as seguintes funções do tempo: 
 
a) 𝑒−𝑎𝑡𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑢(𝑡); 
b) 𝑒−𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)𝑢 (𝑡); 
c) 𝑡3 𝑢(𝑡). 
 
IV.3 (Prob. 4, do cap. 2 do Nise) Repita o problema 19 do Capítulo 1, utilizando 
transformadas de Laplace. Utilize as seguintes condições iniciais para cada item: 
 
a) 𝑥(0) = 4; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = −4; 
b) 𝑥(0) = 4; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = 1; 
c) 𝑥(0) = 2; 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0) = 3. 
 
Admita que as funções forçantes sejam nulas antes de 𝑡 = 0−. 
 
IV.4 (Prob. 7, do cap. 2 do Nise) Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial: 
 
𝑑3𝑦
𝑑𝑡3
+ 3
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
𝑑3𝑥
𝑑𝑡3
+ 4
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 8𝑥 
 
Determine a expressão para a função de transferência do sistema, 𝑌(𝑠)/𝑋(𝑠). 
 
IV.5 (Prob. 8, do cap. 2 do Nise) Para cada uma das funções de transferência a seguir, 
escreva a equação diferencial correspondente: 
 
a) 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
7
𝑠2+5𝑠+10
; 
b) 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
15
(𝑠+10)(𝑠+11)
; 
c) 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
𝑠+3
𝑠3+11𝑠2+12𝑠+18
. 
 
V. Linearização de sistemas 
 
V.1 (Prob. 50, do cap. 2 do Nise) Considere a equação diferencial 
 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 3
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2𝑥 = 𝑓(𝑥) 
 
em que 𝑓(𝑥) é a entrada e é uma função da saída, 𝑥. Se 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), linearize a equação 
diferencial para pequenas variações em torno de: 
 
a) 𝑥 = 0; 
b) 𝑥 = 𝜋.