Pesquisa Operacional - Aula 2: Programação Linear

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Idealizar modelos matemáticos, através de equações e
inequações a partir de problemas reais para maximização
do lucro ou minimização de custos e perdas.
Uma das técnica mais utilizadas em Programação Linear;
Método matemático de otimização de uma função linear a qual
satisfaz um conjunto de restrições de equações e/ou inequações
lineares.
Buscam a distribuição eficiente dos recursos limitados;
Exemplo:
 Função Objetivo a ser maximizada Lucro = 2x1 + 3x2
 Restrições Técnicas 3x1 + 4x2 > 0
 Restrições de Não Negatividade x1, x2 > 0
1 – Quais são as variáveis de decisão ?
Apresentar as decisões que serão tomadas representando-as através
de variáveis chamadas de variáveis de decisão.
2 – Qual é o objetivo ?
Identificar qual é o objetivo da tomada de decisão. Normalmente
são apresentados na forma de maximizar o lucro ou minimizar custos
ou perdas;
3 – Quais são as restrições ?
Todas as restrições impostas na descrição do sistema devem ser
expressas em uma relação linear (igualdade ou desigualdade).
Kauan Raymond Reinaldo Janequine
Carol Dias Juliana Salimeni
 Considerando que você esta saindo com as duas:
 Restrições iniciais:
• Uma não pode saber da outra. Para isso você tem que leva-
las a lugares diferentes em dias diferentes.
• O dinheiro é limitado, portanto, você não pode sair todos os
dias.
• O tempo é limitado, portanto deve haver um planejamento
do tempo gasto com cada uma.
 É chique e só gosta de restaurantes caros. Em um
encontro com ela você vai gastar R$ 180,00.
 É calma e sossegada. Um encontro com ela dura 2
horas.
 É simples e gosta de lugares mais baratos. Em um
encontro com ela você vai gastar R$ 100,00.
 É agitada e gosta de fazer muitas coisas na noite. Um
encontro com ela dura 4 horas.
Quantas vezes você pode sair com 
cada uma delas ?
x1 é a qtde de vezes que você 
vai sair com Carol na semana
x2 é a qtde de vezes que você 
vai sair com Juliana na semana
Assumindo que:
Sair com Carol corresponde 
a 180 x1
Sair com Juliana corresponde 
a 100 x2
Então:
180 x1 + 100 x2  Gasto total da semana
x1 é o tempo gasto 
com Carol na semana
x2 é o tempo gasto 
com Juliana na semana
Assumindo que:
Sair com Carol 
corresponde a 2 x1
Sair com Juliana
corresponde a 4 x2
Então:
2x1 + 4x2  Total de horas
Falta um objetivo
180 x1 + 100 x2 < 800 ( R$ por semana )
2x1 + 4 x2 < 20 ( horas por semana )
Unificando as restrições:
O que se deseja atingir ?
 Sair com ambas o maior número de vezes
possível por semana ?
Max S = x1 + x2
 Sair com Carol duas vezes mais do que com
Juliana por semana ?
Max S = x1 + 2x2
Função Objetivo
Max S = x1 + x2 Max S = x1 + 2x2
Restrições
s.a. s.a.
2x1 + 4x2 < 20 2x1 + 4x2 < 20
180x1 + 100x2 < 800 180 x1 + 100 x2 < 800
Restrições de Não Negatividade
X1, x2 > 0 X1, x2 > 0
Sujeito a
As modalidades oferecidas durante o período noturno são apresentadas na
tabela. O máximo de alunos que a academia suporta durante tal período são
120 pessoas.
Período Noturno
Modalidade 
disponíveis
Receita por 
Aluno
Capacidade 
Max. Alunos
Musculação R$ 35,00 80
Spinning R$ 40,00 20
Abdômen R$ 25,00 40
Fisioterapia R$ 50,00 25
RPG R$ 60,00 15
As atividades de RPG e Fisioterapia
utilizam os mesmo professores e
compartilham da mesma sala, o que
faz com que, apesar da capacidade
máxima de alunos de RPG e
fisioterapia serem 25 e 15 alunos
respectivamente, quando analisadas
em conjunto, tais modalidades juntas
não podem apresentar mais de
trintas alunos. o número de vagas a
oferecer no período noturno em cada
modalidade com o objetivo de
maximizar a receita da empresa.
Identificar as variáveis de decisão.
X1 = Número de alunos de MUSCULAÇÃO;
X2 = Número de alunos de SPINNING;
X3 = Número de alunos de ABDÔMEN;
X4 = Número de alunos de FISIOTERAPIA;
X5 = Número de alunos de RPG.
Definir a Função Objetivo  Soma das receitas, multiplicadas pela
qtds de alunos que realizaram a atividade resultam na receita total
da.
Período Noturno
Modalidade Receita por Aluno Capacidade Max. Alunos
Musculação R$ 35,00 80
Spinning R$ 40,00 20
Abdômen R$ 25,00 40
Fisioterapia R$ 50,00 25
RPG R$ 60,00 15
Max Z = 35 x1 + 40 x2 + 25 x3 + 50 x4 + 60 x5
Identificar as variáveis de restrição
 Quantidade máxima de alunos: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 120;
 Quantidade máxima de alunos para musculação: x1 ≤ 80 ;
 Quantidade máxima de alunos para Spinning: x2 ≤ 20;
 Quantidade máxima de alunos para abdômen: x3 ≤ 40;
 Quantidade máxima de alunos para fisioterapia: x4 ≤ 25;
 Quantidade máxima de alunos para : x5 ≤ 30;
 Quantidade máxima de alunos para fisioterapia e RPG que podem
realizar as suas aulas ao mesmo tempo: x4 + x5 ≤ 30.
 Não negatividade: x1 > 0; x2 > 0; x3 > 0; x4 > 0; x5 > 0;
Função Objetivo
Max L = 35x1 + 40x2 + 25x3 + 50x4 + 60x5
Restrições Técnicas
X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 120
X1 ≤ 80
X2 ≤ 20
X3 ≤ 40
X4 ≤ 25
X5 ≤ 30
X4 + X5 ≤ 30
Restrição de não negatividade
X1 ≥ 0, X2 ≥ 0, X3 ≥ 0, X4 ≥ 0, X5 ≥ 0
Uma companhia produz 3 tipos de fertilizantes conforme tabela
abaixo:
Fertilizante Espaço ( pés3 ) Custo Produção Tempo Preço Venda
Tipo 1 10 400 6 480
Tipo 2 12 600 10 690
Tipo 3 8 300 12 340
Disponível 300 10.000 250
A companhia deve produzir, no mínimo, 4 toneladas do produto 2.
Defina o modelo para maximizar o lucro.
Variáveis de decisão
x1: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 1 a produzir
x2: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 2 a produzir
x3: Qtde. de toneladas de fertilizantes Tipo 3 a produzir
Função Objetivo
Max L = 80x1 + 90x2+ 40x3
Restrições Técnicas
10x1 + 12x2 + 8x3 ≤ 300 ; Espaço de armazenamento
400x1 + 600x2 + 300x3 ≤ 10000 ; Custo de produção
6x1 + 10x2 + 12x3 ≤ 250 ; Tempo
X2 ≥ 4 ; Produção mínima do Tipo 2
Restrições Não Negatividade
x1,x2,x3 ≥ 0
Um vendedor de frutas pode transportar 800 toneladas de frutas
para sua região de vendas. Ele necessita transportar pelo menos
200 toneladas de laranja a R$20,00 de lucro por tonelada, pelo
menos 100 toneladas de pêssegos a R$10,00 de lucro por tonelada,
e no máximo 200 toneladas de tangerinas a R$30,00 de lucro por
tonelada.
De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter o lucro
máximo?
Variáveis de decisão
x1: Qtde. de toneladas de laranja
x2: Qtde. de toneladas de pêssego
x3: Qtde. de toneladas de tangerina
Função Objetivo
Max L = 20x1+ 10x2 + 30x3
Restrições Técnicas
x1 + x2 + x3 ≤ 800 ; Quantidade máxima a ser transportada
x1 > 200 ; Quantidade mínima de laranja
x2 > 100 ; Quantidade mínima de pêssego
x3 < 200 ; Quantidade máxima de tangerina
Restrições Não Negatividade
x1,x2,x3 ≥ 0
Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é
de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa necessita
de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma
unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de
120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a
empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem
ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês.
Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de
maximizar o lucro da empresa.
Variáveis de decisão
x1: Qtde. a produzir do produto P1
x2: Qtde. a produzir do produto P2
Função Objetivo
Max L = 100x1+ 150x2
Restrições Técnicas
2x1 + 3x2 ≤ 120 ; Tempo disponível para produção
x1 < 40 ; Quantidade máxima produzida de P1
x2 < 30 ; Quantidade máxima produzidade P2
Restrições Não Negatividade
x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis
Um fazendeiro deseja otimizar a plantação de arroz e milho na sua
fazenda. O fazendeiro deseja saber quais são as áreas de arroz e milho
que devem ser plantadas para que o seu lucro seja máximo. O lucro por
unidade de área plantada de arroz é de 5 u.m. Enquanto para o milho é
de 2 u.m.
As áreas plantadas de arroz e milho não deve ser maiores que 3 e 4
respectivamente. Cada unidade da área de arroz consome 1 homem-
hora, enquanto que a de milho consome 2 homens-hora.
O consumo total de homens-hora nas duas plantações não deve ser
maior que 9.
Variáveis de decisão
x1: Qtde. de arroz a ser plantada
x2: Qtde. de milho a ser plantada
Função Objetivo
Max L = 5x1+ 2x2
Restrições Técnicas
x1 ≤ 3 ; Área máximo do plantio de arroz
x2 < 4 ; Área máxima do plantio de milho
x1 + 2x2 < 9 ; Quantidade total de homens-hora
Restrições Não Negatividade
x1,x2 ≥ 0
Um A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com base
em duas matérias primas, M1, M2 . A tabela apresenta os dados:
A demanda máxima diária de tintas para interiores é 2 ton.
A Reddy Mikks quer determinar o mix ótimo de produtos de tintas para
interiores e exteriores que maximize o lucro total diário.
Tintas
Exteriores
Tintas
Interiores
Disponibilidade
máxima diária
Matéria Prima M1 6 4 24
Matéria Prima M2 1 2 6
Lucro por tonelada 5 4
Variáveis de decisão
x1: Qtde. a produzir de tinta para ambientes exteriores
x2: Qtde. a produzir de tinta para ambientes interiores
Função Objetivo
Max L = 5x1+ 4x2
Restrições Técnicas
6x1 + 4x2 < 24 ; Disponibilidade diária de M1;
x1 + 2x2 < 6 ; Disponibilidade diária de M2;
x2 < 2 ; Demanda máxima de tintas para interiores;
Restrições Não Negatividade
x1,x2 ≥ 0 ; Não negatividade das variáveis.